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版走向高考数学第一轮复习阶段性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)


阶段性测试题十二(算法初步、 复数、 推理与证明)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(文) (2014· 济南模拟)复数 z= ( ) A.第一象限 C.第三象限 [答案] A i?1-i? 1+i 1 i i [解析] z= = = 2 =2+2, 1+i ?1+i??1-i? 1 1 所以复数 z 对应的点为(2,2),在第一象限. (理) (2014· 郑州六校质量检测)设复数 z=a+bi(a,b∈R),若 =2-i 成立,则点 P(a,b)在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] A z [解析] 因为 =2-i, 所以 z=(2-i)(1+i)=3+i, 所以点 P(a, 1+i b)在第一象限. 1-2i 2.(文)(2014· 广州一测)已知 i 是虚数单位,则 等于( 2+i ) ) B.第二象限 D.第四象限 z 1+i B.第二象限 D.第四象限 i 在复平面上对应的点位于 1+i

A.i 4 3 C.5-5i [答案] D [解析] 选 D.

4 B.5-i D.-i

1-2i ?1-2i??2-i? 2-2-i-4i -5i = = = 5 =-i,故答案 2+i ?2+i??2-i? 22+12

2 (理)(2014· 石家庄质检)设 z=1+i(i 是虚数单位), 则 z +z2=( A.-1-i C.1-i [答案] D [解析] 2 2 2 + z = +(1+i)2=1-i+2i=1+i. z 1+i B.-1+i D.1+i

)

3. (2014· 北京西城区期末)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为( )

A.3 C.7 [答案] D

B.6 D.10

[解析] 通过循环,可知该循环的作用是求数列的和,循环到 n =4 结束循环,所以 S=0+1+2+3+4=10.故选 D. 2 4.(文) 设 z=1-i(i 是虚数单位),则复数 z +i2 的虚部是( A.1 C.i [答案] A 2 2 [解析] 因为 z=1-i(i 是虚数单位),所以复数 z +i2= +i2= 1-i 1+i-1=i, 2 所以复数 z +i2 的虚部是 1. (理)设复数 z=1+bi(b∈R)且|z|=2,则复数 z 的虚部为( A. 3 C.± 1 [答案] B [解析] z=1+bi,且|z|=2,即 1+b2=4,解得 b=± 3. B.± 3 D.± 3i ) B.-1 D.-i )

5.(2014· 商丘模拟)工人师傅想对如右图的直角铁皮,用一条直 线 m 将其分成面积相等的两部分.下面是甲、乙、丙、丁四位同学 给出的做法,其中做法正确的学生数是( )

A.4 个 C.2 个 [答案] A

B.3 个 D.1 个

[解析] 可将此图形分割成两个矩形即甲、乙、丁同学的做法, 也可将此图形补上一小矩形即丙同学的做法. 由矩形的对称性可知当 直线过矩形的中心即对角线交点时, 直线平分矩形的面积. 故甲、 乙、 丙同学的做法正确.在丁同学的做法中,因为 AB 过两矩形的中心, 所以 AB 平分此铁皮的面积.当直线 m 过线段 AB 的中点时,直线 m 和 AB 围城的两个三角形全等,故直线 m 还平分此铁皮的面积. 综上可得 4 个同学的做法都对. 6.(2011· 泉州质检)根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输 出 y 的值为( A.61 C.30 ) B.31 D.25

[答案] B [解析] 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示 的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出分段函数,y=
?0.5x x≤50 ? ? ?25+0.6?x-50? ?

x>50

的函数值,当 x=60 时,则 y=25+0.6(60

-50)=31,故选 B. 7 . ( 文 )(2014· 安阳月考 ) 已知 M 是 ex + e - x 的最小值, N = 2tan22.5° ,则下图所示程序框图输出的 S 为( 1-tan22.5° )

