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高中数学选修2-1人教A教案导学案3.1.3空间向量的数量积

3. 1.3.空间向量的数量积
教学目标:1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的 一些简单问题。 教学重、难点:空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取 的精神. 教学过程 学生探究过程: (一)复习:空间向量基本定理及其推论; (二)新课讲解: 1.空间 向量的夹角及其表示:

??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与 b 的夹角,记作 ? a , b ? ;且规定 0 ?? a , b ?? ? ,显然有 ? a , b ??? b , a ? ; ? ? ? ? ? ? ? 若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b ; 2
2.向量的模: 设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | ; 3.向量的数量积:

, b 已知两非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 OA ?a OB ? ,则 ?AOB 叫做向量 a

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? . ??? ? ? ? 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量, ???? ? 作点 A 在 l 上的射影 A? ,作点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做 ??? ? ???? ? ? 向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影;可以证明 A?B? 的长度 ???? ? ??? ? ? ? ? ? | A? B? |? | AB | cos a ,e?? | a e . ? ? |
已知向量 a , b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a , b ? 叫做 a , b 的数量积,记

? ?

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? e

B A? B? C

A

4.空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? .

? ? ? ? ? 2 ? ? (3) | a | ? a ? a .

(2) a ? b ? a ? b ? 0 . 5.空间 向量数量积运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2) a ? b ? b ? a (交换律) . ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) .
(1) (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) .

l

g (三)例题分析: l 例 1.用向量方法证明:直线和平面垂直的判定定理。 n m 已知: m, n 是平面 ? 内的两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m, l ? n

m n g

求证: l ? ? . 证明:在 ? 内作不与 m, n 重合的任一直线 g , 在 l , m, n, g 上取非零向量 l , m, n , g ,∵ m, n 相交, ∴向量 m, n 不平行,由共面定理可知,存在 唯一有序实数对 ( x, y ) ,使 g ? xm ? yn ,

? ? ? ?

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∴ l ? g ? xl ? m ? yl ? n ,又∵ l ? m ? 0, l ? n ? 0 ,
1

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∴ l ? g ? 0 ,∴ l ? g ,∴ l ? g , 所以,直线 l 垂直于平面内的任意一条直线,即得 l ? ? . 例 2.已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC . 证明: (法一) AD ? BC ? ( AB ? BD) ? ( AC ? AB)

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???? ??? ?

??? ??? ? ?

???? ??? ?

??? ???? ??? ???? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? AB ? AC ? BD ? AC ? AB ? AB ? BD ??? ???? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ? ? AB ? ( AC ? AB ? BD) ? AB ? DC ? 0 . ??? ? ???? ? ???? ? ? (法二)选取一组基底,设 AB ? a, AC ? b, AD ? c , ? ? ? ? ? ? ? ∵ AB ? CD ,∴ a ? (c ? b) ? 0 ,即 a ? c ? b ? a , ? ? ? ? 同理: a ? b ? b ? c , , ? ? ? ? ∴ a?c ? b?c , ???? ??? ? ? ? ? ∴ c ? (b ? a) ? 0 ,∴ AD ? BC ? 0 ,即 AD ? BC .
说明:用向量解几何题的一般方法:把 线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未 知向量,然后通过向量运算取计算或证明。 例 3. 如图, 在空间四边形 OABC 中,OA ? 8 ,AB ? 6 ,AC ? 4 ,BC ? 5 ,?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。 解:∵ BC ? AC ? AB ,

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ∴ OA ? BC ? OA ? AC ? OA ? AB ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?| OA | ? | AC | ? cos ? OA, AC ? ? | OA | ? | AB | ? cos ? OA, AB ?

O

B 3? 2 2 所以, OA 与 BC 的夹角的余弦值为 . 5 ??? ??? ? ? ??? ???? ? 说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? OA, AC ?? 135? 易错写成 ? OA, AC ?? 45? ,
切记! 巩固练习 1、已知 a ? 2 , b ? 3 ,且 a 与 b 的夹角为 为何值时 c ? d

? 8 ? 4 ? cos135? ? 8 ? 6 ? cos120? ? 24 ?16 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? BC 24 ? 16 2 3 ? 2 2 ? ??? ? ? ? ∴ cos ? OA, BC ?? ??? , 8? 5 5 | OA | ? | BC |

A

C

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? ? ? ? ? ? ? ? , c ? 3a ? 2b , d ? ma ? b ,求当 m 2
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2、已知 a ? 1 , b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 3a ? b ? 3、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角

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4、已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,求使 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角时 ? 的 取值范围

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5、已知向量 a ? b ,向量 c 与 a, b 的夹角 都是 60 ,且 | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 ,
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试求: (1) ( a ? b) ; (2) (a ? 2b ? c) ; (3) (3a ? 2b) ? (b ? 3c) .
2 2

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教学反思:空间向量数量积的概念和性质。 作业布置:课本第 3、4 题
2

3.1.3.空间向量的数量积
课前预习学案 预习目标:1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的 一些简单问题。 预习内容:1.空间向量的夹角及其表示---------------------------------------------------------------2.向量的 模----------------------- ----------------------------------------------------------3. 向量的数量积:------------------------------------------------ -------------------4.空间向量数量积的性质 5.空间向量数量积运算律: 提出疑惑: 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 学习目标:1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的 一些简单问题。 学习重、难点:空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 学习过程: 例 1.用向量方法证明:直线和平面垂直的判定定理。 例 2.已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC . 例 3. 如图, 在空间四边形 OABC 中,OA ? 8 ,AB ? 6 ,AC ? 4 ,BC ? 5 ,?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。 当堂检测 1、已知 a ? 2 , b ? 3 ,且 a 与 b 的夹角为 为何值时 c ? d

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? ? ? ? ? ? ? ? , c ? 3a ? 2b , d ? ma ? b ,求当 m 2
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2、已知 a ? 1 , b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 3a ? b ? 课后练习与提高: 1、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角

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2、已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,求使 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角时 ? 的 取值范围

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3、已知向量 a ? b ,向量 c 与 a, b 的夹角都是 60 ,且 | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 ,
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试求: (1) ( a ? b) ; (2) (a ? 2b ? c) ; (3) (3a ? 2b) ? (b ? 3c) .
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