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天津市天津一中2013届高三上学期一月考文科数学试题


天津一中 2012-2013 学年高三年级一月考 数学试卷(文)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.

i 是虚数单位,复数 z ?
A.

3 1 ? i 2 2

2?i ?( 1? i 1 3 B. ? i 2 2

) C. 1 ? 3i D. 3 ? i )

2. 已知全集 U ? R ,A ? { y | y ? 2x ? 1} ,B ? {x || x ? 1| ? | x ? 2 |? 2} , (CU A) ? B ? 则 ( A. ? B. {x |

1 ? x ? 1} C. {x | x ? 1} 2

D. {x | 0 ? x ? 1}

3. a ? 0 , b ? 0 ,则 p ? A. p ? q

b2 a 2 ? 与 q ? a ? b 的大小关系为 ( a b
C. p ? q )

) D. p ? q

B. p ? q

4. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. ?3,1 B. ?2, 2 C. ?3,

3 2
)

D. ?2,

3 2

5. 已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是( A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 6. 要得到函数 y ? B.最小正周期为

2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ?

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2 ?
4

) 的图象上所有的点(



1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 2 4
A.横坐标缩短到原来的

? 个单位长度 4 ? D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 8
C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 7. 函数 y ? ln cos x ? ?

π? ? π ? x ? ? 的图象是( 2? ? 2



y

y

y

y

?

π 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x 2

A.

B.

C.

D.

8. 定义域为 {x ? R | x ? 2} 的函数 y ? f ( x) 满足 f (4 ? x) ? f ( x) , x ? 2) f ?( x) ? 0 , x1 ? x2 , 若 ( 且 x1 ? x2 ? 4 ,则 ( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 已知 ? , ? ? ? ). B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不确定

3 ? ? 12 ?? ? 3? ? ? ? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? , 则 cos ?? ? ? =________. 5 4 ? 13 4? ? 4 ? ? ?

1 , C ? 150? , BC ? 1 ,则 AB ? . 3 ? ? ? ? ? ? 11. 已知向量 a ? ? 2, 1?,? ? ?1 m?,? ? ?1 2? ,若 a ? b ? c ,则 m ? ? b , c ,
10. 在 △ABC 中,若 tan A ?

?

?



, 12. 已 知 a, b c为 △ ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 , 向 量 m ? ( 3,1) , ?

?? ?

?? ? ? n ? (cos A, A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B ? sin
13.如右图,AB 是半圆的直径, C 在半圆上,CD ? AB , 点 垂足为 D , 且 AD ? 5DB ,设 ?COD ? ? ,则 tan ? ? .



14.









ABCD





??? ???? ? A ? B ? D,? , ?1 C 1


? ? ? 1 ??? 1 ??? 3 ??? ??? BA ? ??? BC ? ??? BD ,则四边形 ABCD 的面积为 ? ? ? BA BC BD
三、解答题: (15,16,17,18 每题 13 分,19,20 每题 14 分)

2 2 2 15.已知 a, b, c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,且 a ? c ? b ?

1 ac. (I)求 2

sin 2

A?C ? cos 2 B 的值; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 2

16.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

, 17 . 已知 a, b c 为 △ ABC 的 三个 内角 A,B,C 的 对 边, 向量 m ? (2 sin B, 2 cos 2B) , ?

??

? ? B n ? (2sin 2 ( ? ), ? 1) , 4 2

m ⊥n.

(I)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 , b ? 1 ,求 c 的值.

3 2 18. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 9 x ? 2 ,若 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 3x ? y ? 6 ? 0 .(I) 2 求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若对任意的 x ? [ , 2] ,都有 f ( x) ? t ? 2t ?1 成立,求函数

1 4

g (t ) ? t 2 ? t ? 2 的最值.

19.已知函数 f ( x) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax (a ? R). (I)求 f ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)若函数 f ( x)在区间(1,+?)上是单调减函数,求实数 a 的取值范围.

20.设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t sin
2

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ? R ,其中 t ≤1 ,将 f ( x) 的 2 2

, 最小值记为 g (t ) . (I)求 g (t ) 的表达式; (II)讨论 g (t ) 在区间 (?11) 内的单调性并求极值.

天津一中 2012—2013 高三年级一月考

数学试卷(文科)答案
一、选择题: ABDCDCAB 二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 9. ?

56 65

10.

10 2

11. m ? ?1

12.

π 6

13.

5 2

14. 3

三、解答题: (15,16,17,18 每题 13 分,19,20 每题 14 分) 1 15. (I)由余弦定理:conB= 4 (II)由 cos B ? sin
2

A?C 1 +cos2B= 4 2

1 15 , 得 sin B ? . ∵b=2, 4 4
8
1

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,S△ABC=2acsinB≤ 3 (a=c 时取等号)
2

2

1

15

故 S△ABC 的最大值为 16. (I)? f ( x) ? cos(2 x ?

15 3
) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? 2? 1 3 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ∴周期T ? 6 2 2 2
对称轴方程 x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

(II)? x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
6 ) 在区间 [?

? ?

因为 f ( x) ? sin(2 x ?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

所以

当x?

?
3

时, f ( x) 取最大值 1

又 ? f (?

?
12

)??

? 3 3 ? 1 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2
2

所以 函数 f ( x) 在区间 [?

? ?

17. (I)? m ? n ? m ? n ? 0,? 4sin B ? sin (

?

?

? ?