A.2

B.1

1 C.2 [答案] A [解析]

D.0

∵ex+e-x≥2 ex· e-x=2,∴M=2,N=

2tan22.5° = 1-tan222.5°

tan45° =1,所以 M>N,又框图的功能是求 M,N 中的较大值,故输 出的值为 2. 1 (理) (2014· 安阳月考)已知函数 y=x与 x=1,x 轴和 x=e 所围成 的图形的面积为 M,N= tan22.5° ,则程序框图输出的 S 为( 1-tan22.5° )

A.1 1 C.2 [答案] C [解析] 因为 2N=

B.2 D.0

2tan22.5° 1 =tan45° =1,所以 N=2,M=?e 2 1-tan 22.5° ?

1

1 e xdx=lnx|1=1,所以 M>N,又框图的功能是求 M,N 中的较小值,故

1 输出的值为2. 8.(文) (2014· 舟山期末)读下面程序框图,该程序运行后输出的 A 值为( )

3 A.4 5 C.6 [答案] C [解析] 第一次循环:A= 继续循环;

4 B.5 6 D.7

1 2 =3,i=i+1=2,此时满足条件, 2-A

1 3 第二次循环:A= =4,i=i+1=3,此时满足条件,继续循 2-A 环; 1 4 第三次循环:A= =5,i=i+1=4,此时满足条件,继续循 2-A 环;

1 5 第四次循环:A= =6,i=i+1=5,此时不满足条件,结束 2-A 5 循环,输出 A 的值为6. (理) (2014· 东北三校模拟) 下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的 是( ) A.6+6· 7k C.2(2+7k+1) [答案] D [解析] (1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除. (2)假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除, 那么 3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何 k∈N*都成立. 9.(2014· 沧州模拟)设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=2,a2+b 2 1 =4,则x +y 的最大值为( A.1 C.3 [答案] B 2 1 [解析] 因为 ax=by=2,所以 x=loga2,y=logb2,所以x+y= a2+b 2 2log2a+log2b=log2(a b)≤log2( 2 ) =2, 当且仅当 a2=b=2 时取等
2

B.2+7k-1 D.3(2+7k)

) B.2 D.4

号. 3 10. 定义在 R 上的函数 y=f(x), 满足 f(3-x)=f(x), (x-2)f′(x)<0, 若 x1<x2,且 x1+x2>3,则有( )

A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) [答案] B

B.f(x1)>f(x2) D.不确定

[解析] 因为函数 y=f(x),满足 f(3-x)=f(x),所以函数 y=f(x) 3 3 3 3 的对称轴为 x=2.又因为(x-2)f′(x)<0, 所以 x<2时, f′(x)>0, x>2时, 3 3 f′(x)<0,所以函数 y=f(x)在(-∞,2]上单调递增;在[2,+∞)上单 3 调递减.又因为 x1<x2,且 x1+x2>3,所以 3-x2<x1<x2,且 x2∈(2, +∞),观察图像,得 f(x1)>f(x2).

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确 答案填在题中横线上) 11. 在复平面上, 复数 3 [答案] 5 [解析] 复平面上复数 z 对应的点到原点的距离就是它的模,而 3 对应的点到原点的距离为________. ?2-i?2

3 3 3 | 2|= 2= ,本题不需要把复数化简为 a+bi(a,b∈R)形式. ?2-i? |2-i| 5 12.(2014· 厦门质检)程序框图如下:

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中横线上应填 入的数字是________. [答案] 10 [解析] 由题设条件可以看出,此程序是一个求几个数的连乘积 的问题,第一次乘入的数是 12,以后所乘的数依次减少 1,由于 132 =11×12,故循环两次,故判断框中应填 k≤10. 3 1 13. (2014· 洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式: ×2= 1×2 1 3 1 4 1 1 3 1 4 1 5 1 1-22, ×2+ ×22=1- ×2+ ×22+ ×23 2, 1×2 2×3 3×2 1×2 2×3 3×4 1 * =1- 3,??,由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N , 4×2 n+2 3 1 4 1 1 ×2+ ×22+?+ ×2n=________. 1×2 2×3 n?n+1? 1 [答案] 1- ?n+1?· 2n 3 1 1 [解析] 由已知中的等式: ×2=1-22 1×2 3 1 4 1 1 ×2+ ×22=1- , 1×2 2×3 3×22

