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江苏省常州市溧阳市2014-2015学年高三上学期期中数学试卷(文科)


2014-2015 学年江苏省常州市溧阳市高三(上)期中数学试卷(文 科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分)只需直接写出结果. 1.若复数 z 满足 iz=1+i(i 为虚数单位) ,则 z= . 2.命题“? x∈R,x >0”的否定是
2 2

. ≤﹣1 的解集为 B,则 A∩

3.设函数 f(x)=log2(3﹣x )的定义域为 A,不等式 B= .

4.过点(1,0)且与直线 x﹣2y﹣2=0 平行的直线方程是



5.已知 、 为单位向量,其夹角为 60°,则(2 ﹣ ) ?

=



6.以椭圆

=1 的左焦点为圆心,长轴长为半径的圆的标准方程是



7. (5 分) (2013?广东) 若曲线 y=ax ﹣lnx 在点 (1, a) 处的切线平行于 x 轴, 则 a=

2



8.不等式组

表示的平面区域的面积为



9.设 a,b 为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 a∥α且 b∥α,则 a∥b; (2)若 a⊥α且 b⊥α,则 a∥b; (3)若 a∥α且 a∥β,则α∥β; (4)若 a⊥α且 a⊥β,则α∥β. 上面命题中,所有真命题的序号是 . 10.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x>2},则 f(10 )>0 的解集 为 .
x

11.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x =2py(p>0)

2

的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程 为 .

12. 函数 y= (x﹣1) |x﹣a| (a>1) 在

上是减函数, 则实数 a 的取值范围是



13.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣4m=0 交于点 P,则 | + |= .
2 2 2

14.已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a +b +c =3,则 a 的最大值是



二、解答题(本大题共 6 小题,满分 90 分) ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)﹣f(﹣θ)= ,θ∈(0, ) ,求 f( ﹣θ) . ) ,x∈R,且 f( )= .

16.如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥面 ABCD,点 E 是 PD 的中 点. (1)求证:AC⊥PB; (2)求证:PB∥平面 AEC.

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,2) ,B(0,4) ,圆 C 以线段 AB 为直径 (1)求圆 C 的方程; (2)设点 P 是圆 C 上与点 A 不重合的一点,且 OP=OA,求直线 PA 的方程和△POA 的面积. 18.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米,高 为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方 米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000π元(π为圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V(r) ,并求该函数的定义域;

(Ⅱ)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

19.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率为 e=

,且 a+b=3.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于 点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,求证:点(m,k)在直线 y=2x ﹣ 上.

20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(a﹣1)Sn=a(an﹣1) (a>0.n∈N ) (1)证明数列{an}是等比数列,并求 an; (2)当 a= 时,设 bn=Sn+λn+
2

*

,试确定实数λ的值,使数列{bn}为等差数列;
*

(3)已知集合 A={x|x ﹣(a+1)x+a≤0},问是否存在正数 a,使得对于任意的 n∈N ,都有 Sn∈A,若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

2014-2015 学年江苏省常州市溧阳市高三(上)期中数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分)只需直接写出结果. 1.若复数 z 满足 iz=1+i(i 为虚数单位) ,则 z= 1﹣i . 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由 iz=1+i,两边除以 i,按照复数除法运算法则化简计算. 解答: 解:由 iz=1+i,得 z= =1﹣i

故答案为:1﹣i. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数的基本概念.属于基础题. 2.命题“? x∈R,x >0”的否定是
2





考点: 全称命题;命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 解答: 解:根据全称命题的否定是特称命题得:命题“? x∈R,x >0”的否定是: . 故答案为: .
2

点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握全称命题的否定是特称命题,特 称命题的否定是全称命题. 3.设函数 f(x)=log2(3﹣x )的定义域为 A,不等式
2

≤﹣1 的解集为 B,则 A∩B=



单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先标出已知不等式组表示的平面区域,根据围成此区域的多边形特征探求其面积. 解答: 解:如右图所示,在同一坐标系中分别作出直线 l1:x+y=4,l2:x﹣y=2

于是得到不等式组

表示的平面区域,即四边形 OABC(含边界) ,

连结 AC,则 S 四边形 0ABC=SRt△OAC+S△ABC, 由 A(0,4) ,C(2,0)知,直线 AC 的方程为 2x+y﹣4=0,且|AC|=





得 B(3,1) ,从而点 B 到直线 AC 的距离 d=



所以 S△ABC= |AC|? d= 又 SRt△OAC= |OC|? |OA|= ,



所以 S 四边形 OABC=4+3=7,即原不等式组表示的平面区域的面积为 7. 故答案为:7.

