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湖北省武汉市2017届高三四月调研测试文科数学试题(Word版)


武汉市 2017 届高中毕业生四月调研测试

文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 2 1.复数 ) ?( i(3 ? i) 1 ? 3i 1 ? 3i 3?i 3?i A. B. C. D. 5 5 5 5 1 2.已知集合 A ? {1,3} , B ? {x | 0 ? lg( x ? 1) ? , x ? Z } ,则 A ? B ? ( ) 2 A. {1,3} B. {1,2,3} C. {1,3,4} D. {1,2,3,4}
3.设 a 是非零向量, ? 是非零实数,则下列结论正确的是( A. a 与 ? ? a 的方向相反 C. a 与 ? a 的方向相同
2



B. | ?? a |?| a | D. | ?? a |?| ? | a )

?x ? y ? 0 ? 4.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为( ?x ? 2 y ? 2 ?
17 2 5.等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18,则
A. B. C. ? 8 D.

16 3

9 2

log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( A. 12 B. 10 C. 8
1 A. 6 1 B. 12 5 C. 36

) D. 2 ? log3 5 )

6.若同时掷两枚骰子,则向上的点数和是 6 的概率为(

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 k ? ( A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

5 D. 18


8.若等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S 4 ? 4 , S6 ? 12 ,则 a4 的最小值 为( A. 2 ) B.

7 5 C. 3 D. 2 2 2 2 2 9.已知双曲线 C1 : x ? y ? a (a ? 0) 关于直线 y ? x ? 2 对称的曲线为 C2 ,若直线 2 x ? 3 y ? 6 与 C2 相切,则实数 a 的值为( ) 8 4 8 5 C. D. 5 5 5 10. 四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示,则该四棱锥的外接球的表面积为(
A.

2 5 5

B.



81? 20 101? D. 20 1 1 11.已知函数 f ( x) 满足 f ( ) ? f (? x) ? 2 x( x ? 0) ,则 x x ) f (?2) ? ( 9 7 7 9 A. ? B. C. D. ? 2 2 2 2 2 2 x y 12.若 x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? 1 ,则 的最小值为 ? x ? 2 y ?1
A. B. ( A. )

81? 5 101? C. 5

1 2 D. 2 4 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 1 ) 的定义域为 13.函数 f ( x ) ? ln(1 ? . x?3 x2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F ,与椭圆交于 M,N 两点.直线 PQ 过 14.已知直线 MN 过椭圆 2 原点 O 与 MN 平行,且 PQ 与椭圆交于 P,Q 两点,则
B.

1 4

3 2

C.

| PQ |2 ? | MN |



15.如图所示,某地一天 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b(| ? |? ? ) ,则这段曲线的函数解析式可以 为 . 16.在正四面体 ABCD 中, M,N 分别是 BC 和 DA 的中点,则异 面直线 MN 和 CD 所成角的余弦值为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. ) 17. 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 a ? 21 ,3b ? 2c ? 7 ,
A ? 60? . (1)求 b 的值; (2)若 AD 平分 ?BAC 交 BC 于点 D ,求线段 AD 的长.

18.一鲜花店根据一个月(30 天)某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下,将日销售量 落入各组区间频率视为概率. 日销售量(枝) 0 ~ 50 50 ~ 100 100 ~ 150 150 ~ 200 200 ~ 250 销售天数 3天 5天 13 天 6天 3天 (1)试求这 30 天中日销售量低于 100 枝的概率; (2)若此花店在日销售量低于 100 枝的时候选择 2 天作促销活动,求这 2 天恰好是在日销 售量低于 50 枝时的概率.

19.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 A1 ACC1 ? 底面 ABC , AB ? BC ? 2 ,

?ACB ? 30? , ?C1CB ? 60? , BC1 ? A1C , E 为 AC 的中点,侧棱 CC1 ? 2 . (1)求证: A1C ? 平面 C1EB ; (2)求直线 CC1 与平面 ABC 所成角的余弦值.

20.已知 f ( x) ? ln x ? x3 ? 2ex2 ? ax, a ? R ,其中 e 为自然对数的底数. (1)若 f ( x ) 在 x ? e 处的切线的斜率为 e ,求 a ;
2

(2)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围.

