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汕头市金山中学2014届高三上学期摸底考试数学理试题(理数)


汕头市金山中学 2014 届高三摸底考试

理数试题
试卷说明、参考公式略 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟.

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若全集 U ? R ,集合 M ? x ? x ? x ? 2 ? 0 , N ? x x ? 1 ? 0 ,则下图中阴影部分表示
2

?

?

?

?

的集合是( ) A. ? ??,1?

B. ?1, ?? ?

C. ? ??, ?2 ?

D. (?2,1)

2.如果

a ? 3i ? b , a, b ? R , 则 a 等于( ) 2?i A. ? 6 B. 6 C. 3 D. ? 4
) D. y ? x ? x
3

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(

1 A. y ? ? x

?1? x B. y ? ? ? ? 2 2? ?
2

x

C. y ? sin x

4.函数 f ?x ? ? log a ( x ? ax ? ) 有最小值,则实数 a 的取值范围是( A. ?0,1? B.

?0,1? ? ?1,

1 2



2

?

C. 1, 2

?

?

D.

?

2 ,??

?

5.已知 a, b 为异面直线, a ? 平面 ? , b ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? a, l ? b, l ? ? , l ? ? ,则 ( ) A. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l
x

B. D.

? // ? ,且 l // ?
? ? ? ,且 l ? ?

6.函数 f ? x ? ? 2 log 0.5 x ? 1 的零点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 平面直角坐标系上有两个定点 A, B 和动点 P ,如果直线 PA 和 PB 的斜率之积为定值

m?m ? 0? ,则点 P 的轨迹不可能是(
A.圆 B.椭圆

)(下列轨迹的一部分) D.抛物线

C.双曲线

1

8.设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“ ? ”(即对任意的 a, b ? S , 对于有序元素对 ?a, b ? ,在 S 中有唯一确定的元素 a ? b 与之对应),若对任意的 a, b ? S , 有 a ? (b ? a) ? b ,则对任意的 a, b ? S ,下列等式中不恒成立的是 ( . A. ?a ? (b ? a)? ? ?a ? b ? ? a C. (a ? b) ? a ? a B. b ? (b ? b) ? b D. (a ? b) ? ?b ? (a ? b)? ? b )

第Ⅱ卷(非选择题
相应的横线上. (一)必做题(9~13 题)

共 110 分)

二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.将答案填在答案卷的

9.函数 y ? sin 2 x ? 2 3 sin x 的最小正周期 T 为
2

***** *****

. .

10.已知 f ?

?1 ? x ? 1? ? 2 x ? 3, 且 f ?m? ? 6 ,则 m ? ?2 ?
2

11. 若 函 数 f ? x ? 的 导 函 数 f ??x ? ? x ? 4 x ? 3 , 则 函 数 f ?1 ? x ? 的 单 调 减 区 间 是 ***** .
2

12.在等比数列 ?a n ?中, a1 ? 2 且 a 4 a 6 ? 4a 7 ,则 a 3 的值是 13.今有直线 x ? y ? m ? 0 标原点, 且 OA ? OB ? AB ,则实数 m 的取值范围是 *****

*****

.

?m ? 0?

与圆 x + y = 2 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐

2

2

.

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,已知圆 ? ? 4 cos? 的圆心为 A ,点 B(6 2 , 则线段 AB 的长为 ***** 15.(几何证明选讲选做题) 如图所示, 过⊙ O 外一点 A 作一条直线与⊙ O 交于 C, D 两 点, AB 切⊙ O 于 B ,弦 MN 过 CD 的中点 P , 已知 AC ? 4, AB ? 6, 则 MP ? NP ? ***** . .

3? ), 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2

16. (本题 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos(? x ? ? )(? ? 0, ?? ? ? ? 0) 的最小正周期为 ? , 其图象的一条对称轴是直线 x ? 1)求 f ( x ) 的表达式; 2)若 ? ? ? 0,

? . 8

?? 14 ? ? ?? ? 且 f ? ? ? ? ? ? ,求 8? 25 ? ? 2?

?? ? f ? ? 的值. ?2?
2

17.本题 12 分) ( 已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴对称, f ( x) ? 2 x ? 4 x 且 1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; 2)解不等式

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

f ( x) ? g ( x) ?| x ? 1| ; 2

18.(本题 14 分) 如图,在平行四边形 ABCD中, AB ? 2BC =2, ?ABC ? 120?. M、N 分别为线段

AB, CD 的中点,连接 AN, DM 交于点 O ,将△ADM 沿直线 DM 翻折成△ A?DM ,
使平面 A?DM ⊥平面 BCD, F 为线段 A?C 的中点。 1)求证: ON ? 平面 A?DM 2)求证:BF∥平面 A?DM ; 3)直线 FO 与平面 A?DM 所成的角.

