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2017届河北省定州中学高三上学期周练(9.11)数学试题


河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三数学周练试题(六)
一、选择题 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? an ? 1 ? 0 (n ? N ? ) ,则此数列的通项 an 等于( A. n ? 1
2



B. n ? 1 D. 3 ? n

C. 1 ? n

2.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

8? cm3 3 10? C. cm3 3
A.

B. 3? cm3 D. 6? cm3
x

3.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 3, 则f ( ?2) =( C.

)A.1

B. -1

1 4

D. ?

11 4

4.若 a>1,b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,则 lg(a-1)+lg(b-1)的值等于 A.0 B.lg2 C.1 D.-1 )

5.已知等差数列的前 n 项和为 S n ,若 S13 ? 0, S12 ? 0, 则此数列中绝对值最小的项为( A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 D.第 8 项

6. “x=2”是“ (x﹣2) (x+5)=0”的( ? A.必要不充分条件 C.充要条件

? x ? y ? 2 ? 0, ? 7.变量 x, y 满足 ? x ? y ? 0, ,目标函数 z ? 2 x ? y ,则 z 的最小值是 ? x ? 0, ?
A. ?


1 2

B. 0

C. 1

D. ? 1
1第

8.已知命题 p:?x∈[0, A.[ ? ,-1]

?
2

],cos2x+cosx-m=0 的否定为假命题,则实数 m 的取值范围是(



9 8

B.[ ? ,2]

9 8

C.[-1,2]

D.[ ? ,+∞)

9 8

9.已知函数 g ? x ? 的图象与函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? 1 的图象关于原点对称,且两个图象恰好有三 个不同的交点,则实数 a 的值为( A. ) B.1 已知 a,b 为非零向量, ,若 C. e D. e 2

1 e

10.

,当且仅当 t= 时,|m 取得最小值,

则向量 a,b 的夹角为 A. B. C. D.

11.设集合 M ? ? x | x ? 1? ,P ? x | x 2 ? 1 则下列关系中正确的是 A. M ? P
2

?

?

B. P ? M

C. M ? P

D. M ? P ? R

12. 抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一点, 若 ?OFM 的外接圆与抛物线 C 的 准线相切( O 为坐标原点) ,且外接圆的面积为 9π ,则 p ? ( A.2 B.4 C.6 D.8 )

二、填空题 13.椭圆 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直,则△PF1F2 的面积为 .

14.若函数 f ?g ( x)? ? 6 x ? 3且g ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x) 等于 15.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为

▲ .



2第

16.阅读下图程序框图,如果输出的函数值在区间 ? , ? 内,那么输入实数 x 的取值范围是_____.

?1 1? ?9 3?

三、计算题 17.已知 f ( x) ? cos

3x x 3x x ?? ? cos ? sin sin ? 2 sin x cos x ,当 x ? ? , ? ? ,求函数 f ( x) 的零点. 2 2 2 2 ?2 ?

18.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 是 R 上的奇函数,且 f(1)=2,f(2)=10 (1)确定函数 f ( x) 的解析式;(2)用定义证明 f ( x) 在 R 上是增函数; (3)若关于 x 的不等式 f(x2-4)+f(kx+2k)<0 在 x∈(0,1)上恒成立,求 k 的取值范围。

19. (本题 13 分)已知 a1 ? 2 ,点 (a n,a (1)证明数列 ?lg(1 ? a n )? 是等比数列;

n ?1

2, 3, ? ) 在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图象上,其中 n ? 1,

(2)设 Tn ? (1 ? a1 ) ? (1 ? a 2 ) ? (1 ? a n ) ,求 Tn ; (3)记 bn ?