3 1 4 1 5 1 1 ×2+ ×22+ ×23=1- ,?, 1×2 2×3 3×4 4×23 所以对于 n ∈ N*, 1 . ?n+1?2n 14. (文) (2014· 阜阳一中模拟)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S2n-1=(2n-1)an.由类比推理可得:在等比数列{bn}中,若其前 n 项的积为 Pn,则 P2n-1=________.
n -1 [答案] b2 n

n+2 3 1 4 1 1 ×2+ × 22 + ? + × 2n = 1 - 1×2 2×3 n?n+1?

[解析] 因为等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S2n-1=(2n-1)an. 所以类比推理可得:在等比数列{bn}中,若其前 n 项的积为 Pn,则
n-1 P2n-1=b2 . n

→ → → → (理)对于命题: 若 O 是线段 AB 上一点, 则有|OB|· OA+|OA|· OB= 0. → 将它类比到平面的情形是: 若 O 是△ABC 内一点, 则有 S△OBC· OA → → +S△OCA· OB+S△OAB· OC=0. 将 它类比到空间的情形应该是: 若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有________. → → → → [答案] VO-BCD· OA+VO-ACD· OB+VO-ABD· OC+VO-ABC· OD=0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积,类比 到空间就是几何体的体积. 15.(文)如图,第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来的(n =1,2,3,?),则第 n-2(n≥3,n∈N*)个图形共有________个顶点.

[答案] n(n+1) [解析] 当 n=1 时,顶点共有 3×4=12(个), 当 n=2 时,顶点共有 4×5=20(个), 当 n=3 时,顶点共有 5×6=30(个), 当 n=4 时,顶点共有 6×7=42(个), 故第 n-2 图形共有顶点(n-2+2)(n-2+3)=n(n+1)个. (理)(2014· 东北四校联考)根据下面一组等式 S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, S7=22+23+24+25+26+27+28=175, ? 可得 S1+S3+S5+?+S2n-1=________. [答案] n4 [解析] 根据所给等式组,不难看出:S1=1=14; S1+S3=1+15=16=24;

S1+S3+S5=1+15+65=81=34, S1+S3+S5+S7=1+15+65+175=256=44, 由此可得 S1+S3+S5+?+S2n-1=n4. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) a 2 b 2 c2 16.(本小题满分 12 分)设 a,b,c>0,证明 b + c + a ≥a+b+ c. [证明] ∵a、b、c>0,根据均值不等式, a2 b2 c2 有 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c. a 2 b 2 c2 三式相加: b + c + a +a+b+c≥2(a+b+c), a 2 b 2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 给 出 以 下 10 个 数 : 5,9,80,43,95,73,28,17,60,36,要求把大于 40 的数找出来并输出,试画 出该问题的程序框图. [分析] 题目给出了 10 个数字,将大于 40 的数找出来.解答本 题先确定使用循环结构,再确定循环体. [解析] 程序框图如图所示:

18. (本小题满分 12 分)设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i, 当实数 m 取何值时. (1)z 是纯虚数. (2)z 是实数. (3)z 对应的点位于复平面的第二象限. [解析]
2 ? ?lg?m -2m-2?=0, (1)由题意知? 2 ? ?m +3m+2≠0.

