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等可能概型与几何概型_图文

第一章 概率论的基本概念
§2 等可能概型与几何概型
目录索引
等可能概型(古典概型) 几何概型
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第一章 概率论的基本概念
1. 等可能概型(古典概型)

等可能概型

生活中有这样一类试验,它们的共同特点是: ? 样本空间的元素只有有限个; ? 每个基本事件发生的可能性相同。
比如:足球比赛中扔硬币挑边,围棋比赛中猜先。 我们把这类实验称为等可能概型,考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位,又把它叫做古典概型。
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第一章 概率论的基本概念

等可能概型



A2

3

4

??

西



??



e1 e2 …… ek





en

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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性,得
P{e1} = P{e2} = L =P{ en}. 又由于基本事件两两互不相容;所以

1 = P{S} = P{e1}? P{e2}?? P{en},

P{ei }

=

1 n

,

i = 1,2,? , n.

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第一章 概率论的基本概念

等可能概型
若事件 A 包含 k 个基本事件,即 A ={e1, e2, …ek },
则有 :

P( A) =

k n

=

A包含的基本事件数 S中基本事件总数

.

例 1 将一枚硬币抛掷三次。设:

事件 A1为“恰有一次出现正面”, 事件 A2为“至少有一次出现正面”, 求 P (A1 ), P (A2 )。

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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
解:根据上一节的记号,E2 的样本空间 S2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT},
n = 8,即 S2 中包含有限个元素,且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同,属于古典概 型。

A1为“恰有一次出现正面”,

A1={HTT, THT, TTH},

k = 3,

k3 P (A 1) = n = 8 ,

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第一章 概率论的基本概念
事件 A2为“至少有一次出现正面”,等可能概型

A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH }

k2 = 7,

P

(A

2)

=

k2 n

=

7 8

,

另解 :

由于 A 2= {T T T},

k

A 2 = 1,P(A

2) =

k

A2
n

=1, 8

17 P (A2 ) = 1? P (A2 ) =1? 8 = 8 .

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第一章 概率论的基本概念

等可能概型

例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、2 只

红球。从袋中取球两次,每次随机的取一只。考

虑两种取球方式:

? 放回抽样 第一次取一只球,观察其颜色后放

回袋中, 搅匀后再取一球。

? 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中,第二

次从剩余的球 中再取一球。

分别就上面两种方式求:

1)取到的两只都是白球的概率;
2)取到的两只球颜色相同的概率;
3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
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第一章 概率论的基本概念

等可能概型

解:从袋中取两球,每一种取法就是一个基本事件。

设 A= “ 取到的两只都是白球 ”, B= “ 取到的两只球颜色相同 ”, C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:

P( A) =

42 62

= 0.444

P(B) =

42 ? 22 62

= 0.556

P(C )

=1?

P(C )

=1?

22 62

= 0.889

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第一章 概率论的基本概念
无放回抽取:

等可能概型

C42 P( A) = C62

P(B)

=

C42 ? C22 C62

P(C) = 1 ? P(C ) = 1 ? C22 C62

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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 3 将 n 只球随机的放入 N (N ? n) 个盒子中去, 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。
解: 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有
N ? N ?? ? N = N n 种放法,
而每个盒子中至多放一只球, 共有
N ? (N ?1)?? ?[N ? (n ?1)] = ANn 种放法 ,



p

=

N

? (N

? 1) ?? ? [N Nn

? (n

? 1)]

=

ANn Nn

.

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第一章 概率论的基本概念
经计算可得下述结果:

等可能概型

n 20 23 30 40 50 64 100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
此例可以作为许多问题的数学模型,比如用此公式 可以得出:
“在一个有64人的班级里,至少有两人生日相同”的 概率为 99.7%。

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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例4 设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任 取 n 件,问其中恰有 k ( k ? D ) 件次品的概率是多少?

1)不放回抽样 解:在 N 件产品中抽取 n 件,取法共有

CNn 种,

又 在 D 件次品中取 k 件,所有可能的取法有 CDk 种,

在 N-D

件正品中取 n-k

件,

所有可能的取法有

C

n?k N ?D

种,

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第一章 概率论的基本概念

等可能概型

由乘法原理知:在 N 件产品 中取 n 件,其中恰有 k

件次品的取法共有

C C k n?k D N?D

种,

于是所求的概率为:
p

=

C C k n?k D N?D

C

n N

此式即为超几何分布的概率公式。

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第一章 概率论的基本概念

2) 有放回抽样

等可能概型

从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列,
可能的排列数为 N n 个,将每一排列看作基本 事件,总数为 N n 。

而在 N 件产品 中取 n 件,其中恰有 k件次品

的取法共有

C

k n

Dk

(N

?

