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1.4.1正余弦函数图象及其性质(基本功比赛)


正弦、余弦函数的图象

1. 任意给定一个实数x,对应的正弦值sinx、 余弦值cosx是否存在?是否唯一?
设实数x对应的角的正弦值为y,则对应关系 y=sinx就是一个函数,称为正弦函数; y= cosx也是一个函数,称为余弦函数。其 定义域都为R

2、一个函数总具有许多基本性质,要直观、 全面了解正、余弦函数的基本特性,我们应 从哪个方面入手? 图象
简谐运动图象(沙摆)

知识探究(一):正弦函数的图象
1.能否用描点法作函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ?的图象?
只要能够确定该图象上的点 ( x, sin x) 的坐标,就可 以用描点法作出函数图象。而该图象上点的坐标可通 过查三角函数表得到。 列表:

如何精确的描出点 ( , sin )?
3 3
我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数, 是否可以用它来帮助作三角函数的图象?

?

?

想一想?

在单位圆中,角α的正弦线、余弦线分 别是什么? y α 的终边
P(x,y)
?

o

M

x

三角问题 数

几何问题 形

如何描点( , sin )? 3 3
y
1

?

?

利用三角函数线 作三角函数图象

( , sin ) 3 3

?

?

-

y

P
?
3

0 ? ? 2 ?1 - 3

?

-

-

-

2?

3? 2

x

O M 1x

一、正弦函数 y =sinx(x∈ [0,2?])的图象
y
1 作法: (1) 等分 (2) 作正弦线

(3) 平移 (4) 连线

. . .o . .A.
1

o

?/2

. ?

3?/2

2?

x

-1

思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
y=sinx x?[0,2?] sin(x+2k?)=sinx, k?Z y
1

y=sinx x?R

?4?

?3?

?2?

??
?1

o

?

2?

3?

4?

x

正弦函数y=sinx, x?R的图象叫正弦曲线.

如何画余弦函数的图象 ?
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

正弦曲 线 y
1

形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
? 2? 3? 4? 5? 6?

余弦函数的图象
-4? -3? -2? -?

o
-1

x

五点法作图

y
1

o
-1

? 2

?

3? 2

2?

x

?五个关键点: 图像的最高点 ( ? ,1), 2

?简图作法(五点作图法) ① 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) ②描点(定出五个关键点) ③连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

与x轴的交点 (0,0), (? ,0), (2? ,0) ( 3? , ?1). 图像的最低点 2

五点法作图
(1) 列表

x
sinx
(2) 描点

0
0
(3) 连线

? 2

?
0

3? 2

2?

1

-1

0

y
1

o
-1

? 2

?

3? 2

2?

x

动手做做

请你试试用五点法画出函数

y ? cos x, x ?[0,2? ]
的图象

余弦函数的“五点画图法” ? x ? 0 2 1 0 cosx -1 y
1
? 2

3? 2

2?

0

1

o
-1

?

3? 2

2?

x

五点法的规律是:
横轴五点排均匀, 上下顶点圆滑行; 上凸下凹形相似, 游走酷似波浪行.

例1.作函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的简图 ? 3? x 解:列表 ? 0 2 2 sinx 0 1 0 -1 sinx+1 1 2 1 0 用五点法描点做出简图 y
2 1
? 2

2?

0 1

o

?

3? 2

2?

x

例2.作函数 y=-cosx, x∈[0, 2π]的简图.

解:(1)按五个关键点列表 0 π/2 x

π
-1

3π/2



cosx
-cosx

1

0

0

1

-1
1
O

0
y

1

0

-1

(2)用五点法 做出简图

?

2?

x

-1
函数y=-cosx,与函数y=cosx, x∈[0,2π] 的 图象有何联系?

练习:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sinx,x?[0, 2?] 和 y=
? 0

cosx,x?[ ?
?
3? ? 2

?
2

,

3? 2

]的简图:

x
cosx sinx

?
2

?

0 2

?2 -10

3? 22 ?

1 0
y 2 1

01

0 -1

10

? 向左平移 个单位长度 2
y=sinx,x?[0, 2?]

?

?
2

o -1

? 2

?
3? ] 2 2

3? 2

2?

x

y= cosx,x?[? ? ,

通过这节课的学习,同学们,你们有什么收获吗?
1. 正弦曲线、余弦曲线 几何画法

五点法

2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y 1
?
2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

1.画出下列函数的简图。 (1) y=1-sinx x∈[0,2π] ? 5? (2)y=3cosx x ? [ 2 , 2 ]
(3)y=cos2x 课后思考: 从正余弦函数图象中分析的正余弦函 数的那些性质。
x ? [?

? 3?
2 2 ,

]

练习:(1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图 (2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图
(1) y

x


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