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1[1].2《极坐标系--简单曲线的极坐标方程》教案(新人教选修4-4)


三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】 1、极坐标方程的定义:在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任一点的极坐标中至少有一个满 足 方 程 f ( ? ,? ) ? 0 , 并 且 坐 标 适 合 方 程 f ( ? ,? ) ? 0 的 点 都 在 曲 线 C 上 , 那 么 方 程

f ( ? ,? ) ? 0 叫做曲线 C 的极坐标方程。
1. 直线与圆的极坐标方程

O ① 过极点,与极轴成 ? 角的直线

x

极坐标议程为

? ? ? ( ? ? R)或 tan? ? tan?
②以极点为圆心半径等于 r 的圆的

极坐标方程为

? ?r
?
4 ) 平行于极轴的直线。 3? 角的直线。 4

【知识迷航指南】 例 1 求(1)过点 A( 2, (2)过点 A(3,

?
3

) 且和极轴成

解(1)如图,在直线 l 上任取一点 M ( ? ,? ) ,因为 A( 2, 在直角三角形 MOH 中|MH|=|OM|sin ? 即 ? sin ? ? 为 ? sin ? ?

?
4

) ,所以|MH|=2 ? sin

?
4

? 2

2, 所以过点 A( 2, ) 平行于极轴的直线 4

?

2。

(2)如图 ,设 M ( ? ,? ) 为直线 l 上一点。

A(3,

?
3

) , OA =3, ?AOB ?

? 3

5? 7? 3? ? 5? 由已知 ?MBx ? 3? ,所以 ?OAB ? ,所以 ?OAM ? ? ? ? ? ? 4 3 12 12 12 4
又 ?OMA ? ?MBx ? ? ?

3? ? ? 在?MOA 中,根据正弦定理得 4

3 ? ? 3? 7? sin( ? ? ) sin 4 12

又 sin

7? ? ? 6? 2 3 3 3 3? 将 sin( ? ? ) 展开化简可得 ? (sin ? ? cos? ) ? ? sin( ? ) ? ? 12 4 3 4 2 2 4

所以过 A(3,

?
3

) 且和极轴成

3 3 3 3? 角的直线为: ? (sin ? ? cos? ) ? ? 2 2 4

〔点评〕求曲线方程,关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数 变换进行化简。 例 2(1)求以 C(4,0)为圆心,半径等于 4 的圆的极坐标方程。 (2)从极点 O 作圆 C 的弦 ON, 求 ON 的中点 M 的轨迹方程。 解: (1) 设 p( ? , ? ) 为圆 C 上任意一点。 圆 C 交极轴于另一点 A。 由已知 OA =8 在直角?AOD 中 OD ? OA cos? ,即 ? ? 8 cos? , 这就是圆 C 的方程。 (2)由 r ? OC ? 4 。连接 CM。因为 M 为弦 ON 的中点。所以 CM ? ON ,故 M 在以 OC 为直径的圆上。所以,动点 M 的轨迹方程是: ? ? 4 cos? 。 〔点评〕 在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直译法,定义法,动点转移法。在 极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例 2 中(1)为直译法, (2)为 定义法。此外(2)还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。 例 3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 (1) y 2 ? 4 x (2) ? ?

?
3

(3) ? cos2

?
2

?1

(4) ? 2 cos 2? ? 4

解: (1)将 x ? ? cos? , y ? ? sin? 代入 y 2 ? 4 x 得 ( ? sin ? ) 2 ? 4 ? cos? 化简得

? sin 2 ? ? 4 sin ?
y ? 3 化简得: y ? 3x( x ? 0) 3 x ? 1 ? cos? (3)∵ ? cos2 ? 1 ∴ ? ? 1 。即 ? ? ? cos ? ? 2 所以 2 2
(2)∵ tan? ? ∴ tan

y x

?

?

x2 ? y2 ? x ? 2 。

化简得

y 2 ? ?4( x ? 1) 。
即 ? 2 (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 4 所以

(4)由 ? 2 cos 2? ? 4

x2 ? y2 ? 4

〔点评〕 (1)注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。 (2) 由直角坐标求极坐标时, 理论上不是唯一的, 但这里约定 ? ? 0,0 ? ? ? 2?

(3)由极坐标方程化为极坐标方程时,要注意等价性。如本例(2)中。由于 一般约定 ? ? 0. 故 ? ? 〔解题能力测试〕 1 判断点 (?

?
3

表示射线。若将题目改为 ? ?

?
3

( ? ? R) 则方程化为: y ? 3 x

1 5? ? , ) 是否在曲线 ? ? cos 上。 2 3 2

2.将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 (1) y 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ;

(2) ? ?

1 。 2 ? cos?

3.下列方程各表示什么曲线? (1) y ? a : (2) ? ? a : (3) ? ? ? : 〔潜能强化训练〕

。 。 。

1 极坐标方程分别是 ? ? cos? 和 ? ? sin? 的两个圆的圆心距是(



A 2



2

C 1



2 2


2 在极坐标系中,点 (3, A

?
2

) 关于 ? ?
C

(3,0)

B

(3, ) 2

?

3 在极坐标系中,过点 (3, A ? cos ? ?

?
3

( ? ? R) 的对称的点的坐标为 ( 6 2? 11? D (3, (?3, ) ) 3 6
) D ??

?

) 且垂直于极轴的直线方程为(

3 2

B ? sin ? ?

3 2

C ??

3 cos? 2


3 sin ? 2

4 极坐标方程 cos? ? A 余弦曲线

2 ( ? ? 0) 表示的曲线是 ( 2
C 一条射线

B 两条相交直线

D 两条射线 。

5 已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? 6 圆? ?

?
4

)?

2 , 则极点到该直线的距离是: 2


2 (cos? ? sin ? ) 的圆心坐标是:

7 从原点 O 引直线交直线 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 于点 M,P 为 OM 上一点,已知 OD OM ? 1 。 求 P 点的轨迹并将其化为极坐标方程。

〔知识要点归纳〕 1 直线,射线的极坐标方程。

2 圆的极坐标方程

三、简单曲线的极坐标方程 〔解题能力测试〕 1、在 2、 (1) ? ? 2 ? cos ? ? 1 ? 0
2

(2)3x 2 ? 4 y 2 ? 2 x ? 1 ? 0

3、 (1)在直角坐标下,平行于 X 轴的直线。 (2)在极坐标下,表示圆心在极点半径为 a 的 圆。 (3)在极坐标下,表示过极点倾斜角为α的射线。 〔潜能强化训练〕 1、D 2、D 3、A 4、D 5、

2 2

6.(1, ) 4

?

7、 以 O 为极点, x 轴正方向为极轴建立极坐标系, 直线方程化为 2? cos ? ? 4? sin ? ? 1 ? 0 ,

? ? ?0 ? ? ? ? ? ?0 ? 知? 设 M ( ?0 ,?0 ).P( ? , ? )则2 ?0 cos ?0 ? 4 ?0 sin ? 0 ? 1 ? 0 又 ? 1 ? ? ? ? 1 0 ? ? ?0 ? ? ? ?
代入得: ?

2

1

cos ? ? 4

1

?

sin ? ? 1 ? 0,? ? ? 2 cos ? ? 4sin ?


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