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2013届高三数学二轮复习精品教学案(共10专题):【专题七】选择题解题策略

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【专题七】选择题解题策略
【考情分析】
高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以考 查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大。解答选择题的 基本要求是四个字——准确、迅速。选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计 算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面。 近几年来新课标高考数学试题中选择题稳定在 12 道题左右,分值 60 分,占总分的 40%。高 考选择题注重多个知识点的小型综合,渗逶各种数学思想和方法,体现基础知识求深度的考基础 考能力的导向;使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。因此能否在选择题上 获取高分,对高考数学成绩影响重大; 解答选择的基本策略是准确、迅速。估计 2013 年高考试题的结构组成是 3(简单)+7(中档) +2(偏难)的结构。

【知识归纳】
数学选择题通常是由一个问句或一个不完整的句子和四个供考生选择用的选择支构成,“一 即 干,四支” 。考生只需从选择四支中选择一项作为答案,便完成了解答。高考数学选择题的解答特 点是“四选一” ,怎样快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分必要的,也是决胜高考的前提, 选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问 题的严谨、解题速度的快捷等方面,是否达到《课程标准》中的“了解、理解、掌握”三个层次 的要求。 解答选择题的基本策略是: 要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。 一般说来, 能定性判断的,就不再使用复杂的定量计算;能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法;能使 用间接法解的,就不必采用直接解;对于明显可以否定的选择应及早排除,以缩小选择的范围; 对于具有多种解题思路的,宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏 漏;初选后认真检验,确保准确。 选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊作用与特点:由于选择题不需写出运算、推理等 解答过程,在试卷上配有选择题时,可以增加试卷容量,扩大考查知识的覆盖面;阅卷简捷,评 分客观,在一定程度上提高了试卷的效度与信度;侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案,解 题手段不拘常规,有利于考查学生的选择、判断能力;选择支中往往包括学生常犯的概念错误或 运算、推理错误,所 有具有较大的“迷惑性” 。 1.选择题的解题策略 解题的基本策略是 : 充分地利用题干和选择肢的两方面条件所提供的信息作出判断。 先定性 后定量,先特殊后推理;先间接后直解,先排除后求解。 一般地,解答选择题的策略是: ① 熟练掌握各种基本题型的一般解法; ② 结合高考单项选择题的结构(由“四选一”的指令、题干和选择项所构成)和不要求书写 解题过程的特点,灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧; ③ 挖掘题目“个性” ,寻求简便解法,充分利用选择支的暗示作用,迅速地作出正确的选择。 2.常用的解题方法 数学选择题每次试题多、考查面广,不仅要求考生有正确的分辨能力,还要有较快的解题速 度,为此,需要研究解答选择题的一些技巧。总的来说,选择题属小题,解题的原则是: “小题巧

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解,小题不能大做” 。常见的解题方法有: 方法一:直接对照法——由题目所给条件出发,进行演算推理,直接得出结论,与四个答案 比较,若结论恰为某一选项,便可顺推肯定;若推演的过程可以逐步排出三个选项,便可顺推否 定,这种由因导果的方法是解选择题的基本方法,称为直接对照法。 方法二: 逆推代入法——从选项出发,注意判断是否与已知相符,若判断能否定三个选项, 便可逆推否定;若判断能肯定一个选项,便可逆推肯定,这种执果索因的方法称为逆推代入法。 它适合于选项信息太少或结论是一些具体数字的题型。 方法三 : 数形结合即直观选择法——通过数形结合的思维过程,借助于图形直观,迅速做 出肯定一个选项或否定三个选项的方法称为直观选择法。 方法四: 逻辑分析法——通过逻辑推断思维过程,分析四个选项之间的逻辑关系,从而否 定干扰支,肯定正确选项的方法叫逻辑分析法。 逻辑分析法一般用来解决概念性的问题,而对两个概念之间的外延的重合、包含、交叉、互 斥等关系,就产生了以上逻辑推断思维过程中的同一、从属、矛盾、对应关系的逻辑分析法的运 用。 方法五:特征分析法——特征分析法就是抓住题目所提供的形状特征,进行形、数、式的判 定,从而与前面介绍的方法相结合的方式来解决问题,这种方法往往贯穿其它方法之中。 方法六:特例检验法(即以特殊代一般的方法)——特例检验就是取满足条件的特例, (包括 区特殊值、特殊点,以特殊图形代替一般图形,以特殊数列代替一般数列等)并将得出的结论与 四个选项进行比较,若出现矛盾,则否定,可能会否定三个选项;若结论与某一项相符,则肯定。 可能会一次成功。这种方法可以补其它方法的不足。 据有关专家测试:选择题在作出正确选择的前题下,正常解答时间应在 100 秒以内,其中 20 秒审题、30 秒理顺关系、30 秒推理运算、20 秒验证选项。 因为能力有大小不等、题目有难易各异、基础有好差之分,所以仅仅从时间上,来加以规范, 也许会略显“机械” 。但为防止“省时出错”“超时失分”现象的发生,定时、定量、定性地加以 、 训练还是有必要的。

