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2015-2016年北京市东城区高三上学期期末数学试卷(文科)及答案解析

2015-2016 学年北京市东城区高三上学期数学期末试卷(文科) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1. (5 分)已知集合 A={1,2,m},B={3,4}.若 A∩B={3},则实数 m=( A.1 B.2 C.3 D.4 对应的点位于( C.第三象限 ) ) 2. (5 分)在复平面内,复数 A.第一象限 B.第二象限 D.第四象限 3. (5 分)已知向量 =(1,2) , =(﹣2,x) .若 + 与 ﹣ 平行,则实数 x 的 值是( A.4 ) B.﹣1 C.﹣4 4. (5 分)经过圆 x2+y2﹣2x+2y=0 的圆心且与直线 2x﹣y=0 平行的直线方程是 ( ) D.x+2y+1=0 .其中图象关 A.2x﹣y﹣3=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.2x﹣y+3=0 5. (5 分)给出下列函数:①y=log2x; 于 y 轴对称的是( A.①② B.②③ ) C.①③ D.②④ ”的( ②y=x2; ③y=2|x|④ 6. (5 分)“sin2α﹣ cos2α=1”是“α= ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7. (5 分)某程序框图如图所示,当输入的 x 的值为 5 时,输出的 y 值恰好是 , 则在空白的处理框处应填入的关系式可以是( ) 第 1 页(共 17 页) A.y=x3 B.y=3x C.y=3x D. 8. (5 分)已知函数 f(x)=a﹣x2(1≤x≤2)与 g(x)=x+1 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A. B.[1,2] C. ) D.[﹣1,1] 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分)双曲线 的离心率为 . ,B=45°, 10. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 面积 S=2,则 a= ;b= . 11. (5 分)100 名学生某次数学测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所 示,则模块测试成绩落在[50,70)中的学生人数是 . 12. (5 分)设某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 第 2 页(共 17 页) 13. (5 分) 已知点 P (x, y) 的坐标满足条件 的最大值等于 . 点 O 为坐标原点, 那么|OP| 14. (5 分)纸张的规格是指纸张制成后,经过修整切边,裁成一定的尺寸.现 在我国采用国际标准,规定以 A0,A1,A2,B1,B2,…等标记来表示纸张的幅面 规格.复印纸幅面规格只采用 A 系列和 B 系列,其中 An(n∈N,n≤8)系列的 幅面规格为: ①A0,A1,A2,…,A8 所有规格的纸张的幅宽(以 x 表示)和长度(以 y 表示) 的比例关系都为 ; ②将 A0 纸张沿长度方向对开成两等分,便成为 A1 规格,A1 纸张沿长度方向对开 成两等分,便成为 A2 规格,…,如此对开至 A8 规格.现有 A0,A1,A2,…,A8 纸各一张.若 A4 纸的宽度为 2dm,则 A0 纸的面积为 积之和等于 dm2. dm2;这 9 张纸的面 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=2,S3=12. ( I) 求数列{an}的通项公式; ( II)若 a3,ak+1,Sk 成等比数列,求正整数 k 的值. 16. (13 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<2π)在一个周期内的 部分对应值如下表: x f(x) ﹣1 0 1 ﹣1 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; 第 3 页(共 17 页) (Ⅱ)求函数 g(x)=f(x)+2sinx 的最大值和最小值. 17. (13 分)某中学从高三男生中随机抽取 100 名学生的身高,将数据整理,得 到的频率分布表如下所示. (Ⅰ)求出频率分布表中①和②位置上相应的数据; (Ⅱ)为了能对学生的体能做进一步了解,该校决定在第 3,4,5 组中用分层抽 样抽取 6 名学生进行体能测试, 求第 3, 4, 5 组每组各抽取多少名学生进行测试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行引体向 上测试,求:第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] 合计 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00 18. (13 分)如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,AE⊥DE,CD⊥平面 ADE,AB⊥平面 ADE,CD=3AB. (Ⅰ)求证:平面 ACE⊥平面 CDE; (Ⅱ)在线段 DE 上是否存在一点 F,使 AF∥平面 BCE?若存在,求出 若不存在,说明理由. 的值; 19. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣aex,a∈R. (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线的方程; (Ⅱ)若曲线 y=f(x)与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 g(x)=x3,请写出曲线 y=f(x)与 y=g(x)最多有几个交点. (直 第 4 页(共 17 页) 接写出结论即可) 20. (14 分) 已知椭圆 C: (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 斜率为 的直线交椭圆 C 于两个不同点 A,B,点 M 的坐标为(2,1) , 设直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2. ①若直线过椭圆 C 的左顶点,求此时 k1,k2 的值; ②试探究 k1+k2 是否为定值

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