点评: 1.本题主要考查了不等式组表示的平面区域的应用,平面内的距离公式等,考查了 数形结合思想、化归思想,解决本题的关键有两个:一是正确作出不等式组表示的平面区域, 二是善于将面积进行转化. 2.对于面积的求解,首先应弄清区域的形状,若为三角形,一般根据“ 底×高”求解,

底可以由两点间距离公式得到,高可以由点到直线的距离公式得到;若为四边形或四边以上 的多边形,一般将其拆分为几个易求的三角形或四边形求解. 9.设 a,b 为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 a∥α且 b∥α,则 a∥b; (2)若 a⊥α且 b⊥α,则 a∥b; (3)若 a∥α且 a∥β,则α∥β; (4)若 a⊥α且 a⊥β,则α∥β. 上面命题中,所有真命题的序号是 (2) (4) . 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 分析: (1)用几何体模型来说明; (2)用垂直同一平面的两直线平行判断; (3)用几何体 模型判断; (4)用垂直于同一直线的两平面平行判断. 解答: 解: (1)若 a∥α且 b∥α,则 a∥b 或相交或异面,不正确; (2)若 a⊥α且 b⊥α,则 a∥b,由垂直同一平面的两直线平行知正确; (3)若 a∥α且 a∥β,则α∥β或相交; (4)若 a⊥α且 a⊥β,则α∥β,由垂直于同一直线的两平面平行. 故填(2) (4) . 点评: 本题主要考查空间中线与线、线与面、面与面的位置关系,要注意常见结论和定理的 应用.

10.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x>2},则 f(10 )>0 的解集为 {x|x<lg2} . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x>2},可得﹣1,2 是一元二次方 程 f(x)=0 的两个实数根.于是 f(10 )>0 化为﹣1<10 <2,解得即可. 解答: 解:∵一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x>2}, ∴﹣1,2 是一元二次方程 f(x)=0 的两个实数根. ∴f(10 )>0 化为﹣1<10 <2,解得 x<lg2. x ∴f(10 )>0 的解集为{x|x<lg2}. 故答案为:{x|x<lg2}. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、对数 的运算性质,属于中档题.
x x x x

x

11.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x =2py(p>0)

2

的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程 为 y=±x . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的右顶点 A(a,0) ,拋物线 x =2py(p>0)的焦点及准线方程,根据已知 条件得出 及 , 求出 a=b, 得双曲线的渐近线方程为: y=±x.
2

解答: 解:∵右顶点为 A, ∴A(a,0) , ∵F 为抛物线 x =2py(p>0)的焦点, F ∵|FA|=c, ∴ 抛物线的准线方程为 ,
2









由①②,得
2 2 2

=2c,即 c =2a ,

2

2

∵c =a +b , ∴a=b, ∴双曲线的渐近线方程为:y=±x, 故答案为:y=±x. 点评: 熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键.

12.函数 y=(x﹣1)|x﹣a|(a>1)在

上是减函数,则实数 a 的取值范围是



考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先对函数化简可得 y=(x﹣1)|x﹣a|= 图象,结合图象可求 a 的范围 解答: 解:y=(x﹣1)|x﹣a|= ,作出函数的

= ∵a>1 其图象如图所示 ∵函数 y=(x﹣1)|x﹣a|(a>1)在 上是减函数

∴ ∴3≤a≤4 故答案为:

点评: 本题主要考查了函数单调性的应用,解题 的关键是准确作出函数的图象,体现了数 形结合思想 的应用.

13. 设 m∈R, 过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣4m=0 交于点 P, 则| 4 .

+

|=

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据已知直线方程容易求出 A(0,0) ,B(4,0) ,这两直线的方程联立得方程组 , 解方程组即得 P 点坐标, 从而可求出向量 的坐标, 从而求出

的坐标,根据向量长度的计算公式即可求得|

|.

解答: 4β解:直线 x+my=0 过定点 A(0,0) ; 由直线 mx﹣y﹣4m=0 得 m(x﹣4)﹣y=0,∴该直线过定点 B(4,0) ;



















=



故答案为:4. 点评: 考查过定点的直线系方程,直线的交点坐标和两直线方程联立形成方程组解的关系, 以及根据坐标求向量长度. 14.已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a +b +c =3,则 a 的最大值是
2 2 2