19.(本题 14 分)

已知函数 f ?x ? ? x ? ax ? bx
3 2

1)若函数 y ? f ?x ? 在 x ? 2 处有极值 ? 6 ,求 y ? f ?x ? 的单调递增区间; 2)若 y ? f ?x ? 的导数 f ?? x ? 对 x ? ?? 1,1? 都有 f ??x ? ? 2 ,求

b 的取值范围. a ?1

20.(本题 14 分) 已知 F1 、 F2 是双曲线 C : x ?
2

y2 4 ? 1 的两个焦点,若离心率等于 的椭圆 E 与双曲线 15 5

C 的焦点相同. 1)求椭圆 E 的方程;
3

x2 y2 ? ? 1. 2 2 判断直线 l : mx ? ny ? 1与曲线 M 的公共点的个数,并说明理由;当直线 l 与曲线 M 相 交时,求直线 l : mx ? ny ? 1截曲线 M 所得弦长的最大值.
2)如果动点 P(m, n) 满足 PF1 ? PF2 ? 10 ,曲线 M 的方程为:

21.(本题 14 分)

已知数列 ?a n ?的各项均为正值, a1 ? 1, 对任意 n ? N , a n ?1 ? 1 ? 4a n (a n ? 1) ,
? 2

bn ? log 2 (a n ? 1) 都成立.
1)求数列 ?a n ?、 ?bn ? 的通项公式; 2)令 c n ? a n ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; 3)当 k ? 7 且 k ? N 时,证明对任意 n ? N , 都有
?
?

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? 成立. bn bn ?1 bn ? 2 bnk ?1 2

2014 届第一学期高三理科摸底考试

理数 答案卡
_______ 学号:

2013-8

班级:___
题号 答案 1

_

姓名:____
2 3

评分:
5 6 7 8

一.选择题:1~8 题,每题 5 分,共 40 分, 每题只有一个正确答案,把正确答案填入表格内. 4

二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.答案填在答案卷相
4

应的横线上. 9. 13.

; 10. ;

; 11.

; 12.

;

(在选做的题目前标涂) 14. ; 15. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

.

17. (本题 12 分)

5

班级:__
18.(本题 14 分)

_

姓名:____

______ 学号:

6

19.(本题 14 分)

7

20、21 题在背 面作答 20.(本题 14 分)

8

21.(本题 14 分)

9

理 数 答 案
选择题:1~8 题,每题 5 分,共 40 分, 每题只有一个正确答案,把正确答案填入表格内. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 B 7 D 8 C

二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.答案填在答案卷相 应的横线上. 9.

?

; 10.

?

1 4

; 11. ?0,2 ? ; 12. 1 14. 10 ; 15.

; 13.

2 ?m?2
.

;

(在选做的题目前标涂)

25 4

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解析:(I)由 f ( x) ? 2cos(? x ? ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,得

2?

? f ?x ? ? 2 cos(2 x ? ? )
又 f ( x ) 图象的一条对称轴是直线 x ? 而 ?? ? ? ? 0 ,令 k ? 0 ,得 ? ? ? ∴ f ( x ) ? 2cos(2 x ?

?

(2 ? ? ,即 ? ? 2 , 分)

? (6 ) ; 分) 4 ?? 14 ? ?? 14 ? ? (II) 由 得 f ?? ? ? ? ? 2 cos? 2(? ? ) ? ? ? 2 cos 2? ? ? 8? 25 8 4? 25 ? ? 7 (7 ? cos 2? ? ? , 分) 25 ? ?? 而 ? ? ? 0, ? , sin ? ? 0, cos? ? 0 , (8 分) ? 2? 7 ? cos 2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? 25 3 4 (10 分) ?c o ? ? ,s i n ? s ? 5 5 ? 7 2 ?? ? ? f ? ? ? 2 c o s (? ) ? 2 ( c o? ? s i n ) ? ? s ? (12 分) 4 5 ?2?
17.解: (I)设函数 y ? g ( x) 图象上任意一点 P( x, y ) ,

? , 4

? ? ? , 2 ? ? ? ?k , ? ? k 有 则 , ?Z , ? ?? k 8 ? 4
(5 分)



w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

由已知点 P 关于 y 轴对称点 P '(? x, y) 一定在函数 y ? f ( x) 图象上, 代入得 y ? 2 x ? 4 x ,所以 g ( x) ? 2 x ? 4 x
2

2

(II)

f ( x) ? g ( x) ?| x ? 1| 2
10

?2 x 2 ? x ? 1 ?2 x 2 ? 1 ? x 或? ? 2 x 2 ?| x ? 1| ? ? ? x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0

w. w.w.k.s. 5.u. c.o. m

1 ? ? x ? ? ? ?1 ? x ? ?? 或? 2 ? x ?1 ? x ?1 ?
? ?不等式的解集是 ? x ? 1 ? x ? ?
另解:由

? ?1 ? x ?