【考点例析】
题型 1:选择题特解之直接法 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和 准确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择。 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。这类题型可直接从题设的条件出 发,利 用已知条件、相关公式、公理、定理、法则,通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正 确的结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.从而确定选择支的方法。 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。 例 1. (2012 高考重庆)任意的实数 k,直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一定是
2 2



) A.相离 B.相切 【答案】C;

C.相交但直线不过圆心

D.相交且直线过圆心

【解析】直线 y ? kx ? 1 恒过定点 (0,1) ,定点到圆心的距离 d ? 1 ?

2 ,即定点在圆内部,

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所以直线 y ? kx ? 1 与圆相交但直线不过圆心,选 C. 例 2. (2012 高考山东)设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a 在 R 上是减函数 ”,是“函数
x

g ( x) ? (2 ? a ) x3 在 R 上是增函数”的(
A.充分不必要条件 条件 【答案】A;

) C.充分必要条件 D.既不充分也不必要

B.必要不充分条件

【解析】若函数 f ( x) ? a 在 R 上为减函数,则有 0 ? a ? 1 。函数 g ( x) ? (2 ? a) x 为增函
x 3

数, 则有 2 ? a ? 0 , 所以 a ? 2 , “函数 f ( x) ? a 在 R 上为减函数” “函数 g ( x) ? (2 ? a) x 所以 是
x

3

为增函数”的充分不必要条件,选 A. 例 3. (2012 高考湖北)已知二次函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积


2π 5 4 3 3 2 π 2

A.

B.

C.

D.

【答案】B; 【解析】根据图像可得: y ? f ( x) ? ? x 2 ? 1 ,再由定积分的几何意义,可求得面积为
1 1 4 1 S ? ? (? x 2 ? 1)dx ? (? x 3 ? x) ?1 ? ,故选 D。 ?1 3 3

点评:直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用 的范围很广,只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力,准确地把握中档题 目的“个性” ,用简便方法巧解选择题,是建在扎实掌握“三基”的基础上,否则一味求快则会快 中出错。 题型 2:选择题特解之特例法(特值法) 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从 而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置 等. 例 4 . 2012 湖 北 ) 已 知 定 义 在 区 间 (0, 2) 上 的 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 如 图 所 示 , 则 (

y ? ? f (2 ? x) 的图像为(



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B; 【解析】特殊值法:当 x ? 2 时, y ? ? f ? x ? 2 ? ? ? f ? 2 ? 2 ? ? ? f ? 0 ? ? 0 ,故可排除 D 项; 当 x ? 1 时, y ? ? f ? x ? 2 ? ? ? f ? 2 ? 1? ? ? f ?1? ? ?1 ,故可排除 A,C 项;所以由排除法知选 B . 【点评】 本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总 你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性, 单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约 考试时间,又事半功倍.来年需注意含有 e 的指数型函数或含有 ln x 的对数型函数的图象的识别. 例 5. (11 陕西文,3)设 0 ? a ? b ,则下列不等式中正确的是 ( )
x

a?b 2 a?b (C) a ? ab ? b ? 2
(A) a ? b ?

ab ?

(B) a ? (D)

a?b ?b 2 a?b ab ? a ? ?b 2 ab ?
ab ? a?b ,比较 a 与 2
ab , 因 为

【分析】根据不等式的性质,结合作差法,放缩法,基本不等式或特殊值法等进行比较。 【解】选 B ( 方 法 一 ) 已 知 a?b 和

a 2 ? ( ab )2 ? a(a ? b) ? 0 ,所以 a ? ab ,同理由 b2 ? ( ab )2 ? b(b ? a) ? 0 得 ab ? b ;作

a?b b?a a?b a?b (方法二) ? ? 0 ,所以 ? b ,综上可得 a ? ab ? ? b ;故选 B. 2 2 2 2 a?b a?b 取 a ? 2 , b ? 8 ,则 ab ? 4 , ? 5 ,所以 a ? ab ? ?b。 2 2
差法:b ? 例 6.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项 和为( 源:Zxxk.Com] (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 )[来

解: (特例法)取 m=1,依题意 a1 =30, a1 + a2 =100,则 a2 =70,又{an}是等差数列,进 而 a3=110,故 S3=210,选(C). 例 7.若 a ? b ? 1 ,P= lg a ? lg b ,Q=

1 ?lg a ? lg b? ,R= lg? a ? b ? ,则( ? ? 2 ? 2 ?



