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人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

二次函数
一、二次函数概念:
b, c 是常数, a ? 0 )的函数,叫做二次函数。 1.二次函数的概念:一般地,形如 y ? ax2 ? bx ? c ( a , c 可以为零.二次函数的 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a ? 0 ,而 b ,

定义域是全体实数. 2. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. b, c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. ⑵ a,

二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式: y ? ax 2 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标
0? ?0, 0? ?0,

对称轴

性质
x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随

y轴

x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 0 .
x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随

a?0

向下

y轴

x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 0 .

2. y ? ax2 ? c 的性质: 上加下减。

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标
c? ?0, c? ?0,

对称轴

性质
x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随

y轴

x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 c .
x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随

a?0

向下

y轴

x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 c .

3. y ? a ? x ? h? 的性质:
2

左加右减。

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标
0? ?h,

对称轴 X=h

性质
x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随

x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 0 .
x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随

a?0

向下

0? ?h,

X=h

x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 0 .

4. y ? a ? x ? h ? ? k 的性质:
2

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴 X=h

性质
x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随

? h ,k ?

x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 k .
x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随

a?0

向下

? h ,k ?

X=h

x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 k .

三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y ? a ? x ? h ? ? k ,确定其顶点坐标 ? h , k? ;
2

⑵ 保持抛物线 y ? ax 2 的形状不变,将其顶点平移到 ? h , k ? 处,具体平移方法如下:
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=ax2

y=ax 2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】 平移|k |个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” .

四、二次函数 y ? a? x? ?h ? 与 x ? bx ? 的比较 c k y? a2
2

从解析式上看, y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax2 ? bx ? c 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得
2

b ? 4ac ? b2 b 4ac ? b2 ? 到前者,即 y ? a ? x ? ? ? ,其中 h ? ? , . k? 2a ? 4a 2a 4a ?

2

六、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的性质
1. 当 a ? 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x ? ?
? b 4ac ? b 2 ? b ,顶点坐标为 ? ? , ?. 4a ? 2a ? 2a

当x?? 当x?? 当x??

b 时, y 随 x 的增大而减小; 2a b 时, y 随 x 的增大而增大; 2a b 4ac ? b2 时, y 有最小值 . 2a 4a
? b 4ac ? b 2 ? b b ,顶点坐标为 ? ? , 时, ? .当 x ? ? 4a ? 2a 2a ? 2a

2. 当 a ? 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x ? ?

y 随 x 的增大而增大;当 x ? ?

4ac ? b2 b b 时, y 随 x 的增大而减小;当 x ? ? 时, y 有最大值 . 2a 2a 4a

七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式: y ? ax2 ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ; 2. 顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ; a ? 0 3. 两根式(交点式) : y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意: 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 2 ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a ⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大. 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. (同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴) 3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ; ⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.

十、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数:
0? , B ? x2 , 0? ( x1 ? x2 ) , ① 当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时, 图象与 x 轴交于两点 A? x1 , 其中的 x1 ,x2 是一元二

次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根.. ② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 . 2. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c ) ;

二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数 y ? x2 ? 4x ? 7 的顶点坐标是( A.(2,-11) B.(-2,7) ) C.(2,11) ) D. y ? ?2 x2 ? 1 ) D. (2,-3)

2. 把抛物线 y ? ?2 x 2 向上平移 1 个单位,得到的抛物线是( A. y ? ?2( x ? 1)2 3.函数 y ? kx2 ? k 和 y ? B. y ? ?2( x ? 1)2

C. y ? ?2 x2 ? 1

k (k ? 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( x

4.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;② 当 x ? 1 和 x ? 3 时,函数值相等;③ 4a ? b ? 0 ④当 y ? ?2 时, x 的值只能取 0.其中正 确的个数是( A.1 个 ) B.2 个 C. 3 个 D. 4 个

5.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图), 由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根分别是 x1 ? 1.3和x2 ?
2



) A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

6. 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则点 (ac, bc) 在 ( A.第一象限
C.第三象限 7.方程 2 x ? x ?
2



B.第二象限
D.第四象限

2 的正根的个数为( x
B.1 个

) C.2 个. 3 个

A.0 个

8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. y ? x ? x ? 2
2 2

B. y ? ? x ? x ? 2
2 2

C. y ? x ? x ? 2 或 y ? ? x ? x ? 2

D. y ? ? x ? x ? 2 或 y ? x ? x ? 2
2 2

二、填空题
2 9.二次函数 y ? x ? bx ? 3 的对称轴是 x ? 2 ,则 b ? _______。

10.已知抛物线 y=-2(x+3)? +5,如果 y 随 x 的增大而减小,那么 x 的取值范围是_______. 11.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2) ,②当 x <0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而增 大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可) 。

12.抛物线 y ? 2( x ? 2)2 ? 6 的顶点为 C,已知直线 y ? ?kx ? 3 过点 C,则这条直线与两坐标轴所围 成的三角形面积为 。

13. 二次函数 y ? 2 x2 ? 4 x ?1的图象是由 y ? 2 x2 ? bx ? c 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个 单位得到的,则 b= ,c= 。

14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是 16 米,跨度是 40 米,在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的 地方,桥的高度是 (π 取 3.14).

