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高二数学下知识点

高二下

一.常用逻辑用语 1. 四种命题, (原命题、否命题、逆命题、逆否命题) (1)四种命题的关系,

(2)等价关系(互为逆否命题的等价性) (a)原命题与其逆否命题同真、同假。 (b)否命题与逆命题同真、同假。 2. 充分条件、必要条件、充要条件 (1)定义:若 p 成立,则 q 成立,即

p ? q 时,p 是 q 的充分条件。同时 q 是 p 的必要条件。 若 p 成立,则 q 成立,且 q 成立,则 p 成立 ,即 p ? q 且 q ? p ,则 p 与 q 互为充要条件。
(2)判断方法: (i)定义法, (ii)集合法:设使 p 成立的条件组成的集合是 A,使 q 成立的条件组成的集合为 B,若 A ?

B

则p

是 q 的充分条件。同时 q 是 p 的必要条件。 若 A=B,则 p 与 q 互为充要条件。 (iii)命题法:假设命题: “若 p 则 q”。当原命题为真时,p 是 q 的充分条件。 当其逆命题也为真时,p 与 q 互为充要条件。 注意:充分条件与充分非必要条件的区别: 用集合法判断看,前者:集合 A 是集合 B 的子集;后者:集合 A 是集合 B 的真子集。 3. 全称命题、特称命题(含有全称量词的命题叫全称命题,含有存在量词的命题叫特称命题) (1)关系:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。 (2)全称量词与存在量词的否定。 关键词 都是 否定词 不都是 关键词 至少一个 否定词 一个都没 有 4. 逻辑连结词“或” , “且” , “非” 。 (1)构造复合命题的方式:简单命题+逻辑连结词(或、且、非)+简单命题。 (2)复合命题的真假判断: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假 关键词 至多一个 否定词 至少两个 关键词 属于 否定词 不属于

注意: “命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念:前者只否定结论,后者结论与条件共同否定。 二.圆锥曲线 一、椭圆方程.

高二下
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, 1. 椭圆方程的第一定义: PF ? PF ? 2a ? F F 无轨迹, 1 2 1 2 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段
2 2 ⑴ ① 椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在 x 轴上: x ? y ? 1(a ? b ? 0) . 2 2

a

b

2 ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y ? x ? 1(a ? b ? 0) . 2 2

2

a

b

② 一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .

③椭圆的标准方程:

x2 a
2

?

y2 b
2

? x ? a cos? ? ? 1 的参数方程为 ? (一象限 ? 应是属于 0 ? ? ? ). y ? b sin ? 2 ?

⑵ ① 顶点: (? a,0)(0,?b) 或 (0,? a )(?b,0) . ② 轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b . ③ 焦点: ( ?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) . ④ 焦距: F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 . ⑤ 准线: x ? ? ⑥ 离心率: e ? ⑦ 焦点半径: i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆 ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

a2 a2 或y?? . c c
c (0 ? e ? 1) . a
x2 a2 x2 b2 y2 b2 y2 a2

? ?

? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为左、右焦点,则 ? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为上、下焦点,则
2 2

PF1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex 0 ?
PF1 ? a ? ey0, PF2 ? a ? ey0?

由椭圆第二定义可知: pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF2 ? e( a ? x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为“左加右 c c 减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? ⑶共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 : 椭 圆

2b 2 a
2

( ? c,

b2 b2 ) 和 (c, ) a a

x a

2 2

?

y

2

b2

? 1( a ? b ? 0) 的 离 心 率 是 e ?

c (c ? a 2 ?b 2 ) , 方 程 a

x2 a
2

?

y2 b
2

? t (t 是大于 0 的参数, a ? b ? 0) 的离心率也是 e ? x2 a
2

c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a

⑸若 P 是椭圆:

?

y2 b
2

2 ? 1 上的点. F 1, F 2 为焦点, 若 ?F 1PF 2 ? ? , 则 ?PF1F 2 的面积为 b tan (用 2

?

余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot

?
2

.

高二下
▲y

二、双曲线方程.
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

1. 双曲线的第一定义: PF ? PF ? 2a ? F F 无轨迹 1 2 1 2
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

⑴ ① 双曲线标准方程:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) .

N的轨迹是椭圆

一般方程: Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) . ⑵ ① i. 焦点在 x 轴上: 顶点:(a,0), (?a,0) 焦点:(c,0), (?c,0) 准线方程 x ? ?

x2 y2 x y a2 渐近线方程: ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 a b c a b

ii. 焦点在 y 轴上: 顶 点 : (0,? a ), (0, a ) . 焦 点 : (0, c), (0,?c) . 准 线 方 程 : y ? ?

a2 . c

渐近线方程:

y x ? ?0 或 a b

y2 a
2

?

x2 b
2

? x ? a sec? ? x ? b tan ? ? 0 ,参数方程: ? 或? . y ? b tan ? ? ? y ? a sec?

② 轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③ 离心率 e ? ④ 准线距

c . a

2a 2 2b 2 (两准线的距离) ;通径 . c a
c . a
x2 a2 ? y2 b2 ?1

⑤ 参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

⑥ 焦点半径公式:对于双曲线方程

( F 1, F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则: (与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)

MF 1 ? ex 0 ? a MF 2 ? ex 0 ?a

构成满足 MF1 ? MF 2 ? 2a

M ?F 1 ? ?ex 0 ?a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a
M'


y



y F1 M

M F 1 ? ey 0 ? a M F 2 ? ey 0 ? a ? M? F 1 ? ?ey 0 ? a ? M? F 2 ? ?ey 0 ? a
F1

M

x F2 M' F2

x

2 2 2 ⑶ 等轴双曲线:双曲线 x ? y ? ?a 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 .