D) n?k

于是所求的概率为:

P

=

C

k n

Dk

(N

?

D) n?k

Nn

=

C nk

(

D N

)k

(1 ?

D N

) n?k

此式即为二项分布的概率公式。

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第一章 概率论的基本概念

等可能概型

例 5 在 1~2000 的整数中随机的取一个数,问取 到的整数既不能被 6 整除,又不能被 8 整除的概 率是多少?

解:设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”, B “为取到的整数能被 8 整除”,则所求的概率为:

P(A B ) = P(A? B) =1 ? P(A? B), 其中 P(A? B) = P(A) ? P(B) ? P(AB).

由于 333 ? 2000 ? 334, 所以能被 6 整除的整数 6
为:6,12,18…1998 共 333 个,

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第一章 概率论的基本概念

等可能概型

P( A)

=

333 2000

,

同理得

:

P(B) = 250 , P( AB) = 83 .

2000

2000

其中 B ={8, 16, … 2000 }, AB = {24, 48 …1992 },

AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”

于是所求的概率为:

p = 1?[P( A) ? P(B) ? P( AB)]

= 1? 333 ? 250 ? 83 = 1? 500 = 3 .

2000

2000 4

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第一章 概率论的基本概念

等可能概型

例 6 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去,这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问: (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少?

解:15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为:

C

5 15

?C

5 10

?

C

5 5

= 15 ?14 ?13 ?12 ?11 ? 10 ?9 ?8?7 ?6 ? 5?4 ?3?2 ?1 = 15 ! ,

5!

5!

5! 5!?5!?5!

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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级,使每个班级 都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新 生平均分配到 3 个班级中的分法共有
12!/ (4! 4!4!) 种,
每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为:
3!?[12!/(4! 4! 4!)]
于是所求的概率为:

p

1

=

3!?12 ! 4!4!4!

/

15 5!5!

! 5!

=

3

!?12 !?4!4!4! 15 !?5!5!5!

=

25 91

=

0.2747

.

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第一章 概率论的基本概念

等可能概型

(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为:

p

2

=

3

?

12 ! 2!5!5!

/

15 ! 5!5!5!

=

3

?12 !?5! 2!?15 !

=

6 91

=

0.0659

.

三名优秀生分配 其余12名新生,一个班级分2名, 在同一班级内 另外两班各分5名

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第一章 概率论的基本概念

等可能概型

例 7 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访,已

知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问

是否可以推断接待时间是有规定的?

解:假设接待站的接待时间没有规定,各来访 者在一周的任一天中去接待站是等可能的,那么 ,12 次接待来访者都在周二、周四的概率为:
212/712=0.0000003, 即千万分之三。

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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的 事件在一次实验中几乎是不发生的”(称之为 实际推断原理)。现在概率很小的事件在一次 实验中竟然发生了,从而推断接待站不是每天 都接待来访者,即认为其接待时间是有规定的。
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第一章 概率论的基本概念

等可能概型
例 8 袋中有 a 只白球,b 只黑球.从中任意
取出 k 只球,试求第 k 次取出的球是黑球的
概率. 解: 设:A=“第 k 次取出的球是黑球”
从 a ? b 个球中依次取出 k 个球,有取法 Pak? b 种
?样本点总数 ?.

第 k 次取出黑球,有取法 b 种,前 k ?1次取球,

有取法 Pak??b1?1种,因此事件 A 所含样本点数为

b ? Pak??b1?1 .

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第一章 概率论的基本概念

所以,

P?A? = b ? Pak??b1?1 =

b

等可能概型


Pak? b

a?b

注意:此结果与次数k 无关.

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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 9 一部10卷文集,将其按任意顺序排放在 书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率. 解:设 A={ 10卷文集按先后顺序排放 }

将10卷文集按任意顺序排放 ,共有 10!种不同的 排法(样本点总数).

1, 2, ? , 10,



10, 9, ? , 1,

所以

P?A?

=

2 10!

