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必修五 1.1.1正弦定理导学案

2012-2013 学年高一数学必修五导学案

编写:绥化九中 高中数学教研组

班级:

姓名:

厚德明志

博学笃行

1.1 正弦定理和余弦定理
【预习自测】

第 1 课时 正弦定理

1. 正弦定理适用的范围是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 2. 在△ABC 中一定成立的等式是() A.asinA=bsinB B. acosA=bcosB C. asinB=bsinA D. acosB=bcosA 3. 在△ABC 中, A ? 105?, c ? 10, C ? 30?, 则b ? ___. 4.在△ABC 中, a ? 4, b ? 8, A ? 30?, 则B ? ____.

预习案
【学习目标】 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形,培养学生应用能力. 2.学会运用正弦定理解三角形的方法,领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用. 3.引导学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值,并以更加饱满的激情投 入到学习中去. 【重点】 :正弦定理及其推导过程,正弦定理的简单应用. 【难点】 :正弦定理的推导及应用. 【学法指导】 1. 阅读探究课本上的基础知识,初步掌握正弦定理及其简单应用; 2. 完成教材助读设置的问 题,然后结合课本的基础知识和例题,完成预习自测;3. 将预习中不能解决的问题标出来, 并写到后面“我的疑惑”处. Ⅰ.相关知识 1.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 A>B,则 a b,反之,若 a>b,则 A B。 2.三角形内角和定理是: 。勾股定理的内容是:Rt△ABC 中,若 a,b 为直角边,c 为斜边,则 。 3.三角形面积公式: 。 Ⅱ.教材助读 1. 在 Rt△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则 sinA= 2. 正弦定理: 【我的疑惑】

,cosA=

,tanA=

.

a ? ____ ? _____ ,观察正弦定理的结构,它有什么特点? sin A


3. 正弦定理文字语言叙述为: 4.一般地,把三角形的 和它们的 叫做三角形的元素。已知三角形的 求 的过程叫做解三角形。 5.应用正弦定理解三角形可分为两类: (1)已知三角形的 与一边,求其他的边和角; (2)已知三角形的 与其中一边的对角,求其他的边和角。

1

2012-2013 学年高一数学必修五导学案

编写:绥化九中 高中数学教研组

班级:

姓名: 【例 1】在△ABC 中,∠B=45°,∠C=75°,b=2,求 a,c,∠A.

厚德明志

博学笃行

探究案
Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究

探究一: 利用构造三角形外接圆, 证明正弦定理; 正弦定理中的比值实际上是一个什么样的数?

【规律方法总结】 1. 已 知 三 角 形 的任 意 两个 角 及 一 边, 先 利用 用 ,可以求出其余边长. 2.正弦定理有三个等式: , 知两角及一边”的解三角形问题.

求 出第 三 个 角 ,再 利 , 应选择恰当的等式解“已

【例 2】 已知△ABC 中,a= 2 3 ,b=6,∠A=30°,试求此三角形的另一边及其他两角. 探究二:正弦定理有哪几种变式?

探究三:证明 S ?ABC ?

1 ab sin C ,除此之外,你还有其他的结果吗? 2

【拓展提升】 在△ABC 中,b= 3 ,B=60°,c=1,求 a 和 A,C

【归纳总结】 1.正弦定理适用于 三角形. 2.可以证明 = = = =2R(R 为△ABC 的外接圆半径). 3.正弦定理的三个等式: , , ,每个式子中有 个量, 如果 知道其中 个可以求出 (知三求一). 4.正弦定理可解决两类问题: (1) ; (2) 。
2

【规律方法总结】 1.已知三角形中两边和其中一边的对角解三角形时,首先应用 求出 其次根据 确定 ,需对 加以讨论,看是 ,如果 是 还是 ,常用“ ”或“ ”来作出判断. 2.对于解三角形中的复杂运算可使用 .

, ,

2012-2013 学年高一数学必修五导学案

编写:绥化九中 高中数学教研组

班级:

姓名:

厚德明志

博学笃行

训练案
Ⅱ.我的知识网络图

一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单!
1. (2007?重庆)在△ ABC 中,AB= ,A=45°,C=75°,则 BC=( A B. C .2 D. . )

2.已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1, 则 sinA=( A. 正弦定理的形式: ) B. C. D.

,A+C=2B,

正 弦 定 理

3.在△ ABC 中,已知 AB=2,BC=1,∠ ABC=60°,则△ ABC 的面积为( A. B .1 C. D. 4.a、b、c 分别是△ ABC 内角∠ A,∠ B,∠ C 的对边,若△ ABC 的周长为 ,则边长 a 的值为( ) A. B.2 C .4 D.



已知任意两 角与一边

,且

解 三 角 形

已知任意两边与 其中一边的对角

5.在△ ABC 中,∠ A,∠ B,∠ C 所对的边长分别为 a,b,c,如果 acosB=bcosA,那么△ ABC 一 定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6.已知△ ABC 的周长为 18,若 sinA:sinB:sinC=2:3:4,则最大边的长为 二、综合应用-----挑战高手,我能行! 7.在△ ABC 中,若 A. B. ,C=150°,BC=1,则 AB=( C. D. , n ? (1,? 3) , ) 。

8. 已知 a, b, c 为△ ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 向量 若 ⊥ ,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=( A. B. C. ) D.

3

2012-2013 学年高一数学必修五导学案

编写:绥化九中 高中数学教研组

班级:

姓名:

厚德明志

博学笃行

9.在△ ABC 中, A.1

, B.2

,b=1,则三角形 ABC 的面积是( C. D.



检测案
3 4 5 1. 在?ABC 中, ? ? , 则?ABC 是( sin A sin B sin C
2. 在?ABC中, a ? 15, b ? 10, A ? 60?, 则 cos B等于(

)

A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 三、拓展探究题------战胜自我,成就自我! 10.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c, (Ⅰ )求 sin(A+B)的值; (Ⅱ )求△ ABC 的面积. ,cosA= ,b= .
A.

)

6 3

B.

2 2 3

C.

?

6 3

D.

?

2 2 3

3. 已知在?ABC中, 角A, B, C的对边分别为 a, b, c, 若a ? c ? 6 ? 2 , 且A ? 75?, 则b ? ___
4. 在?ABC中, 已知?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?,BC ? 3, 则AC ? ____

5. 在?ABC中, 若b ? 2c sin B, 则C ? ____
6.已知锐角三角形 ABC 中,| A.4 B.﹣4 |=4,| |=1,三角形的面积为 C .2 ,则 的值为( )

D.﹣2

7. 在?ABC中, 角A, B, C所对的边分别是 a, b, c, 若a ? 2, c ? 6 , sin A ? cos A ? 2 , 则角C的大小为__

8. 在?ABC中, 角A, B, C所对的边分别是 a, b, c, 已知8b ? 5c, C ? 2B, 则cosC ? ( )
A. 7 25 B. ? 7 25 C. ? 7 25 D. 24 25 2

9. 在?ABC中, 若 sin A ? 2 sin B cosC , sin A ? sin 2 B ? sin 2 C , 试判断?ABC的形状。
10.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 (Ⅰ )求 cosA,sinB 的值; (Ⅱ )若 ,求 a,b 的值. , .

4


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