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等比数列.(高一培优2015.3.28)doc

等比数列
一、等比数列的概念 1. 等比数列的定义 1) 等比数列的定义的理解 2) 等比数列的定义式
an ?1 ? q, ? n ? N ? ? an

2. 等比数列的通项公式

an ? a1 ? qn?1
通项公式的说明: 1)知 a1 , q 可写出通项公式 2)知数列仼两项可求公比 3)知通项公式可求任一项 3. 等比中项 若 a, G, b 成等比数列,则 G 是 a 与 b 的等比中项,且 G 2 ? a ? b 等比中项的说明: 1)在等比数列 ?an ? 中除首、末两项外,任一项都是前后两项的等比中项 2)若 an2 ? an?1 ? an?1 ? n ? 2? ? ?an ? 为等比数列 4.判断等比数列的方法 1)定义法:
an ?1 ? q, ? n ? N ? ? ? ?an ? 为等比数列 an

2) 等比中项法: an2 ? an?1 ? an?1 ? n ? 2? ? ?an ? 为等比数列 二、等比数列的性质 1. 等比数列中项的性质 数列 ?an ? 是等比数列,若 m ? n ? p ? q ? m, n, p, q ? N ? ? ? am ? an ? a p ? aq 2.等比数列的常用结论

?1? 数列 ?an ? ,?bn ? 是等比数列,则 ? ? , an 2 , ?can ? ,?an ? bn? , (c ? 0, 为常数 ) 为等 ? an ?

? ?

比数列 3. 等比数列 ?an ? 中部分项构成新等比数列,如 a1 ? a2 , a3 ? a4 , a5 ? a6 , a7 ? a8 等 4. 等比数列通项公式的推广
1

等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则 an ? am ? qn?m 三、等比数列的前 n 项和 1.一般数列 ?an ? 的前 n 项和

sn ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an

? ? s1 , ? n ? 1? 前 n 项和 s n 与 an 的关系 an ? ? ? ? sn ? sn?1 , ? n ? 2 ?

2. 等比数列的前 n 项和公式

Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q (q ? 1) , Sn ? na1 ? q ? 1? 1? q

3. 等比数列的前 n 项和公式的推导 “错位相减法” 4.从函数角度认识等比数列的前 n 项和公式 当 q ? 1 时,公式可化为 Sn ? ? Aqn ? A 的形式,
q ? 1 时是数列 ?Sn ? 对应点是指数形函数 Sn ? ? Aqn ? A 图象上的一些离散

点。 当 q ? 1 时,Sn ? na1 数列 ?Sn ? 对应点是指数形函数图 y ? a1x 象上的一些离散 点。 5.等比数列的前 n 项和公式的性质 数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 例题示范: 例 1.(1) 若 数 列 ?an ? 是 等 比 数 列 , 则 下 列 数 列 中 一 定 成 等 比 数 列 的 有 ____________
?1? ① ?an 2 ? ;② ?a2 n ? ,③ ? ? ;④ ? an ? 。 ? an ?

是等比数列

(2)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1,

an 1 ? ? n ? N ? ? ,则 an ? ______ ; an ? an?1 3

(3) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn , 且 对 任 意 n ? N ? 有 an ? Sn ? n 。 设

bn ? an ?1 ,求证数列 ?bn ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式。

2

例 2.(1)在等比数列 ?an ? 中,a1 ? 1 , 公比 q ? 1 , 若 am ?aaaaa 12 3 4 5

, 则 m ? _______

(2) 在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1 ? a2 ? a3 ? 8 ,则 an ? _______

例 3. (1) 已 知 数 列 ?an ? 是 等 比 数 列 , 且 an ? 0, a2 a4 ? a ,那么 3 a 5? a 4 a 6? 2 5

a3 ? a5 ? _____ ;
(2) 在 各 项 都 为 正 项 的 等 比 数 列 ?an ? 中 , 若 a2 ? 1, a8 ? a6 ? 2 a4 ,则

a6 ? _____

例 4.(1) 在 数 列 ?an ? 中 , an?1 ? can , ? c ? 0? 且 前 n 项 和 Sn ? 3n ? k , 则 实 数
k ? _____ ;

(2) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n2 , an ? log5 bn ,其中 bn ? 0 ,求数列

?bn ? 的前 n 项和。

1 2 3 例 5.(1)化简: ? ? ? 2 4 8

?

n ? _____ 2n

(2)求和:等比数列 1, 2a, 4a2 ,8a3 ,

的前 n 项和 Sn ? _____

3

5 例 6. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? ,3an ?1 ? an ? 2, n ? N ? . 3

(1)求证:数列 ?an ?1? 是等比数列 (2)若 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? 100 ,求最大正整数 n 。

例 7. 已知数列 ?an ? (an ? 0) 是等比数列,首项 a1 ? 1 ,且 a4 ,3a3 , a5 成等差数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 数列 ?an?1 ? ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S6 ? 63 ,求实数 ? 的值。

例 8.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 3n, n ? N ? . (1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和。

4

巩固练习: 一、选择题: 1.若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 S n ? n 2 , 则 {an } 是( )

A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 1 2.已知数列 ?an ? 是等比数列 a2 ? 2, a5 ? ,则公比 q ? ( ) 4 1 1 ?2 2 A. ? B. C. D. 2 2 3.若正数 a, b, c 组成等比数列,则 log2 a,log 2 b,log 2 c 一定是( A.等差数列 C.等比数列 B.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列 ) )

4. 已知等比数列 ?an ? 的公比是正数,且 a3 ? a9 ? 2a52 , a2 ? 1 ,则 a1 ? ( A.
1 2

B.

2 2

C. 2

D.

2

5. 已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1a2a3 ? 5, a7 a8a9 ? 10, , 则 a4 a5 a6 ? ( A. ) B. 7 C. 6 D.

5 2

4 2


6. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? A. Sn ? 2an ?1

2 an ,其前 n 项和为 Sn ,则( 3

B. Sn ? 3an ? 2

C. Sn ? 4 ? 3an
S5 ?( S2

D. Sn ? 3 ? 2an ) D. ?11 )

7. 设 Sn 等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 A. 11 B. 5 C.

?8

8.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? A. 3 B. 4

321 2n ? 1 , 其前 n 项和 S n ? , 则项数 n ? ( n 64 2

C.

5

D.

6

二、填空题: 9.设 a1 ? 2 ,数列 ?an ?1? 是以 3 为公比的等比数列,则 a4 ? ______ 10.已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 4, a2 ? a3 ? 8 ,则 a5 ? ______

5

11.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且 2a3 ? 3 ? S2 , a2 ? 2 ? S3 , 则数列的公比 q ? ___
1 1 1 1 12.数列 1 ,3 ,5 , 7 , 2 4 8 16

的前 n 项和 Sn ? ___________
an ? 1 ?n ? N ? ? 3

三、解答题: 13.数列 ?an ? 前 n 项和 Sn , S n ? (1)求 a1 , a2 ; (2)求证: {an}是等比数列。

14. 数列{an}满足 a1 ? 1, nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1? , n ? N ? .

?a ? (1)证明:数列 ? n ? 是等差数列; ?n?
(2)设 bn ? 3n ? an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。

6


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