1 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn,并证明 Sn<1 ? an an ? 2

20.已知数列 {a n } 满足: an

? 0 , a1 ? 1 , {

1 } 2 为公差为 4 等差数列.数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , an

且满足


S n ?1 Sn ? ? 16n 2 ? 8n ? 3 . (n ? N ? ) 2 2 an an ?1
3第

①求数列 {an } 的通项公式

an ;
1 ? (bn ?1 ? n ? 1)(n ? N ? ) ,若在 cn 9

②试确定 1 的值,使得数列 {bn } 是等差数列; ③设数列 {cn } 满足: log 3 cn 入 n 个数,使得这 n ? 与 cn ?1 之间插

b

2 个数组成一个公差为 d n 的等差数列.

1 1 ? ? ?? ? 1 ? 5 。 求证: d1 d 2 dn 8
21.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 对边的长分别是 a, b, c ,且 c ? 2, C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (2)若 sin( A ? B ) ? sin(2 A ? C ) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积. 22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1;数列{bn}满足 bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N ),b1=1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列 ?
*

? . 3

?1? ? 的前 n 项和 Tn. ? bn ?

23.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ABD=60°, ∠BDC=45°,PD 垂直底面 ABCD,PD= 2 2 R.E , F 分别是 PB,CD 上的点,且 PC 于 G. (1)求 BD 与平面 ABP 所成角 θ 的正弦值; (2)证明:△EFG 是直角三角形; (3)当

PE DF ,过点 E 作 BC 的平行线交 ? EB FC

PE 1 ? 时,求△EFG 的面积。 EB 2

24.设函数 f ( x) = sin 2 x -sin(2x- (1)求函数 f ( x) 的最大值和最小值;


?
2

) .

4第

(2) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , c ? 3 ,f( 面积.

C 1 )= ,若 sin B ? 2sin A ,求 ?ABC 的 2 4



5第

参考答案 1.D 11.C 14. 3 x 15. 3? 16. (1, 2) 17. x ? 2.A 12.B 3. B 13.9 4.A 5.C 6. B 7.D 8.C 9.C 10.C

5? 8 2 cos(2 x ?

解 ? f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x =

?
4

) , ? 令 f ( x) ? 0 ,

2 cos(

?
4

? 2 x) =0 , 又

9? ? 3? 5? 5? ? ? ? 5? ? ,? x ? ,? 函数 f ( x) 的零点是 x ? . ? x ? ? ,? ? ? ? ? 2x ? ? ? 2x ? 4 4 4 4 2 8 8 ?2 ?
18. (1) f ( x) ? x ? x
3

(3) (-∞,1]

解:

(1) ? 函数f ( x)是奇函数` ? f (? x) ? ? f ( x) 即 ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? ?ax 3 ? bx 2 ? cx ? 2bx ? 0即b ? 0 ? f (1) ? 2, f (2) ? 10 ?a ? c ? 2 ?? 解得a ? c ? 1 ?8a ? 2c ? 10 函数的解析式是f ( x) ? x 3 ? x....................................................5

(2)证明:设 x1,x2 是 R 上的任意两个不相等的实数,且 x1<x2, 则 ?x ? x 2 ? x1 ? 0
3 2 ?y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? x 2 ? x13 ? x1 ? ( x 2 ? x1 )( x 2 ? x1 x 2 ? x12 ) ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( x 2 ? x1 )( x 2 ? x1 x 2 ? x12 ? 1) ? ( x 2 ? x1 )[( x 2 ?

x1 2 3 x12 ) ? ? 1] 2 4
? ?y ? 0

? ?x ? x 2 ? x1 ? 0

( x2 ?

x1 2 3 x12 ) ? ?1 ? 0 2 4

∴函数 f(x)在 R 上是增函数。……………………………………………………………..10 (3)∵f(x2-4)+f(kx+2k)<0 ∴f(x2-4)<-f(kx+2k)=f(-kx-2k)

又因为 f(x)是增函数,即 x2-4<-kx-2k ∴x2+kx+2k-4<0 在(0,1)上恒成立 法(一)令 g(x) =x2+kx+2k-4 x∈(0,1) ………………………………..12