三、解答题:
15.已知二次函数图象的对称轴是 x ? 3 ? 0 ,图象经过(1,-6),且与 y 轴的交点为(0, ? (1)求这个二次函数的解析式; (2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0? (3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大?
第 15 题图

5 ). 2

16.某种爆竹点燃后,其上升高度 h(米)和时间 t(秒)符合关系式 h ? v0t ?
2

1 2 gt (0<t≤2) ,其 2

中重力加速度 g 以 10 米/秒 计算.这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升, (1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地 15 米? (2)在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.

17.如图,抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 经过直线 y ? x ? 3 与坐标轴的两个交 点 A、B,此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C,抛物线顶点为 D. (1)求此抛物线的解析式; (2)点 P 为抛物线上的一个动点,求使 S?APC : S?ACD ? 5 :4 的点 P 的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再 进行结算,未售出的由厂家负责处理) .当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45 吨.该建材店为提高经 营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降 10 元时,月销售量就会 增加 7. 5 吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元.设每吨材 料售价为 x(元) ,该经销店的月利润为 y(元) . (1)当每吨售价是 240 元时,计算此时的月销售量; (2)求出 y 与 x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围) ; (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说: “当月利润最大时,月销售额也最大. ”你认为对吗?请说明理由.

二次函数应用题训练
1、心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(分)之 间满足函数关系:y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0≤x≤30). (1) 当 x 在什么范围内时, 学生的接受能力逐步增强?当 x 在什么范围内时, 学生的接受能力逐步减弱?

(2)第 10 分钟时,学生的接受能力是多少?

(3)第几分钟时,学生的接受能力最强?

2、如图,已知△ ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ ABC 上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上. 问矩形 DEFG 的最大面积是多少?
A D G

B

E

F

C

3、如图,△ ABC 中,∠B=90° ,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒 1cm 的速度移动;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动.如果 P,Q 同时出发,问经过几秒钟△ PBQ 的面积最大?最大面积是多少?
C

Q A P B

4、如图,一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行 的水平距离为 2.5 米时,达到最大高度 3.5 米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的 距离为 3.05 米. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式; (2)该运动员身高 1.8 米,在这次跳投中,球在头顶上方 0.25 米处出手,问:球出手时, 他跳离地面的高度是多少.
y (0,3.5)

3. 05 m O 4m x

5、如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用 50 m 长的篱笆围成中 间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为 x m. (1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少 m? (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少 m?比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?

x

6、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量 m(件) 与每件的销售价 x(元)满足关系:m=140-2x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大 销售利润为多少?

二次函数对应练习试题参考答案
一,选择题、 1.A 2.C 3.A 4.B 8.C 二、填空题、 9. b ? ?4
2

1 1 ( ? 4 ? a 2 ? 2a ? 3 ) : ( ? 4 ? 4) ? 5 : 4 .化简得 2 2
7.C

5.D

6.B

a 2 ? 2a ? 3 ? 5
当 a ? 2a ? 3 >0 时, a ? 2a ? 3 ? 5 得
2 2

10. x <-3 11.如

a ? 4, a ? ?2 ∴P(4,5)或 P(-2,5)
当 a ? 2a ? 3 <0 时, ?a ? 2a ? 3 ? 5 即
2 2

y ? ?2x ? 4, y ? 2x ? 4 等(答案不唯一)

a2 ? 2a ? 2 ? 0 ,此方程无解.综上所述,满足
条件的点的坐标为(4,5)或(-2,5) .

12.1

13.-8

7

14.15 18. (1) 45 ?

三、解答题 15.(1)设抛物线的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c ,由 题意可得

260 ? 240 . (2) ? 7.5 =60(吨) 10
260 ? x ? 7.5) ,化简得: 10

y ? ( x ? 100)(45 ?

? b ?? 2a ? ?3 ? ?a ? b ? c ? ?6 ? 5 ?c ? ? 2 ?
所以 y ? ?

3 (3) y ? ? x2 ? 315x ? 24000 . 4
解得
y??