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由已知条件变形后,利用完全平方式将变形后的式子代入得到 b、c 是某一方程的两 个实数根,利用根的判别式得到有关 a 的不等式后确定 a 的取值范围. 解答: 解:∵a+b+c=0,a +b +c =3 2 2 2 ∴b+c=﹣a,b +c =3﹣a , ∴bc= (2bc) = =a ﹣ , b、c 是方程:x +ax+a ﹣ =0 的两个实数根, ∴△≥0 ∴a ﹣4(a ﹣ )≥0 即 a ≤2 ﹣ ≤a≤ 即 a 的最大值为 故答案为: . 点评: 本题考查了函数最值问题,解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等 式,进而求得 a 的取值范围 二、解答题(本大题共 6 小题,满分 90 分) ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)﹣f(﹣θ)= ,θ∈(0, ) ,求 f( ﹣θ) . ) ,x∈R,且 f( )= .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)通过函数 f(x)=Asin(x+ ) ,x∈R,且 f( )= ,直接求 A 的值;

(2)利用函数的解析式,通过 f(θ)﹣f(﹣θ)= 两角差的正弦函数求 f( ﹣θ) .

,θ∈(0,

) ,求出 cosθ,利用

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=Asin(x+ ∴f( ∴ )=Asin( . + )=Asin =

) ,x∈R,且 f( ,

)=



(2)由(1)可知:函数 f(x)=3sin(x+ ∴f(θ)﹣f(﹣θ)=3sin(θ+ =3 =3? 2sinθcos ∴sinθ= ∴cosθ= ∴f( ﹣θ)=3sin( , , =3sinθ= ,

) , )

)﹣3sin(﹣θ+

)=3sin(

)=3cosθ=



点评: 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的解析式的求法,基本知识的考查. 16.如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥面 ABCD,点 E 是 PD 的中 点. (1)求证:AC⊥PB; (2)求证:PB∥平面 AEC.

考点: 直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: (1)欲证 AC⊥PB,可先证 AC⊥面 PAB,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 AC 与面 PAB 内两相交直线垂直,根据 PA⊥面 ABCD,AC? 面 ABCD,可得 PA⊥AC,又因 AB⊥AC, PA∩AC=A,PA? 面 PAB,AB? 面 PAB,满足定理所需条件;

(2)欲证 PB∥面 AEC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 PB 与面 AEC 内一直线平 行即可,连接 BD 交 AC 于点 O,并连接 EO,根据中位线可知 EO∥PB,PB? 面 AEC,EO? 面 AEC 满足定理所需条件. 解答: 证明: (1)∵PA⊥面 ABCD,AC? 面 ABCD,∴PA⊥AC(2 分) 又∵AB⊥AC,PA∩AC=A,PA? 面 PAB,AB? 面 PAB ∴AC⊥面 PAB∴AC⊥PB(7 分) (2)连接 BD 交 AC 于点 O,并连接 EO, ∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴O 为 BD 的中点又∵E 为 PD 的中点 ∴在△PDB 中 EO 为中位线,EO∥PB ∵PB? 面 AEC,EO? 面 AEC∴PB∥面 AEC. (14 分)

点评: 本题考查了空间两直线的位置关系,以及直线与平面平行的判定等有关知识,考查学 生空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题. 17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,2) ,B(0,4) ,圆 C 以线段 AB 为直径 (1)求圆 C 的方程; (2)设点 P 是圆 C 上与点 A 不重合的一点,且 OP=OA,求直线 PA 的方程和△POA 的面积. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)确定圆心与半径,即可求圆 C 的方程; (2)利用点斜式可得直线 PA 的方程,求出 PA,点 O 到直线 PA 的距离,可求△POA 的面积. 解答: 解: (1)设圆 C 的圆心 C(a,b) ,半径为 r,则 a=1,b=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∴圆 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣3) =2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)∵OP=OA,CP=CA,∴OC 是线段 PA 的垂直平分线﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 又 OC 的斜率为 3,∴PA 的斜率为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2 2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ∴直线 PA 的方程为 ﹣(10 分) , 即 x+3y﹣8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∵点 O 到直线 PA 的距离 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) OA= …..(12 分)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣



…(13 分)

∴△POA 的面积=

…(14 分)

点评: 本题考查直线和圆的方程的应用,考查圆的方程,考查三角形面积的计算,属于中档 题. 18.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米,高 为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方 米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000π元(π为圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V(r) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: (I)由已知中侧面积和底面积的单位建造成本,结合圆柱体的侧面积及底面积公式, 根据该蓄水池的总建造成本为 12000π元,构造方程整理后,可将 V 表示成 r 的函数,进而根 据实际中半径与高为正数,得到函数的定义域; (Ⅱ)根据(I)中函数的定义值及解析式,利用导数法,可确定函数的单调性,根据单调性, 可得函数的最大值点. 解答: 解: (Ⅰ)∵蓄水池的侧面积的建造成本为 200? πrh 元, 底面积成本为 160πr 元, 2 ∴蓄水池的总建造成本为 200? πrh+160πr 元 2 即 200? πrh+160πr =12000π ∴h= (300﹣4r )
2 2 2 2

∴V(r)=πr h=πr ?