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(A)R ? P ? Q (C)Q ? P ? R

(B)P ? Q ? R (D)P ? R ? Q

解:取 a=100,b=10,此时 P= 2 ,Q=

3 =lg 1000 ,R=lg55=lg 3025 ,比较可知 2

选 P ? Q ? R; 点评:当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好) 进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解 答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占 30%左右。 题型 3:选择题特解之筛选法 从题设条件出发,运用定理、性质、公式推演,根据“四选一”的指令,逐步剔除干扰项, 从而得出正确的判断。 例 8. (2012 高考福建)下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, e
x0


x 2

?0

B. ?x ? R,2 ? x

C.a+b=0 的充要条件是 【答案】D;

a =-1 b

D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

【解析】此类题目多选用筛选法,因为 e ? 0 对任意 x ? R 恒成立,所以 A 选项错误;因为
x

当 x ? 3 时 2 ? 8,3 ? 9 且 8<9,所以选项 B 错误;因为当 a ? b ? 0 时 a ? b ? 0, 而
3 2

b 无意义,所 a

以选项 C 错误;故选 D。 例 9. (2012 高考四川)函数 y ? a x ?

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是( a



【答案】D;

1 1 ? 0 ,故 A 不正确;因为 y ? a x ? 恒不过点 (1,1) ,所 a a 1 以 B 不正确;当 0 ? a ? 1时单调递减, ? ? 0 ,故 C 不正确 ;D 正确。 a
【解析】当 a ? 1 时单调递增, ? 点评:筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某 些条件在选择支中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那 找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常 用方法,近几年高考选择题中约占 40%。 题型 4:选择题特解之代入法:

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将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件,去 验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案.

( 例 10. (11 安徽文,10)函数 f ( x) ? ax g ?? x) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 (1)
n

?

n 可能是 (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

A; 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用,考查函数图像,考查思维的综合 能力,难度大。

? 【 解 析 】 代 入 验 证 , 当 n ? 1 时 , f ( x)
f ?( x)?
? ?

a x( ? ? x ? g ? )

?

a x ?? x, ) x ( ? ?则

1 a? ? x ? ? x,由 f ?( x) ? a(?x ? ? ? x ??) ? ? 可知 , x1 ? , x2 ? 1 ,结合图像可知函 ( ?)? 3
1? 3? ?1 ? ?3 ?

数应在 ? 0, ? 递增,在 ? ,1? 递减,即在 x ? 存在.故选 A。

1 ? ? ? ? 取得最大值,由 f ( ) ? a ? g(?? ) ? ? ,知 a 3 ? ? ? ?

(2) (11 山东理,3)设函数 f ( x) ( x? R)满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) ,则函 数 y ? f ( x) 的图像是( )

【分析】根据题意,确定函数 y ? f ( x) 的性质,再判断哪一个图像具有这些性质。 【解】选 B 由 f (? x) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是偶函数,所以函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对 称,可知 B,D 符合;由 f ( x ? 2) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,选项 D 的图像的 最小正周期是 4,不符合,选项 B 的图像的最小正周期是 2,符合,故选 B。

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5? )的图象的一条对称轴的方程是( ) 2 5? ? ? ? (A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x= 4 2 4 8 ? ? 解: (代入法)把选择支逐次代入,当 x=- 时,y=-1,可见 x=- 是对称轴,又因为 2 2
例 11.函数 y=sin(2x+ 统一前提规定“只有一项是符合要求的” ,故选 A. 另解: (直接法) ∵函数 y=sin(2x+ x=

? k? -π,当 k=1 时,x=- ,选 A. 2 2

? 5? 5? )的图象的对称轴方程为 2x+ =kπ+ ,即 2 2 2

点评:代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序,则能较大提 高解题速度。 题型 5:选择题特解之图解法 据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形, 借助几何图形的直观性作出正确的判断.习惯 上也叫数形结合法。 例 12. (2012 湖南) 设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,当 x ? ? 0, ? ? 时, 0 ? f ( x) ? 1 ;当 x ? (0, ? ) 且 x ?

?
2

时 , (x ?

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数

y ? f ( x) ? sin x 在 [?2? , 2? ] 上 的零点个数为(
A.2 【答案】B 【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠ B.4

) C.5 D.8

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,知 2 2

? ?? ?? ? x ? ?0, ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)为减函数; ? ? ,? ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)为增函数 x ? 2? ?2 ?
又 x ? ? 0, ? ? 时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐标系中 作出 y ? sin x 和 y ? f ( x) 草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 4 个.

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y

1
y ? f ( x)

?2?

o
?1

2?
y ? sin x

x

【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题. 例 13. (2010 江西理数,8)直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,
2 2

若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是(



? 3 ? 0 ? ? ,? A. ? 4 ?