3 3 2 2 x ? 315x ? 24000 ? ? ( x ? 210) ? 9075 . 4 4

1 5 a ? ? , b ? ?3, c ? ? 2 2

红星经销店要获得最大月利润,材料的售价 应定为每吨 210 元. (4)我认为,小静说的不对. 理由:方 法一:当月利润最大时,x 为 210 元,而对于月 销售额

1 2 5 x ? 3x ? 2 2
(2) x ? ?3

(2) x ? ?1 或-5

1 2 16. (1)由已知得,15 ? 20t ? ? 10 ? t ,解得 2

W ? x(45 ?
来说,

260 ? x ? 7.5) ? ? 3 ( x ?160)2 ? 19200 10 4

t1 ? 3, t 2 ? 1 当 t ? 3 时不合题意,舍去。所以当
爆竹点燃后 1 秒离地 15 米. (2)由题意得,

当 x 为 160 元时,月销售额 W 最大.∴当 x 为 210 元时,月销售额 W 不是最大.∴小静说的 不对. 方法二:当月利润最大时,x 为 210 元,此 时,月销售额为 17325 元; 而当 x 为 200 元时, 月销售额为 18000 元.∵17325<18000, ∴当 月利润最大时,月销售额 W 不是最大.∴小静说 的不对.

h ? ?5t 2 ? 20t = ?5(t ? 2)2 ? 20 ,可知顶点的
横坐标 t ? 2 , 又抛物线开口向下, 所以在爆竹点 燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内, 爆竹在上升. 17. (1) 直线 y ? x ? 3 与坐标轴的交点 A (3, 0) , B(0,-3) .则 ?

?b ? ?2 ?9 ? 3b ? c ? 0 解得 ? ?c ? 3 ??c ? ?3
2

所以此抛物线解析式为 y ? x ? 2x ? 3 . (2) 抛物线的顶点 D(1,-4) ,与 x 轴的另一个交点 C(-1,0).设 P (a, a ? 2a ? 3) ,则
2

二次函数应用题训练参考答案 1、 (1)0≤x≤13,13<x≤30; (2) 59; (3)13. 2、过 A 作 AM⊥BC 于 M,交 DG 于 N, 则 AM= 202 ? 122 =16cm. 设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由 △ ADG∽△ABC,
AN DG 16 ? x DG ,即 ,故 ? ? AM BC 16 24 3 DG= (16-x). 2 3 3 3 ∴y=DG·DE= (16-x)x=- (x2-16x)=2 2 2



(x-8)2+96, 从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形 DEFG 的最大面积是 96cm2. 3、设第 t 秒时,△ PBQ 的面积为 ycm2.则 ∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm; 又 BQ=2t.∴y= PB·BQ= (6-t)·2t=(6-t)t =-t2+6t=-(t-3)2+9, 当 t=3 时,y 有最大值 9. 故第 3 秒钟时△ PBQ 的面积最大,最大值 是 9cm2. 4、解:(1)设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c. 由图知图象过以下点:(0,3.5),(1.5, 3.05).
? b ?? 2a ? 0, ?a ? ?0.2, ? ? 得?b ? 0, ?c ? 3.5, ?3.05 ? 1.52 a ? 1.5b ? c, ?c ? 3.5. ? ? ?
1 2 1 2

h+1.8+0.25=(h+2.05) m, ∴h+2.05=-0.2×(-2.5)2+3.5, ∴h=0.2(m). 5、解:(1)依题意得 1 50 x. 鸡场面积 y=- ? x 2 ? 3 3 1 50 1 ∵y=- x2+ x= ? (x2-50x) 3 3 3 1 625 =- (x-25)2+ , 3 3 625 ∴当 x=25 时,y 最大= , 3 即鸡场的长度为 25 m 时,其面积最大 625 2 为 m. 3 (2)如中间有几道隔墙,则隔墙长为 50 ? x m. n 50 ? x 1 50 ∴y= ·x=- x2+ x n n n 1 1 625 =- (x2-50x) =- (x-25)2+ , n n n 625 当 x=25 时,y 最大= , n 即鸡场的长度为 25 m 时,鸡场面积为 625 m2 . n 结论:无论鸡场中间有多少道篱笆隔 墙,要使鸡场面积最大,其长都是 25 m. 6、解:(1)y=-2x2+180x-2800. (2)y=-2x2+180x-2800 =-2(x2-90x)-2800 =-2(x-45)2+1250. 当 x=45 时, y最大 =1250. ∴每件商品售价定为 45 元最合适,此 销售利润最大,为 1250 元.

∴抛物线的表达式为 y=-0.2x2+3.5. (2)设球出手时,他跳离地面的高度为 h m,则球出手时,球的高度为


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