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 2

? 2sin B[1 ? cos( ? B)] ? cos 2 B ? 2 ? 0, 2 2 ? 2sin B ? 2sin B ? 1 ? 2sin 2 B ? 2 ? 0, 1 ? sin B ? , 2
(II)? a ?

?

?0 ? B ? ? ,
3 ? b,? 此时 B ?

?B ?

?

5 或 ?. 6 6

?

6 2 2 2 方法一 : 由余弦定理得 : b ? a ? c ? 2ac cos B,



? c 2 ? 3c ? 2 ? 0,? c ? 2或c ? 1.
方法二 : 由正弦定理得

b a ? , sin B sin A

?

1 3 3 ? 2 ? ,? sin A ? ,? 0 ? A ? ? ,? A ? 或 ? , 1 sin A 2 3 3 2

,? 边c ? 2; 3 6 2 2 2 ? ? 若A ? ? , 则角C ? ? ? ? ? ? ,? 边c ? b,? c ? 1. 3 3 6 6 综上 c ? 2或c ? 1.
18. (I) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 9 , ?

若A ?

?

, 因为B ?

?

, 所以角C ?

?

? f (1) ? 3 ?a ? 4 解得 ? ?b ? 12 ? f ?(1) ? ?3

? f ( x) ? 4x3 ?12x2 ? 9x ? 2
(II) f ?( x) ? 12x ? 24x ? 9 ? 3(2x ? 3)(2 x ?1)
2

? f ( x), f ?( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

1 4

?1 1? ? , ? ?4 2?
+

1 2
0

?1 3? ? , ? ?2 2?

3 2
0

?3 ? ? ,2? ?2 ?
+

2

?

f ( x)

57 16

极大值

11 2

极小值2

4

f ( x)min ? 2 ? f ( x)min ? 2 ? t 2 ? 2t ? 1 , ? 1 ? t ? 3
1 9 t ? ? 时,最小值为 ? ,当 t ? 3 时,最大值为 10 2 4
19. (I)函数 f ( x) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax 的定义域为 (0, ??)

? g (t ) ? t 2 ? t ? 2 ( ? 1 ? t ? 3 ), 当

? f '( x ) ?

1 ?2a 2 x 2 ? ax ? 1 ?(2ax ? 1)(ax ? 1) ? 2a 2 x ? a ? ? x x x

1 ? 0 ,? f ( x ) 的增区间为 (0, ??) ,此时 f ( x ) 无极值; x 1 1 ② 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ? (舍去) a 2a
① 当 a ? 0 时, f '( x ) ?

x
f '( x)
f ( x)

1 (0, ) a

1 a
0 极大值

1 ( , ??) a

?

?

1 1 ? f ( x ) 的增区间为 (0, ) ,减区间为 ( , ??) a a 1 ? f ( x ) 有极大值为 f ( ) ? ? ln a ,无极小值; a 1 1 ' ③ 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? (舍去)或 x ? ? a 2a

x
f '( x)
f ( x)

(0, ?

1 ) 2a

?

1 2a
0

(?

1 , ??) 2a

?

?

极大值

? f ( x ) 的增区间为 (0, ? ? f ( x ) 有极大值为 f ( ?

1 1 ) ,减区间为 ( ? , ??) 2a 2a

1 3 ? 1 ? 3 ) ? ln ? ? ? ? ? ? ln( ?2a ) ? ,无极小值; 2a 4 ? 2a ? 4

(II)由(1)可知:①当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为增函数,不合题意;

?1 1 ? ?1 ②当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ?? ) ,依题意,得 ? a ,得 a ? 1 ; a ?a ? 0 ? ? 1 ?1 1 ?? ? 1 ? ③当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ? ,得 a ? ? ? 2a , ?? ? ,依题意,得 ? 2a 2 ? ? ?a ? 0 ?
综上,实数 a 的取值范围是 ( ??, ? ] ? [1, ??) . 法二:①当 a ? 0 时, f '( x ) ?

1 2

1 ? 0 ,? f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为增函数,不合题意; x

②当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为减函数,只需 f '( x) ? 0 在区间 (1, ??) 上恒成立.

? x ? 0 ?只要2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立,

? a ?1 1 ? ? ? 4a 2 , 解得a ? ? 或a ? 1. 2 ? 2a 2 ? a ? 1 ? 0 ?

20. (I) f ( x) ? ? cos x ? 4t sin
2

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 2 2

? sin 2 x ? 1 ? 2t sin ? 4t 2 ? t 2 ? 3t ? 4 ? sin 2 x ? 2t sin x ? t 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3

? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
2 由于 (sin x ? t ) ≥ 0 , t ≤1 ,故当 sin x ? t 时, f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ,即

g (t ) ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
(II)我们有 g ?(t ) ? 12t ? 3 ? 3(2t ? 1)(2t ?1), ??? t ? 1.
2

列表如下:

t
g ?(t ) g (t )

?? ? ? ? ?1, ? 2? ?

?

1 2

? 1 ?? ?? , ? ? 2 2?

1 2
0
极小值 g ? ?

?1 ? 1? ? , ?2 ?

?
?

0
极大值 g ? ?

?
? 1? ? ? 2?
?

?
?1? ?2?
?

由此可见, g (t ) 在区间 ? ?1 ? ,

1? ?1 ? ? ? 1 1? 1? ? 和 ? , 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 2? ?2 ? ? ? 2 2? ?1? ? ?? g ? ? ? 2 ,极大值为 g ? ? ? ? 4 . ?2? ? 2?


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