? 3 3? 3? ? , ? ?? ??, ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 4? ? 3 3 ? B. ? C.

? 2 ? 0 ? ? ,? D. ? 3 ?

【答案】A; 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重 点考察数形结合的运用。 解法 1: (直接法)圆心的坐标为(3.,2) ,且圆与 y 轴相切. 当 | MN |? 2 3时 ,由点到直线距离公式,解得 [ ?

3 , 0] ; 4

解法 2: (数形结合)如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 ?? ,排除 B,考虑区间不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A

?2 ? x ? 1 x ? 0 例 14.设函数 f ( x) ? ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是( ? 2 x?0 ?x ?
(A) ? 1,1) ( (B) ? 1, ? ? ) ( (C) ? ? , ? 2 ) ? (0, ? ? ) ( (D) ? ? , ? 1) ? (1, ? ? ) ( 解: (图解法)在同一直角坐标系中,作出函数



y ? f ( x) 的图象和直线 y ? 1,它们相交于(-1,1)
和(1,1)两点,由 f ( x0 ) ? 1 ,得 x0 ? ?1 或 x0 ? 1 。 严格地说,图解法并非属于选择题解题思 路范畴, 而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时 非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉,否则错 误的图象反而会导致错误的选择.如: 例 15.函数 y=|x2—1|+1 的图象与函数 y=2 x 的图象交点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

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本题如果图象画得不准确,很容易误选(B) ;答案为(C) 。 点评:数形结合,借助几何图形的直观性,迅速作正确的判断是高考考查的重点之一;历年 高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占 50%左右。 题型 6:选择题特解之估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获 得.这样往往可以减少运算量,当然自然加强了思维的层次. 例 16. 已知过球面上 A、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, AB=BC=CA=2, B、 且 则球面面积是( ) (A)

16 π 9

(B)

8 π 3

(C)4π

(D)

64 π 9

解∵球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r= 选(D) 。

2 3 16 ,则 S 球=4 πR2≥4πr2= π>5π,故 3 3

点评:估算,省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷.其应用广 泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重 要的运算方法。

【方法技巧】
1.准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分。所 以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选后认真检验,确保准确; 2. 迅速是赢得时间获取高分的必要条件。 高考中考生不适应能力型的考试, “超时失分” 致使 是造成低分的一大因素。 对于选择题的答题时间, 应该控制在不超过 50 分钟左右, 速度越快越好, 高考要求每道选择题在 1~3 分钟内解完; 3.从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要 , 的, 所以人称可以 “不择手段” 但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因, 。 另外,在解答一道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样 ,才会在高 考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到准确和快速。 .. .. 总之,解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答,但更应 该充分挖掘题目的“个性” ,寻求简便解法,充分利用选择支的暗示作用,迅速地作出正确的选择. 这样不但可以迅速、准确地获取正确答案,还可以提高解题速度,为后续解题节省时间。

【专题训练】
1、若 P(2,-1)为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(
2 2



A. x ? y ? 3 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

2、函数 y ?| x | (1 ? x) 在区间 A 上是增函数,则区间 A 是( A. ?? ?,0?

B. ?0, ? 2

? 1? ? ?

C. ?0,???

D. ?

?1 ? ,?? ? ?2 ?

3、若非零向量 a,b 满足|a-b|=| b |,则( ) A.|2b| > | a-2b | B.|2b| < | a-2b |

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C.|2a| > | 2a-b |

D.|2a| < | 2a-b |

4、在各项均为正数的等比数列 ? an ? 中,若 a5 a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( ) A.12 B.10
2 2 2

C.8
2

D. 2 ? log3 5 )

5、直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x ( k ? R, k ? 1)的公共点的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 3 6、设 t ? sin? ? cos? ,且 sin ? + cos3 ? ? 0 ,则 t 的取值范围是( A.[- 2 ,0) B.[ ? 2 , 2 ] C. (-1,0) ? (1, 2 ] 7、当 x ? ? ?4, 0? 时, a ? ? x ? 4 x ?
2



D. (- 3 ,0) ? ( 3 ,??) )

4 x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能的值是( 3

A.5

B.

5 3

C. ?

5 3

D. ?5 )

2 8、 对于抛物线 y ? 4 x 上任意一点 Q, P 点 (a, 都满足 PQ ? a , a 的取值范围是 0) 则 (

A. ? ??, 0 ?

B. (??, 2]

C. [0, 2]

D. (0, 2) )

9、 M 为圆 P 内不同于圆心的定点, 点 过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切, 则圆心 Q 的轨迹是 ( A.圆 B.椭圆 C.圆或线段 D.线段 10、△ABC 中,cosAcosBcosC 的最大值是( ) A.

3 3 8

B.

1 8

C.1

D.

1 2

【参考答案】
A、B、A、B、D、A、D、B、B、B
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