21. 已知圆 O : x ? y ? 1和抛物线 E : y ? x ? 2 , O 为坐标原点. (1)已知直线 l 和圆 O 相切,与抛物线 E 交于 M , N 两点,且满足 OM ? ON ,求直线 l 的 方程;
2 2 2

(2)过抛物线 E 上一点 P( x0 , y0 ) 作两直线 PQ, PR 和圆 O 相切,且分别交抛物线 E 于

Q, R 两点,若直线 QR 的斜率为 ? 3 ,求点 P 的坐标.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

8k ? x? ? ? x ? 2 ? t cos? ? 1? k2 已知曲线 C : ? ( k 为参数)和直线 l : ? ( t 为参数) . 2 y ? 1 ? t sin ? 2 ( 1 ? k ) ? ?y ? ? 1? k2 ? (1)将曲线 C 的方程化为普通方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,且 P(2,1) 为弦 AB 的中点,求弦 AB 所在的直线方
程.

23.选修 4-5:不等式选讲 (1)求不等式 | x ? 5 | ? | 2 x ? 3 |? 1 的解集; (2)若正实数 a , b 满足 a ? b ?

1 ,求证: a ? b ? 1. 2

武汉市 2017 届高中毕业生四月调研测试文科数学试卷答案
一、选择题
1-5: ABCAB 6-10: CCDDC 11、12:CA 14. 2 2 15. y ? 10 sin(

二、填空题
13. {x | x ? ?3 或 x ? ?2}

?

3 x ? ? )( 6 ? x ? 14) 8 4

2 2 三、解答题
16. 17 . 解 : ( 1 ) 由 余 弦 定 理 得 a ? b ? c ? 2bc cos A , 即 21 ? b ? c ? bc , 联 立 3b ? 2c ? 7 ,解得 b ? 5, c ? 4 .
2 2 2 2 2

1 1 3 ? AC ? AB sin A ? ? 5 ? 4 ? ? 5 3, 2 2 2 1 1 1 S ?ABD ? ? AB ? AD sin ?BAD ? ? 4 ? AD ? ? AD , 2 2 2 1 1 1 5 S ?ACD ? ? AC ? AD sin ?CAD ? ? 5 ? AD ? ? AD , 2 2 2 4 5 20 3. 由 S?ABC ? S?ABD ? S?ACD ,得 5 3 ? AD ? AD ,∴ AD ? 4 9 3 1 5 1 ? , P(50 ? x ? 100 ) ? ? , 18. (1)设月销量为 x ,则 P (0 ? x ? 50 ) ? 30 10 30 6 1 1 4 ? ? ∴ v(0 ? x ? 100 ) ? . 10 6 15 (2)日销售量低于 100 枝共有 8 天,从中任选两天促销共有 n ? 28 种情况;日销售量低于 50 枝共有 3 天,从中任选两天促销共有 m ? 3 种情况. m 3 ? 由古典概型公式得: P ? . n 28 E 为 AC 的中点, 19. (1) 证明: ∵ AB ? BC , ∴ BE ? AC , 又平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC , 平面 A1 ACC 1 ? 平面 ABC ? AC ,∴ BE ? 平面 A 1 ACC 1 ,又 A 1C ? 平面 A 1 ACC 1 ,∴ BE ? A1C . 又 BC1 ? A 1C , BE ? BC 1 ? B ,∴ A 1C ? 面 C1EB . (2)∵面 A1 ACC1 ? 面 ABC ,∴ C1 在面 ABC 上的射影 H 在 AC 上,∴ ?C1CA 为直线 C1C 与面 ABC 所成的角.过 H 作 HM ? BC 于 M ,连 C1M ,
(2) S ?ABC ? 在 Rt?C1CM 中, CM ? CC1 cos?C1CM ? 2 cos60? ? 1 .

CM 2 3 ? . cos ?ACB 3 2 3 CH 3 3 ? ? ∴在 Rt?C1CH 中, cos ?C1CH ? . CC1 2 3
在 Rt ?CMH 中, CH ? ∴直线 C1C 与面 ABC 所成的角的余弦值为