1 2

1? ? 2?

f ( x) ? g ( x) ?| x ? 1| 得, 2 x 2 ? x ? 1 2

? x ? 1 ? 2 x 2 或 x ? 1 ? ?2 x 2 ? 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 中,开口向上, ? ? ?7 ? 0 ,解集为 ?

2 x 2 ? x ? 1 ? 0 解得 ? 1 ? x ?

1 2

? 1? ?不等式的解集是 ? x ? 1 ? x ? ? 2? ?
18.(本题 14 分) (1)证明:连接 MN ,由平面几何知 AMND 是菱形 ……1’ ? AN ? DM ?平面 A ' DM ? 平面 ABCD , DM 是交线 ……2’ AN ? 平面 ABCD ……3’ ? AN ? 平面 A ' DM ,即 ON ? 平面 A ' DM (2)证明:取 A ' D 中点 E ,连接 EF、EM

?F 是 A ' C 中点
又 M 是 AB 中点

1 ?EF / / CD 2

……4’

1 ?在菱形 ABCD 中, BM / / CD 2
……5’ ……6’ ……7’

? EF / /BM

?BF / / EM ?EFBM 是平行四边形 ?EM ? 平面 A ' DM , BF ? 平面 A ' DM ……8’ ?BF / / 平面 A ' DM

(3)解:? AB ? 2BC ? 2 , M 是 AB 中点 ? A' D ? A' M ? 1 ? A ' O ? DM ?菱形 ADNM 中 O 是 DM 中点 ……9’ ?平面 A ' DM ? 平面 ABCD ? A ' O ? 平面 ABCD 以 ON 为 x 轴, OM 为 y 轴, ' 为 z 轴建立如图空间直角坐标系, ?ADN ? ?ABC ? 120 OA
11
0

在 ?ADN 中 AD ? DN ? 1 ,? AN ? 同理求得 DM ? AD ? AM ? 1

AD 2 ? DN 2 ? 2 AD ? DN cos1200 ? 3

?N(

3 1 3 , 0, 0)、D(0, , 0)、A '(0, 0, ) 2 2 2

1 ?M 是 CD 中点 ?C ( 3 , , 0 ) 2
……11’

?F 是 A ' C 中点

?F(

3 1 3 , , ) 2 4 4

? NO ? 平面 A ' DM
??? ? 3 1 3 ?OF ? ( , , ) 2 4 4

???? 3 ?平面 A' DM 的一个法向量 ON ? ( , 0, 0) 2
? ? ?? 1 1 3 ?| OF |? ? ? ? 1 4 16 16

设 OF 与平面 A ' DM 所成的角为 ? , 0 ? ? ?

?
2

……12’

??? ???? ? ??? ???? ? OF ? ON ? 则 sin ? ?| cos ? OF , ON ?|? ??? ???? | OF || ON |

……13’

3 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 3 1? 2

?? ?

?
3

……14’

?直线 FO 与平面 A' DM 所成的角为
19.解:? f ( x) ? x ? ax ? bx
3 2

? 3

? f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b 1)?在 x ? 2 处有极值 ? 6 ? f '(2) ? 12 ? 4a ? b ? 0 ?? ? f (2) ? 8 ? 4a ? 2b ? ?6

…1’

5 ? ?a ? ? 解得 ? 2 ?b ? ? 2 ?

…3’

5 1 2 f ' ( x ) 3 ? 5 ? 2 0得 x ? ? 或x ? 2 ? x x ? ? f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2 x 2 3 当 x 变化时, y ', y 变化如下 1 1 1 (2, ??) (??, ? ) ? (? , 2) x 2 3 3 3 y + ? + 0 0 ’ y ↗ 极 ↘ 极 ↗
12

…5’

大值
1 ? f ( x) 的单调增区间是 (??, ? ) , (2, ??) , 3 1 41 y极大 ? f (? ) ? ? , y极小 ? f (2) ? ?6 3 54 ? f '(?1) ? 3 ? 2a ? b ? 2 2)? ? ? f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 2
? 2a ? b ? 1 ? 0 ?? ? 2a ? b ? 1 ? 0
…9’

小值

…7’

不等式组确定的平面区域阴影部分如图所示 由?

