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2018版高考数学一轮复习第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法理


第六章 第1讲
一、选择题

数 列

数列的概念与简单表示法

5 7 9 1.数列{an}:1,- , ,- ,?的一个通项公式是( 8 15 24 A.an=(-1) B.an=(-1) C.an=(-1) D.an=(-1)
n+1

)

2n-1 (n∈N+) n2+n 2n+1 (n∈N+) n3+3n 2n-1 (n∈N+) n2+2n 2n+1 (n∈N+) n2+2n

n-1

n+1

n-1

3 5 7 9 解析 观察数列{an}各项,可写成: ,- , ,- ,故选 D. 1×3 2×4 3×5 4×6 答案 D 2.把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角 形(如图所示).

则第七个三角形数是( A.27 解析 B.28

). C.29 D.30

观察三角形数的增长规律,可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的

序号,所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是 1 +2+3+4+5+6+7=28. 答案 B 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N ),则 a5= ( A.-16 B.16 C.31 ). D.32
*

解析 当 n=1 时,S1=a1=2a1-1,∴a1=1, 又 Sn-1=2an-1-1(n≥2),∴Sn-Sn-1=an=2(an-an-1). ∴

an n-1 4 =2.∴an=1×2 ,∴a5=2 =16. an-1

答案 B 4.将石子摆成如图的梯形形状,称数列 5,9,14,20,?为梯形数,根据图形的构成,此数列
1

的第 2 014 项与 5 的差即 a2 014-5=(

).

A.2 020×2 012 C.1 010×2 012

B.2 020×2 013 D.1 010×2 013

解析 结合图形可知,该数列的第 n 项 an=2+3+4+?+(n+2).所以 a2 014-5=4+5 +?+2 016=2 013×1 010.故选 D. 答案 D 5.在数列{an}中,an=-2n +29n+3,则此数列最大项的值是 ( A.103 解析 865 B. 8 C. 825 8 D.108
2

).

? 2 29 ? 2 根据题意并结合二次函数的性质可得:an=-2n +29n+3=-2?n - n?+3=- 2 ? ?

841 ? 29?2 2?n- ? +3+ , 4? 8 ? ∴n=7 时,an 取得最大值,最大项 a7 的值为 108. 答案 D 6.定义运算“*”,对任意 a,b∈R,满足①a*b=b*a;②a*0=a;(3)(a*b)*c=c*(ab)+ 1 (a*c)+(c*b).设数列{an}的通项为 an=n* *0,则数列{an}为(

n

).

A.等差数列 C.递增数列

B.等比数列 D.递减数列

1 1 ?0]1? ? 1? 解析 由题意知 an=?n* ?*0=0]n· +(n*0)+? ?)=1+n+ ,显然数列{an}

? n?

n

?n ?
x

n

1 既不是等差数列也不是等比数列;又函数 y=x+ 在[1,+∞)上为增函数, 所以数列{an}为递增数列. 答案 C 二、填空题 7.在函数 f(x)= x中,令 x=1,2,3,?,得到一个数列,则这个数列的前 5 项是________. 答案 1, 2, 3,2, 5 8.已知数列{an}满足 a1=1,且 an=n(an+1-an)(n∈N ),则 a2=________;an=________. 解析 由 an=n(an+1-an),可得 则 an=
*

an+1 n+1 = , an n

an an-1 an-2 a2 n n-1 n-2 2 · · ·?· ·a1= × × ×?× ×1=n,∴a2=2,an=n. an-1 an-2 an-3 a1 n-1 n-2 n-3 1
2

答案 2 n 9.已知 f(x)为偶函数,f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0 时,f(x)=2 ,若 n∈N ,an=f(n), 则 a2 013=________. 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x), ∴f(x+2)=f(2-x)=f(x-2). 故 f(x)周期为 4, 1 -1 ∴a2 013=f(2 013)=f(1)=f(-1)=2 = . 2 答案 1 2
2

x

*

10.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 的值为________. 解析 ∵Sn=n -9n, ∴n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-10,
2

a1=S1=-8 适合上式,∴an=2n-10(n∈N*),
∴5<2k-10<8,得 7.5<k<9.∴k=8. 答案 8 三、解答题 11.数列{an}的通项公式是 an=n -7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解 (1)当 n=4 时,a4=4 -4×7+6=-6.
2 2 2

(2)令 an=150,即 n -7n+6=150,解得 n=16,即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n -7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍), ∴从第 7 项起各项都是正数. 1 12.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= . 2
?1? (1)求证:? ?成等差数列; ?Sn?
2

(2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 当 n≥2 时,由 an+2SnSn-1=0, 1 1 得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以 - =2,

Sn Sn-1

?1? 1 1 又 = =2,故? ?是首项为 2,公差为 2 的等差数列.

S1 a1

?Sn?

3

1 1 (2)解 由(1)可得 =2n,∴Sn= . Sn 2n 当 n≥2 时, 1 1 n-1-n 1 an=Sn-Sn-1= - = =- . 2n 2?n-1? 2n?n-1? 2n?n-1? 1 当 n=1 时,a1= 不适合上式. 2 1 ? ?2,n=1, 故 a =? 1 - ? ? 2n?n-1?,n≥2.
n

13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a(a≠3),an+1=Sn+3 ,n∈N . (1)设 bn=Sn-3 ,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N ,求 a 的取值范围. 解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3 ,
n n+1 n
*

n

*

n

即 Sn+1=2Sn+3 ,由此得 Sn+1-3
1

=2(Sn-3 ),
n

n

又 S1-3 =a-3(a≠3),故数列{Sn-3 }是首项为 a-3,公比为 2 的等比数列, 因此,所求通项公式为 bn=Sn-3 =(a-3)2 (2)由(1)知 Sn=3 +(a-3)2
n n-1 n n-1

,n∈N .

*

,n∈N ,
n n-1

*

于是, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3 +(a-3)2 当 n=1 时,a1=a 不适合上式,
? ?a,n=1, 故 an=? n-1 n-2 ?2×3 +?a-3?2 ,n≥2. ?

-3

n-1

-(a-3)2

n-2

=2×3

n-1

+(a-3)2

n-2



an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2
=2
n-2

?12·?3?n-2+a-3?, ? ?2? ? ? ? ? ?

?3?n-2 当 n≥2 时,an+1≥an?12·? ? +a-3≥0?a≥-9. ?2?
又 a2=a1+3>a1. 综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞). 14.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N ,将数列{an}中落入区间(9 9 )内的项的个数记为 bm,求数 列{bm}的前 m 项和 Sm. 解 (1)因为{an}是一个等差数列,
4
*

m, 2m

所以 a3+a4+a5=3a4=84,即 a4=28. 设数列{an}的公差为 d,则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d 得 28=a1+3×9,即 a1=1. 所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N ). (2)对 m∈N ,若 9 <an<9 , 则 9 +8<9n<9 +8,因此 9 故得 bm=9
2m-1 * *

m

2m

m

2m

m-1

+1≤n≤9

2m-1



-9

m-1

.

于是 Sm=b1+b2+b3+?+bm =(9+9 +?+9
m
3 2m-1

)-(1+9+?+9
m

m-1

)

= =

9×?1-81 ? 1-9 - 1-81 1-9 9
2m+1

-10×9 +1 . 80

m

5

6


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