3 3

1 1 1 ? 3x 2 ? 4ex ? a , f ' (e) ? ? e 2 ? a ? e 2 ,∴ a ? . x e e ln x ln x 3 2 ? x 2 ? 2ex ? a .记 F ( x) ? ? x 2 ? 2ex , ( 2 )由 ln x ? x ? 2ex ? ax ? 0 ,得 x x 1 ? ln x ? 2( x ? e) , 则 F ' ( x) ? x x ? (e,??) , F ' ( x) ? 0 , F ( x) 递减; x ? (0, e) 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x) 递增. 1 2 ∴ F ( x) max ? F (e) ? ? e . e 而 x ? 0 时 F ( x) ? ?? , x ? ?? 时 F ( x) ? ?? , 1 2 故a ? ?e . e |b| 21. (1)解:设 l : y ? kx ? b , M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,由 l 和圆 O 相切,得 ? 1. k2 ?1 2 2 ∴ b ? k ? 1. ? y ? kx ? b 2 由? 消去 y ,并整理得 x ? kx ? b ? 2 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? k , x1x2 ? ?b ? 2 . 2 ?y ? x ? 2
20.解: (1) f ' ( x) ? 由 OM ? ON ,得 OM ? ON ? 0 ,即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 . ∴ x1x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? 0 . ∴ (1 ? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0 , ∴ (1 ? k 2 )(?b ? 2) ? k 2b ? b2 ? 0 , ∴ b2 (?b ? 2) ? (b2 ? 1)b ? b2 ? 0 . ∴b ? b ? 0. ∴ b ? ?1 或 b ? 0 (舍) . 当 b ? ?1 时, k ? 0 ,故直线 l 的方程为 y ? ?1 .
2

(2) 设 P( x0 , y0 ) ,Q( x1 , y1 ) ,R( x2 , y2 ) , 则 kQR ∴ x1 ? x2 ? ? 3 .

2 y1 ? y2 ( x12 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? ? ? x1 ? x2 . x1 ? x2 x1 ? x2

设 lQR : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) ,由直线和圆相切,得
2 2 即 ( x0 ? 1)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ?1 ? 0 .

| y0 ? k1 x0 | k12 ? 1

? 1,

2 2 2 设 lPR : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ) ,同理可得: ( x0 ? 1)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ?1 ? 0 .

故 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 1)k ? 2x0 y0k ? y0 ? 1 ? 0 的两根,故 k1 ? k2 ?
2 2 2

2 x0 y0 . 2 x0 ?1

由?

? y ? k1 x ? y0 ? k1 x0 ?y ? x ? 2
2

得 x ? k1 x ? k1x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,故 x0 ? x1 ? k1 .
2

同理 x0 ? x2 ? k2 ,则 2 x0 ? x1 ? x2 ? k1 ? k2 ,即 2 x0 ? 3 ? ∴ 2 x0 ? 3 ?
2 3 2 x0 ( x0 ? 2) ,解 x0 ? ? 或 3. 2 3 x0 ? 1

2 x0 y0 . 2 x0 ?1

5 3 时, y0 ? ? ;当 x0 ? 3 时, y0 ? 1 . 3 3 3 5 故 P( ? ,? ) 或 P( 3,1) . 3 3 y 2 y 2 8k 2(1 ? k 2 ) 22.解: (1)由 y ? ,得 ? ?1 ? ,即 ? 1 ? ,又 x ? ,两 2 2 2 2 1? k 2 1? k 1? k2 1? k x 8? 8k x2 y 2 x 2y ? 4 ? x ? ? 1 ,即为 式相除得 k ? ,代入 x ? ,得 ,整理得 x 1? k2 16 4 2y ? 4 2 1? ( ) 2y ? 4 C 的普通方程. ? x ? 2 ? t cos? x2 y 2 ? ? 1, (2)将 ? 代入 16 4 ? y ? 1 ? t sin ?
当 x0 ? ? 整 理 得 (4 sin 2 ? ? cos2 ? )t 2 ? (4 cos? ? 8sin ? )t ? 8 ? 0 . 由 P 为 AB 的 中 点 , 则

4 cos ? ? 8 sin ? ? 0. 4 sin 2 ? ? cso 2?
∴ cos ? ? 2 sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ?

所求的直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 23.解: (1)当 x ? ?

1 1 1 ,故 l AB : y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 y ? ? x ? 2 ,所以 2 2 2

3 3 时, ? x ? 5 ? 2 x ? 3 ? 1 ,解得 x ? ?7 ,∴ ? 7 ? x ? ? ; 2 2 3 1 3 1 当 ? ? x ? 5 时, ? x ? 5 ? 2 x ? 3 ? 1 ,解得 x ? ,∴ ? ? x ? ; 2 3 2 3 当 x ? 5 时, x ? 5 ? (2 x ? 3) ? 1 ,解得 x ? ?9 ,舍去. 1 1 综上, ? 7 ? x ? .故原不等式的解集为 {x | ?7 ? x ? } . 3 3 1 1 (2) 证明: 要证 a ? b ? 1, 只需证 a ? b ? 2 ab ? 1 , 即证 2 ab ? , 即证 ab ? , 2 4 1 1 而 a ? b ? ? 2 ab ,所以 ab ? 成立,所以原不等式成立. 2 4


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