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极坐标参数方程复习讲义文科原创


极坐标及参数方程 知识点及例题
1 极坐标与直角坐标的互化: 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示

,在平面内取一个定点 O ,叫做极点 ,自极点 O 引一条射

线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位 ,一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向 (通常取逆 时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)互化公式

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

考点 极坐标与直角坐标的互化
【例 1】?1.2. 已知圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,则圆心 C 的极坐标为 _______ ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )

1.点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为________. 2.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角 坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 3.(2011· 西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos θ=-1 的交 点的极坐标为________. 4.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C 的 极坐标方程为 ? ? 2 sin? ,则曲线 C 的直角坐标方程为_____. 二、参数方程知识点

? x ? f (t ) 1.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,若曲线 C 上的点 P( x, y ) 满足 ? ,该方程叫 ? y ? f (t )
曲线 C 的参数方程,变量 t 是参变数,简称参数。

(在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

? x ? f (t ), ? y ? g (t ),

并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么这个方 程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 )

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2.曲线的参数方程 (1)圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为.

(2)椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为. a2 b2
2

?x ? 2 pt2 , (3)抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为 ? (t为参数) . ? y ? 2 pt.
(4)经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 3.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互 化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致.

规律方法指导: 1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法. 常见的消参方 法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用恒等 式消参法;混合消参法等. 2、把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互

化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范围。

考点 参数方程与普通方程的互化 【例 1】?把下列参数方程化为普通方程:
? ?x=3+cos θ, (1)? ?y=2-sin θ; ?

?x=1+2t, (2)? 3 ?y=5+ 2 t.

1

练习(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C: ?

? x ? 3 ? 2 cos ? (? 为参数,0≤ ? <2π), ? y ? 1 ? 2 sin ?

(Ⅰ)将曲线化为普通方程; (Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐 标方程.

题型总结 交点型
? ?x ? x ? cos ? ? 练习 1 已知曲线 C1: ? (? 为参数) ,曲线 C2: ? ? ? y ? sin ? ?y ? ? ? 2 t? 2 2 (t为参数) 。 2 t 2

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 ' , C2 ' 。写出

C1 ' , C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?
说明你的理由。

2 ( 23 ) (本小题 10 分)选修 4 — 4 :坐标系与参数方程

已知曲线 C1 的参数方程为

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 ? ? y ? 5 ? 5sin t
C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。

3(2014II)(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的 极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0, (1)求 C 得参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标.

?
2

].

4(2016 全国 1) (23) (本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为错误!未找到引用源。 (t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cos θ. (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公 共点都在 C3 上,求 a.

长度型 例:已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ? ? y ? 10 sin ?

( ? 为参数) ,曲线 C 2 的极坐标方程为

? ? 2 cos? ? 6 sin ? .
(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

(2016 全国 2) (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直线坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ? x ? 6? ? y 2 ? 25 .
2

(I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
? x ? t cos ? (II)直线 l 的参数方程是 ? (t 为参数) ,l 与 C 交于 A、B 两点, AB ? 10 ,求 ? y ? t sin ?

l 的斜率.

面积型 例(2015Ⅰ数)(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 :x=-2,圆 C2 :(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I) (II) 求 C1 , C2 的极坐标方程; 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? △C2MN 的面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求

最值型 (2016 全国 3)23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? x ? 3 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (? 为参数) ,以坐标原点为极 ? ? y ? sin ?

点,以 x 轴的正半轴为极轴, , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

? sin(? ? ) ? 2 2 .
(I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (II)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.

? 4

例【2015 高考陕西】选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? (t 为参数) 在直角坐标版权法 xOy 吕,直线 l 的参数方程为 ? ,以原点为极点, x ?y ? 3 t ? ? 2
轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . (I)写出 ? C 的直角坐标方程; (II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标.

练(2015II)23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ? ,

在 以 O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C2 : ? ? 2 s i ? n ,曲线

C3 : ? ? 2 3 c o ?s.
(Ⅰ).求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.


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