…10’

? 2a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 0 得? ? 2 a ? b ? 1 ? 0 ?b ? ? 1 ?Q(0, ?1) b 设z ? ,则 z 表示平面区域内的点 (a, b) 与点 P(1,0) 连线的斜率 a ?1 ? k PQ ? 1 由图可知 z ? 1或z ? ?2

…12’

?

b ? ?? ?,?2? ? ?1,?? ? a ?1
2

…14’

20.解:1)∵ F1 、 F2 是双曲线 C : x ? 不妨设 F1 (?4,0) 、 F2 (4,0)

y2 ? 1 的两个焦点 ? c ? 1 ? 15 ? 4 15

∵椭圆 E 与双曲线 C 的焦点相同.

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a2 b2 ? c?4 ?c?4 ? c 4 ? ∵根据已知得 ? ,解得 ? a ? 5 ? ?b 2 ? 9 ? 2 a 25 2 ? ?b ? a ? c x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 ? ?1 25 9 2)直线 l : mx ? ny ? 1与曲线 M 有两个公共点.
∴设椭圆 E 的方程为 理由是: ∵动点 P(m, n) 满足 PF1 ? PF2 ? 10 , ∴ P(m, n) 是椭圆 E 上的点,

m2 n2 9 ? ? 1 ∴ n 2 ? 9 ? m 2 , 0 ? m 2 ? 25 25 9 25 ∵曲线 M 是圆心为 ?0,0 ? ,半径为 r ? 2 的圆 圆心 ?0,0 ? 到直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 的距离 1 1 1 1 d? ? ? ? ? 2 2 2 16 2 9?0 3 m ?n 9? m 25

13

∴直线 l : mx ? ny ? 1与曲线 M 有两个公共点. 设直线 l : mx ? ny ? 1截曲线 M 所得弦长 t ,

1 2 在 0 ? m ? 25 上递增 16 9 ? m2 25 1 14 2 ∴当 m ? 25, m ? ?5, n ? 0 ,即 l : x ? ? 时, t 最大为 . 5 5 t ? 2 r2 ? d 2 ? 2 2 ?

21.解:1)由 n ? N , a n ?1 ? 1 ? 4a n (a n ? 1) ,得 ?a n ?1 ? 2a n ? 1?(a n ?1 ? 2a n ? 1) ? 0
? 2

∵数列 ?a n ?的各项均为正值, a n ?1 ? 2a n ? 1 ? 0 ,

? an?1 ? 2an ? 1 ,整理为 a n?1 ? 1 ? 2(a n ? 1)
又 a1 ? 1 ? 2 ? 0 ∴数列 ?a n ? 1?为等比数列, ∴ a n ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2
n ?1

? 2n

∴数列 ?a n ?的通项公式 a n ? 2 ? 1 ,
n n

数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? log 2 (2 ? 1 ? 1) ? n . 2)

14

3)设 S ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? bn bn ?1 bn ? 2 bnk ?1 n n ? 1 n ? 2 nk ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2S ? ( ? )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) -----(1) n nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n
当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy ,

1 1 1 1 1 ? ?2 ,? ?x ? y ?( ? ) ? 4 x y xy x y

1 1 4 ? ? ? x y x? y

当且仅当 x ? y 时等号成立.

∴上述(1)式中, k ? 7, n ? 0, n ? 1, n ? 2,?, nk ? 1 全为正,

? 2S ?
?S ?

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 nk ? 1 ? n n ? nk ? 1
2(k ? 1) 2(k ? 1) 2 2 ? 3 ? ? ? 2(1 ? ) ? 2?1 ? ?? 1 k ?1 k ?1 ? 7 ?1? 2 1? k ? n

(法二)? k ? 8, S ?

1 1 1 ? ??? n n ?1 8n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 = ??? ? ??? ? ??? ??? n 2n ? 1 2n 3n ? 1 3n 4n ? 1 8n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ??? ? ??? ? ??? ??? ??? 2n ? 1 2n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 4n ? 1 4n ? 1 8n ? 1 8n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2n ? 1 3n ? 1 4n ? 1 8n ? 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 83 1 1 3 ? 1? ? ? ? ? 1? ? ? 1? ? 4 5 7 8 140 8 2 2 ?

15


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