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高中数学第二章函数211第1课时变量与函数的概念学案新人教B版必修1(数学教案)

2.1.1 [学习目标] 第 1 课时 变量与函数的概念 1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素 .2.能正确使用区间表示数集.3. 会求一些简单函数的定义域、函数值. [知识链接] 1.在初中,学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等,它们的表达形式分别 为 y=kx(k≠0),y= (k≠0),y=ax+b(a≠0),y=ax +bx+c(a≠0). 2.反比例函数 y= (k≠0)在 x=0 时无意义. [预习导引] 1.函数 (1)函数的定义:设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x,按照确定的法则 f,都有 唯一确定的数 y 与它对应,则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数.记作 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域:在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,自变量取值的范围(数集 A) 叫做这个函数的定义域. (3)函数的值域:所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域. 2.区间 设 a,b∈R,且 a<b. 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} 名称 闭区间 开区间 半开半 闭区间 半开半 闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) 数轴表示 k x 2 k x {x|a<x≤b} 3.无穷区间的表示 定义 符号 {x|x≥a} [a,+∞) (a,b] {x|x>a} (a,+∞) {x|x<a} (-∞,a) {x|x≤a} (-∞,a] R (-∞,+∞) 1 要点一 函数概念的应用 例 1 设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集 合 N 的函数关系的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案 B 解析 图号 ① ② ③ ④ 正误 × √ × × 原因 x=2 时,在 N 中无元素与之对应,不满足任意性. 同时满足任意性与唯一性. x=0 或 2 时,对应元素 y=3?N,不满足任意性. x=1 时,在 N 中有两个元素与之对应,不满足唯一性. 规律方法 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法:(1)A,B 必须都是非空数集;(2)A 中任意一个数在 B 中必须有并且是唯一的实数和它对应. 注意:A 中元素无剩余,B 中元素允许有剩余. 2.函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函数中两变量 x, y 的对应关系是 “一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”. 跟踪演练 1 下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( A.A∈R,B∈R,x +y =1 B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图: 2 2 ) C.A=R,B=R,f:x→y= 1 x-2 D.A=Z,B=Z,f:x→y= 2x-1 答案 B 解析 对于 A 项,x +y =1 可化为 y=± 1-x ,显然对任意 x∈A,y 值不唯一,故不符 2 2 2 2 合.对于 B 项,符合函数的定义.对于 C 项,2∈A,但在集合 B 中找不到与之相对应的数,故 不符合.对于 D 项,-1∈A,但在集合 B 中找不到与之相对应的数,故不符合. 要点二 求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域: (1)y= x+ x+1 2 - 1-x; x+1 (2)y= . |x|-x 解 (1)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足 ?x+1≠0, ? ? ?1-x≥0, ? 即? ?x≠-1, ? ?x≤1. ? 所以函数的定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}. (2)要使函数有意义, 必须满足|x|-x≠0,即|x|≠x, ∴x<0. ∴函数的定义域为{x|x<0}. 规律方法 1.当函数是由解析式给出时, 求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的 取值集合,必须考虑下列各种情形:(1)负数不能开偶次方,所以偶次根号下的式子大于或 等于零;(2)分式中分母不能为 0;(3)零次幂的底数不为 0;(4)如果 f(x)由几部分构成, 那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合;(5)如果函数有实际背景,那么除符 合上述要求外,还要符合实际情况. 2.求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其 结果必须用集合或区间来表示. 跟踪演练 2 函数 f(x)= x-2+ A.[2,3) C.[2,3)∪(3,+∞) 答案 C 解析 要使函数有意义,需满足? 即 x≥2 且 x≠3. 要点三 求函数值或值域 1 2 例 3 已知 f(x)= (x∈R,且 x≠-1),g(x)=x +2(x∈R). 1+x (1)求 f(2),g(2)的值; 3 ?x-2≥0, ? ?x-3≠0, ? 1 的定义域是( x-3 B.(3,+∞) ) D.(2,3)∪(3,+∞) (2)求 f[g(3)]的值. 1 解 (1)∵f(x)= , 1+x 1 1 ∴f(2)= = . 1+2 3 又∵g(x)=x +2, ∴g(2)=2 +2=6. (2)∵g(3)=3 +2=11, ∴f[g(3)]=f(11)= 1 1 = . 1+11 12 2 2 2 规律方法 求函数值时, 首先要确定出函数的对应法则 f 的具体含义, 然后将变量代入解析 式计算,对于 f[g(x)]型的求值,按“由内到外”的顺序进行,要注意 f[g(x)]与 g[f(x)] 的区别. 跟踪演练 3 求下列函数的值域. (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y= x+1; (3)y= x . x+1 解 (1)(直接法)将 x=1,2,3,4,5 分别代入 y=2x+1 计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)(观察法)∵函数的定义域为{x|x≥0}, ∴ x≥0, ∴ x+1≥1. ∴函数 y= x+1 的值域为[1,+∞

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