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基本积分公式


§5.3

基本积分公式

重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好 坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到 基本积分公式.

(1)

( 5.6 )

(2)

( 5.7 )

(3)

( 5.8 )

(4)

( 5.9 )

(5)

( 5.10 )

(6)

( 5.11 )

(7)

( 5.12 )

(8)

( 5.13 )

(9)

( 5.14 )

(10)

( 5.15 )

(11)

( 5.16 )

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数 0 的积分,等于积分常数 .

公式(2)、(3)为幂函数

的积分,应分为



.



时,



积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次.

特别当

时,有

.



时,

公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故 母,不在分子,应记清. ( , )式右边的 是在分



时,有

.

是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数; 指数函数是底为常数, 幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用 的公式不同.

公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的 学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分

公式(11)是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质, 举例说明如何利用基本积 分公式求不定积分.

例 1 求不定积分

.

分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式.

解:

( 为任意常数 )

例 2 求不定积分

.

分析: 先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分 公式求积分的形式.

解:由于

,所以

( 为任意常数 )

例 3 求不定积分

.

分析:将

按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式.

解:

( 为任意常数 )

例 4 求不定积分

.

分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.

解:

( 为任意常数 )

例 5 求不定积分

.

分析:基本积分公式表中只有

但我们知道有三角恒等式:

解:

( 为任意常数 ) 同理我们有:

( 为任意常数 )

例6

( 为任意常数 )


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