(300﹣4r )=

2

(300r﹣4r )

3

又由 r>0,h>0 可得 0<r<5 故函数 V(r)的定义域为(0,5 (Ⅱ)由(Ⅰ)中 V(r)= 可得 V′(r)= ∵令 V′(r)=


3

(300r﹣4r ) , (0<r<5
2



(300﹣12r ) , (0<r<5 (300﹣12r )=0,则 r=5
2



∴当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,函数 V(r)为增函数

当 r∈(5,5 )时,V′(r)<0,函数 V(r)为减函数 且当 r=5,h=8 时该蓄水池的体积最大 点评: 本题考查的知识点是函数模型的应用,其中(Ⅰ)的关键是根据已知,求出函数的解 析式及定义域, (Ⅱ)的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点.

19.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率为 e=

,且 a+b=3.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于 点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,求证:点(m,k)在直线 y=2x ﹣ 上.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由题意可得

解得即可.

(2)由(1)知:A(﹣2,0) ,B(2,0) ,D(0,1) ,可得直线 AD 的方程为 意直线 BP 的方程为 y=k(x﹣2) ,k≠0,且

,由题

,联立可得点 M 的坐标.设 P(x1,y1) ,

由直线 BP 的方程与椭圆的方程联立可得点 P 的坐标.设 N(x2,0) ,则由 P,D,N 三点共线 得,kDP=kDN.即可证明.

解答: (1)解:由

解得



∴椭圆 C 的方程为



(2)证明:由(1)知:A(﹣2,0) ,B(2,0) ,D(0,1) , ∴直线 AD 的方程为 ,

由题意,直线 BP 的方程为 y=k(x﹣2) ,k≠0,且





解得



设 P(x1,y1) ,则由

,得(4k +1)x ﹣16k x+16k ﹣4=0.

2

2

2

2

∴ ∴

, .





设 N(x2,0) ,则由 P,D,N 三点共线得,kDP=kDN.













∴MN 的斜率





,即点(m,k)在直线

上.

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立可得跟 与系数的关系、斜率计算公式、三点共线,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(a﹣1)Sn=a(an﹣1) (a>0.n∈N ) (1)证明数列{an}是等比数列,并求 an; (2)当 a= 时,设 bn=Sn+λn+
2 *

,试确定实数λ的值,使数列{bn}为等差数列;
*

(3)已知集合 A={x|x ﹣(a+1)x+a≤0},问是否存在正数 a,使得对于任意的 n∈N ,都有 Sn∈A,若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用“当 n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”及其等比数列的定义及其通 项公式即可得出. (2)当 时,由(1)利用等差数列的前 n 项和公式可得 Sn= ,bn,要使{bn}为等差

数列,可得 b1+b3=2b2,解出λ即可. (3)对 a 分类讨论,a≥1 时比较简单.若 0<a<1,可得 A=,利用等比数列的前 n 项和公式 可得 Sn= 可. 解答: 解: (1)当 n=1 时, (a﹣1)a1=a(a1﹣1)得 a1=a>0. ∵(a﹣1)Sn=a(an﹣1) , ∴当 n≥2 时, (a﹣1)Sn﹣1=a(an﹣1﹣1) , 两式相减得(a﹣1)an=a(an﹣an﹣1) ,化为 an=aan﹣1. ∴an>0 恒成立,且 ∴{an}是等比数列. 又{an}的首项 a1=a,公比为 a, ∴ . , .可得 .要使 Sn∈A,必须 ,解得即

(2)当

时,由(1)得



∴ 要使{bn}为等差数列,则 b1+b3=2b2, 即 解得λ=1, 又当λ=1 时,bn=n+1, ∴{bn}为等差数列, 综上所述:λ=1.





(3)若 a=1,则 A={1},Sn=n,∴S2? A,不合题意; 若 a>1,则 A=, ,∴S2? A,不合题意;

若 0<a<1,则 A=,

=

=







要使 Sn∈A,则

,解得,



综上所述,满足条件的正数 a 存在,a 的取值范围为



点评: 本题考查了利用“当 n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”及其等比数列的定义及 其通项公 Sn 式、前 n 项和公式、集合的性质,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力 与计算能力,属于难题.


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