6第

? g (0) ? 2k ? 4 ? 0 ? ? g (1) ? 3k ? 3 ? 0

解得k ? 1

∴k 的取值范围是(-∞,1] ……………14

19.解: (Ⅰ)由已知

2 a n ?1 ? a n ? 2a n

? a n ?1 ? 1 ? (a n ? 1) 2

1g (1 ? a n ?1 ) ? 21g ?1 ? a n ? , ?? 1g (1 ? a n )? 是公比为 2 的等比数列。
1g (1 ? a n ) ? 2 n ?1 ? 1g (1 ? a1 ) ? 2 n ?1 ? 1g 3 ? 1g 3 2 ?1 ? a n ? 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知
n ?1 n ?1

? Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ? (1 ? a n ) ? 3 2 ? 3 2 ? 3 2 ??3 2
由 (?) 式得 (Ⅲ)

0

1

2

n ?1

? 31? 2? 2

2

??? 2

n ?1

? 32

n ?1

an ? 32

n ?1

?1

2 ? a n ?1 ? a n ? 2a n

? a n ?1 ? a n (a n ? 2)
? 1 a n ?1 ? 1 1 1 1 1 2 ( ? )? ? ? 2 an an ? 2 a n ? 2 a n a n ?1 1 1 ? ) a n a n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ) ? 2( ? ) a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1 a1 a n ?1
n

? bn ? 2(

? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2(



an ? 3

2 n ?1

? 1 , a1 ? 2 ,

a n ?1 ? 3 2 ? 1? S n ? 1 ?

2 3 ?1
2n

? S n ? 1。
20.解:①∵ {

1 1 1 ? ? 4(n ? N *) } 2 2 2 为公差为 4 等差数列.∴ an a n ?1 an 1 an
2

∵ a1

?1



? 1 ? 4(n ? 1)

∴ an

2

?

1 4n ? 3



an ? 0

∴ an

?

1 (n ? N *) .??????4 分 4n ? 3
7第





S n ?1 Sn 2 ? ? 16 n ? 8n ? 3 2 2 an an ?1

,



(4n ? 3) S n ?1 ? (4n ? 1) S n ? (4n ? 3)(4n ? 1) ,????6 分
Sn ? S1 ? n ? 1 ∴ 4n ? 3

S n ?1 S ? n ?1 ∴ 4n ? 1 4n ? 3
∴ Sn 若

? (4n ? 3)( S1 ? n ? 1) ???????7 分

{bn } 为等差数列,则 b1 ? 1 ? 0,即b1 ? 1
? 8n ? 7 ( n ? N *) ????????8 分

∴ bn

③依题意 log 3 cn

1 ? (bn ?1 ? n ? 1) = 1 (8n ? 1 ? n ? 1) ? n , 9 9



cn ? 3n ,????????8 分
? 3n ?1 ,由题知:

则 cn ?1

2? 3n cn ?1 ? cn ? (n ? 1)d n ,则 d n ? .?????10 分 n ?1 1 n ?1 ? 由上知: d n 2? 3n ,

T ? 所以 n

1 1 1 2 3 n ?1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? d1 d 2 d n 2 ? 3 2 ? 32 2 ? 3n


1 2 3 n ?1 Tn ? ? ? ??? ? 3 2 ? 32 2 ? 33 2 ? 3n ?1
所以

2 1 1 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ( 2 ? 3 ? ??? ? n ) ? ????12 分 3 3 2 3 3 3 2 ? 3n ?1

1? 1 n ?1 ? 1 ? ( ) 1 1 9? 3 ? ? ? ? n ? 1 ? 5 ? 5 ? 2n ? ? ? 1 3 2 2 ? 3n ?1 12 4 ? 3n ?1 1? 3
所以 Tn



?

5 5 ? 2n 5 ? ? .????????14 分 8 8 ? 3n 8
8第



21.解: (1)由余弦定理及已知条件,得 a 2 ? b 2 ? ab ? 4 。 因为 ?ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,解得 ab ? 4 。 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?a ? 2, 联立得方程组 ? ,解得 ? 。 ?b ? 2 ?ab ? 4
(2)由题意,得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ,即 sin B cos A ? 2sin A cos A 。 当 cos A ? 0 ,即 A ?