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第一章 概率论的基本概念

等可能概型

例10 同时掷 5 颗骰子,试求下列事件的概率:

A={ 5 颗骰子不同点 };

B={ 5 颗骰子恰有 2 颗同点 };

C={ 5 颗骰子中有 2 颗同点,另外 3 颗同

是另一个点数}.

解: 同时掷5颗骰子,所有可能结果共有65个

所以 事件 B

P?A? = P65
65 所含样本点数为

C52

?

6

?

P53



所以

P?B?

=

C52

?

6? 5

P53

= 0.4630;

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第一章 概率论的基本概念
例10(续)

等可能概型

事件 C 所含样本点数为C52 ? P62 ,

所以,

P?C? = C52 ? P62
65

=0.03858

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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 11 从 1~9 这 9 个数中有放回地取出 n 个数, 试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率. 解:A ={取出的 n 个数的乘积能被 10 整除};
B={ 取出的 n 个数至少有一个偶数 }; C ={取出的n 个数至少有一个 5 } . 则 A=B∩C

? ? P?A? = P?BC? = 1? P BC = 1 ? P?B ? C ?

=1? ?P?B ?? P?C ?? P?BC ??
=1? 5n ? 8n ? 4n 9n 9n 9n

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第一章 概率论的基本概念
二 几何概型

几何概型

几何概型考虑的是有穷多个等可能无结果的 随机试验。

首先看下面的例子。

例 1 (会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的, 且二人互不影响。求二人能会面的概率。

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第一章 概率论的基本概念

几何概型

解: 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,

于是 0 ? X ? 5, 0 ? Y ? 5.

y

即 点 M 落在图中的阴影部

分。所有的点构成一个正

5

4

方形,即有无穷多个结果。 3

.M(X,Y)

由于每人在任一时刻到达

2

1

都是等可能的,所以落在正 方形内各点是等可能的。

0 1 2 3 4 5x

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第一章 概率论的基本概念
二人会面的条件是:| X ?Y|? 1,

几何概型

阴影部分的面积 p = 正方形的面积

y

5

25 ? 2? 1 ? 42

=

2=

9

4 3

25

25. 2

1

y-x =1 y-x = -1

0 1 234 5 x
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第一章 概率论的基本概念
几何概型
一般,设某个区域 D (线段,平面区域,空
间区域),具有测 度 mD(长度,面积,体积)。
如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点, 且取到每一点都是等可能的,则称此类试验为 几何概型。
如果试验 E 是向区域内任意取点,事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A,则
P( A) = mA . mD
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第一章 概率论的基本概念

几何概型
例 2 (蒲丰投针问题)平面上有一族平行线。 其中任何相邻的两线距离都是 a (a>0) 。向平面 任意投一长为 l (l<a) 的针,试求针与一条平行线 相交的概率。

M
lM
?x

解 :设 x 是针的中点 M 到最
近的平行线的距离,? 是针与
此平行线的交角,投针问题就 相当于向平面区域 D 取点的 几何概型。
D = {(?, x)|0 ? ? ? ? ,0 ? x ? a}
2
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第一章 概率论的基本概念

D = {(?, x)|0 ? ? ? ? ,0 ? x ? a}
2

几何概型

x

A = {(?, x)|0 ? ? ? ? ,0 ? x ? l sin?}
2

a 2

x = l sin?
2

D

? p

=

A的面积 D的面积

=

? 0

l sin?d?
2
a?

=

2l
?a

.

A

2

0

??

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思考题

第一章 概率论的基本概念

几何概型

1) 某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机, 想听电 台报时, 求他等待的时间不超过 10 分钟的 概率。 (1/6)

2 ) 在线段 AD 上任意取两个点 B、C,在 B、C 处
折断此线段 而得三折线,求此三折线能构成三角形 的概率。(1/4)

3 )甲、乙两船停靠同一码头,各自独立地到达,

且每艘 船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需

停泊 1小时,乙 船需停泊 2小时,而该码头只能停

泊一艘船。试求其中一 艘船要等待码头空出的概率。

(0.121)

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第一章 概率论的基本概念

几何概型

4) 在区间 ( 0, 1 ) 中随机地取两个数,求下列事 件的概率:

(1) 两个数中较小(大)的小于 1/2 ; (3/4, 1/4)

(2) 两数之和小于 3/2 ;

(7/8)

(3) 两数之积小于 1/4 。

(0.5966)

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