⑷共 轭 双 曲 线 : 以 已 知 双 曲 线 的 虚 轴 为 实 轴 , 实 轴 为 虚 轴 的 双 曲 线 , 叫 做 已 知 双 曲 线 的 共 轭 双 曲 线.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 0. 与 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: ? ? ? ? ? ? ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的渐近线为

⑸共渐近线的双曲线系方程:

高二下

x2 y2 x y ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b
例如:若双曲线一条渐近线为 y ? 解:令双曲线的方程为:



y

1 1 x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2
F1

4

3

2 1
F2 x

1 x2 x2 y2 ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 ? ? 1. 2 4 8 2

53 3

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. 2.若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 法与渐近线求交和 “?” 两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ,则常用结论

1:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.

PF 1 d1 ? e 2:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距离比为 m︰n. 简证: d2 PF 2 e
三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


=

m . n

x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点

F(

p ,0) 2

F (?
x?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,?
y?

p ) 2

准线

范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

p 2 x ? 0, y ? R x??

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0 y??
(0,0)

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

e ?1
PF ?
2

p ? x1 2

PF ?

p ? x1 2

PF ?

p ? y1 2

PF ?

p ? y1 2

注:① ay ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a

高二下

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P .
2 2

③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ? 四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆;当 e ? 1 时,轨迹为抛物线;当 e ? 1时,轨迹为双曲线;当 e ? 0 时,轨迹 为圆( e ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

) ( t 为参数).

c ,当 c ? 0, a ? b 时). a

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 1.到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 定义 2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的 点的轨迹.(0<e<1) 标准方 方 程 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对 值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离相 等的点的轨迹. y2=2px 抛物线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

参数方 程 程

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴;长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0)

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?
x?0 (0,0) x轴

范围 中心 顶点 对称轴 焦点

x 轴,y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0)

p F ( ,0) 2
) e=1

焦距 2c 离心率 (c=

a 2 ? b2



2c

(c=

a 2 ? b2
c (e ? 1) a

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

准线

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线

b a

x

焦半径

r ? a ? ex

r ? ?(ex ? a)

r ? x?

p 2

高二下 通径

2b 2 a

2b 2 a

2p

焦参数

a2 c
1. 2. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 共渐近线的双曲线系方程. 四.导数及其应用

a2 c

P

1、函数

f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率:

2、导数定义:

f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ? x ? x

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1
0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

3、 函数 ①C
'

y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线
③ (sin x)
'

y ? f ? x?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; . ?x

在点

? ? x0 , f ? x0 ??

处的切线的斜率.

4、常见函数的导数公式:

? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;
x '

⑤ (a

) ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ;

? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; 1 1 ' ' ⑦ (log a x ) ? ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

5、导数运算法则:

?1? ? 2?

? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 g x ? ? g x ? ? 3 ? ? ? ? ?? ? ?
6、在某个区间



? a, b ? 内,若 f ? ? x? ? 0 ,则函数 y ? f ? x? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减.
y ? f ( x) 单调区间的步骤: y ? f ( x) 的定义域;
(2)求导数

7、求解函数

(1)确定函数 (3)解不等式 (4)解不等式 8、求函数

y ' ? f ' ( x) ;

f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.

y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
9、求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (3)求方程 f ’(x)=0 的根 (4)用方程 f ’(x)=0 的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格 (5)由 f ’(x)在方程 f ’(x)=0 的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况 (2)求函数的导数 f’(x)

高二下

10、求函数

y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最
小的一个是最小值. 五.数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位 2.

i :它的平方等于-1,即

i 2 ? ?1

i 与-1 的关系:

i 就是-1 的一个平方根, 即方程 x2=-1 的一个根, 方程 x2=-1 的另一个根是- i
=i,

3.

i 的周期性: i

4n+1

i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1

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4.复数的定义:形如 a ? bi (a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体复数所
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成的集合叫做复数集,用字母 C 表示

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复数通常用字母 z 表示,即 z

? a ? bi(a, b ? R)

5. 复数与实数、 虚数、 纯虚数及 0 的关系: 对于复数 a ? bi (a, b ? R) , 当且仅当 b=0 时, 复数 a+bi(a、 b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;a≠0 且 b≠0 时, z=bi 叫做非纯虚数的纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0.

5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等 如果 a,
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b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d

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一般地, 两个复数只能说相等或不相等, 而不能比较大小.如果两个复数都是实数, 就可以比较大小 两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴:
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高二下

点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示 复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数
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(1)实轴上的点都表示实数

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(2)虚轴上的点都表示纯虚数

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(3)原点对应的有序实数对为(0,0) 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数, 8.复数 z1 与 z2 的加法运算律:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数 z1 与 z2 的减法运算律:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10.复数 z1 与 z2 的乘法运算律:z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

11.复数 z1 与 z2 的除法运算律:z1÷z2 =(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i (分母实数化) c2 ? d 2 c2 ? d 2
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12.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数
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通常记复数 z 的共轭复数为 z 。例如 z =3+5i 与 z =3-5i 互为共轭复数 13. 共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍然是它本身 (2) Z

?Z ? Z ? Z

2

2

(3)两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义: 15 几个常用结论 (1)
2 (2) ?1 ? i ? ? ?2i ?1 ? i ?2 ? 2i ,

复数 Z
一一对应

? a ? bi?a, b ? R?
一一对应

(3)

点 Z (a , b)
16.复数的模: 复数 Z

向量 OZ
一一对应 (5)

1 ? ?i , i 1? i ? ?i 1? i
(6)

(4)

1? i ?i 1? i

? a ? bi 的模 Z ? a 2 ? b 2

?a ? bi ??a ? bi ? ? a 2 ? b 2


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