解得 m=3. 所以当 m=3 时,z 是纯虚数. (2)由 m2+3m+2=0, 得 m=-1 或 m=-2, 又 m=-1 或 m=-2 时,m2-2m-2>0, 所以当 m=-1 或 m=-2 时,z 是实数.
2 ? ?lg?m -2m-2?<0, (3)由? 2 ?m +3m+2>0. ?

m -2m-2>0 ? ? 2 即?m -2m-3<0 ? ?m2+3m+2>0 解得:-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3. 所以当-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3 时,z 对应的点位于复平面 的第二象限. 19. (本小题满分 12 分)已知数列{an}的各项排成如图所示的三角 形数阵, 数阵中每一行的第一个数 a1, a2, a4, a7?构成等差数列{bn}, Sn 是{bn}的前 n 项和,且 b1=a1=1,S5=15.

2

(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成 公比为正数的等比数列,且公比相等,已知 a9=16,求 a50 的值; 1 1 1 (2)设 Tn= + +?+S ,求 Tn. Sn+1 Sn+2 2n [解析] (1)∵{bn}为等差数列,设公差为 d,b1=1,S5=15,∴ S5=5+10d=15,d=1, ∴bn=1+(n-1)×1=n. 设从第 3 行起,每行的公比都是 q,且 q>0,a9=b4q2,4q2=16,q =2, 1+2+3+?+9=45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个数,

而 a50=b10q4=10×24=160. n?n+1? (2)∵Sn=1+2+?+n= 2 , ∴ Tn = 2 2n?2n+1? = 2( 1 1 1 1 1 1 1 - + - + ? + 2n - ) = 2( - n+1 n+2 n+2 n+3 2n+1 n+1 1 Sn+1 + 1 Sn+2 1 +?+S =
2n

2 2 + +?+ ?n+1??n+2? ?n+2??n+3?

1 2n )= . 2n+1 ?n+1??2n+1? 20.(本小题满分 13 分)在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边 1 1 3 分别为 a、b、c,若 + = ,试问 A,B,C 是否成等 a+b b+c a+b+c 差数列, 若不成等差数列, 请说明理由. 若成等差数列, 请给出证明. [解析] A、B、C 成等差数列. 证明如下: ∵ ∴ ∴ 1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c + =3. a+b b+c c a + =1, a+b b+c

∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), ∴b2=a2+c2-ac. 在△ABC 中,由余弦定理,得 a2+c2-b2 ac 1 cosB= 2ac =2ac=2, ∵0° <B<180° ,∴B=60° .

∴ A+C=2B=120° . ∴A、B、C 成等差数列. 21.(本小题满分 14 分)已知数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,并 且 Sn+1=4an+2(n=1,2,?),a1=1. (1)设 bn=an+1-2an(n=1,2,?),求证:数列{bn}是等比数列; an (2)设 cn=2n(n=1,2,?),求证:数列{cn}是等差数列; (3)(理)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式. [解析] (1)证明:∵Sn+1=4an+2,∴Sn+2=4an+1+2, 两式相减,得 Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即 an+2=4an+1-4an, 变形得 an+2-2an+1=2(an+1-2an). ∵bn=an+1-2an(n=1,2,?),∴bn+1=2bn. 由此可知,数列{bn}是公比为 2 的等比数列. (2)证明:由 S2=a1+a2=4a1+2,a1=1, ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3, an 由(1)知 bn=3· 2n-1,又 cn=2n. an+1 an an+1-2an bn ∴cn+1-cn= n+1-2n= = n+1. 2 2 n +1 2 3 将 bn=3· 2n-1 代入得 cn+1-cn=4(n=1,2,?). 3 由此可知,数列{cn}是公差 d=4的等差数列. a1 1 3 1 (3)由(2)得:c1= 2 =2,故 cn=4n-4. 3 1 1 ∵cn=4n-4=4(3n-1),

∴an=2n· cn=(3n-1)· 2n-2(n=1,2,?). 当 n≥2 时,Sn=4an-1+2=(3n-4)· 2n-1+2. 由于 S1=a1=1 也适合于此公式, 所以{an}的前 n 项和公式为 Sn=(3n-4)· 2n-1+2.


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