? 4 3 2 3 ? 时, B ? , a ? ; ,b ? 6 3 3 2

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得 b ? 2a .

? 2 3 a? , ? ?a ? b ? ab ? 4, ? 3 由题意得方程组 ? ,解得 ? . ?b ? 2a ?b ? 4 3 ? 3 ?
2 2

所以 ?ABC 的面积 S ? 22. (1)an=2
n-1

1 2 3 . ab sin C ? 2 3
1 n (2) (n-1)·2 +1. n

,bn=

解:(1)由 Sn=2an-1,得 S1=2a1-1,∴a1=1. 又 Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n≥2), 两式相减,得 Sn-Sn-1=2an-2an-1,an=2an-2an-1. ∴an=2an-1,n≥2.∴数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. ∴an=1·2
n-1

=2

n-1

.
*

由 bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N ),得

1 1 - =1. bn bn ?1

又 b1=1,∴数列 ?

?1? ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. ? bn ?



1 1 =1+(n-1)·1=n.∴bn= . n bn

(2)由(1)可知
0

an n-1 =n·2 , bn
1

∵Tn=1·2 +2·2 +?+n·2

n-1

,∴2Tn=1·2 +2·2 +?+n·2 .

1

2

n



9第

1 ? 2n n n n 两式相减,得-Tn=1+2 +?+2 -n·2 = -n·2 =-1+2 -n·2 . 1? 2
1

n-1

n

∴Tn=(n-1)·2 +1 23.解 (1)在 Rt?BAD 中,∵ ?ABD ? 600 ,? AB ? R, AD ? 3R ,而PD垂直底面 ABCD,

n

PA ? PD 2 ? AD 2 ?

?2

2R

? ??
2

3R

?

2

? 11R

PB ? PD 2 ? BD 2 ? (2 2 R) 2 ? (2 R) 2 ? 2 3R ,
在 ?PAB 中, PA2 ? AB 2 ? PB 2 ,即 ?PAB 为以 ?PAB 为直角的直角三角形。 设点 D 到面 PAB 的距离为 H ,由 VP ? ABD ? VD ? PAB 有 PA?AB?H ? AB ?AD?PD ,即

H?

AD?PD 3R?2 2 R 2 66 ? ? R PA 11 11R
H 66 ; ? BD 11
PE PG PE DF PG DF , 而 , 即 ? ? ? ,? GF / / PD , ? GF ? BC , EB GC EB FC GC DC

sin ? ?

( 2 ) EG / / BC ,?

? GF ? EG ,??EFG 是直角三角形;
(3)

PE 1 EG PE 1 GF CF 2 ? 时 ? ? , ? ? , EB 2 BC PB 3 PD CD 3

即 EG ?

1 1 2 2 2 4 2 BC ? ? 2 R ? cos 45? ? R, GF ? PD ? ? 2 2 R ? R, 3 3 3 3 3 3 1 1 2 4 2 4 EG ? GF ? ? R? R ? R2 2 2 3 3 9 9 3 . 14

??EFG 的面积 S ?EFG ?

24. (1)最大值 1,最小值 0; (2) S ?ABC ? 解: (1) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 1 1 ? cos 2 x ? cos 2 x ? , 2 2 2

∴当 cos 2 x ? 1 时,函数取得最大值 1;当 cos 2 x ? ?1 时,函数取得最小值 0 . (2)∵ f (

C 1 1 1 1 ) ? , ∴ cos C ? ? 2 4 2 2 4

又∵ C ? (0, ? ) ,

∴ C?

2? , ∵ sin B ? 2sin A , ∴ b ? 2a 3
10 第



∵ c ? 3 ,∴ 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a ? cos
2 2

2? , 3

∴a ?
2

9 1 9 3 ,∴ S ?ABC ? ab sin C ? a 2 sin C ? . 7 2 14



11 第


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