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第六章第5课时知能演练轻松闯关

第六章第 5 课时知能演练轻松闯关

1. 定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质: (1)1]( A. n C. n-1 ) B. n+1 D. n
2

解析:选 A.由(n+1)*1=n*1+1, 得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=?=1] 2. 三段论:“①所有的中国人都坚强不屈, ②玉树人是中国人, ③玉树人一定坚强不屈” 中, 其中“大前提”和“小前提”分别是( A. ①② C. ②③ B. ①③ D. ②① )

解析:选 A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质:大前提是一个“一般性的 命题”, 即①所有的中国人都坚强不屈; 小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的 条件”, 即②玉树人是中国人, 结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”, 即 ③玉树人一定坚强不屈. 故选 A. 3. 观察(x )′=2x, (x )′=4x , (cosx)′=-sinx, 由归纳推理可得:若定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函数, 则 g(-x)=( A. f(x) C. g(x) B. -f(x) D. -g(x) )
2 4 3

解析: D.通过观察所给的结论可知, 若 f(x)是偶函数, 则导函数 g(x)是奇函数, 故选 D. 选 4. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=

n? a1+an?
2

, 由此可类比得到各项均为正的等比数
n

列{bn}的前 n 项积 Tn=________.(用 n, b1, bn 表示)

答案:(b1bn)2

一、选择题 7 5 9 8 13 9 b+m b 1. 由 > , > , > , ?若 a>b>0, m>0, 则 与 之间的大小关系为( 10 8 11 10 25 21 a+m a A. 相等 C. 后者大 B. 前者大 D. 不确定 ) 答案:B )

2. 下面几种推理是合情推理的是(

①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、 等腰三角形、 等边三角形的内角和是 180°, 归纳出所有三角形的内角和都是 180°; ③某次考试张军的成绩是 100 分, 由此推 出全班同学的成绩都是 100 分; ④三角形的内角和是 180°, 四边形的内角和是 360°, 五 边形的内角和是 540°, 由此得出凸多边形的内角和是(n-2)·180°. A. ①② C. ①②④ B. ①③ D. ②④

解析:选 C.①是类比推理, ②④是归纳推理, ③不是合情推理. 3. 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;

②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0, mt=xt? m=x”类比得到“p≠0, a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“ = ”类比得到“

ac a bc b

a·c a = ”. b·c b
) B. 2 D. 4 )

以上式子中, 类比得到的结论正确的个数是( A. 1 C. 3

解析:选 B.①②正确; ③④⑤⑥错误. 4. 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间, 结论还正确的是( A. 如果一条直线与两条平行线中的一条相交, 则也与另一条相交 B. 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直, 则也与另一条垂直 C. 如果两条直线没有公共点, 则这两条直线平行 D. 如果两条直线同时与第三条直线垂直, 则这两条直线平行 解析:选 B.由空间立体几何的知识可知 B 正确. 5.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图 形, 照此规律闪烁, 下一个呈现出来的图形是( )

解析:选 A.该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏, 故下一个呈现出来的图 形是 A. 二、填空题 6. 数列 2, 5, 2 2, 11, ?的一个通项公式是________. 解析:因为 a1= 3-1, a2= 3×2-1, a3= 3×3-1, a4= 3×4-1, 由此猜想 an= 3n-1. 答案:an= 3n-1 7. 在平面内有 n(n∈N , n≥3)条直线, 其中任何两条不平行, 任何三条不过同一点, 若这
*

n 条直线把平面分成 f(n)个平面区域, 则 f(5)的值是________, f(n)的表达式是
__________. 解析:由题意, n 条直线将平面分成

n? n+1?
2

+1 个平面区域, 故 f(5)=16, f(n)=

n2+n+2
2

.答案:16 f(n)=

n2+n+2
2

8. (2012·大同质检)给出下列命题: 1 命题 1:点(1,1)是直线 y=x 与双曲线 y= 的一个交点;

x

8 命题 2:点(2,4)是直线 y=2x 与双曲线 y= 的一个交点;

x

27 命题 3:点(3,9)是直线 y=3x 与双曲线 y= 的一个交点;

x

?

请观察上面命题, 猜想出命题 n(n 是正整数)为:________. 解析: 观察题中给出的命题易知, 命题 n 中交点坐标为(n, n ), 直线方程为 y=nx, 双曲线 方程为 y= .故猜想命题 n:点(n, n )是直线 y=nx 与双曲线 y= 的一个交点. 答案:点(n, n )是直线 y=nx 与双曲线 y= 的一个交点 三、解答题 9. 因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形, (大前提) 而菱形是所有边长都相等的凸多边形, (小前提) 所以菱形是正多边形. (结论) (1)上面的推理形式是否正确? (2)推理的结论正确吗?为什么? 解:(1)上面的推理形式是正确的, 因为其符合三段论的形式. (2)推理的结论不正确, 因为推理的大前提是错误的命题. 10. 老师布置了一道作业题, 已知圆 C 的方程是 x +y =r , 求证过⊙C 上点 M(x0, y0)的切 线方程为 x0x+y0y=r , 聪明的小明又对该题进行了猜想, 有如下结论:若⊙C 的方程为(x -a) +(y-b) =r , 则过⊙C 上点 M(x0, y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) =r , 你认为猜想正确吗?若正确, 给出证明; 若不正确, 请说明理由. 解:正确. 设 P(x, y)为切线上任一点, → → 则PM=(x0-x, y0-y), CM=(x0-a, y0-b). → → → → 又PM⊥CM, ∴PM·CM=0, 即(x0-x)(x0-a)+(y0-y)(y0-b)=0. ① 又(x0-a) +(y0-b) =r , 化简①得(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r 为所求切线. 11. 已知等差数列{an}的公差 d=2, 首项 a1=5. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn=n(2an-5), 求 S1, S2, S3, S4, S5; T1, T2, T3, T4, T5, 并归纳出 Sn 与 Tn 的大小规 律. 解:(1)由已知 a1=5, d=2, ∴Sn=5n+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n3 x

2

n3 x

n3 x

n? n-1?
2

×2=n(n+4).

(2)Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5], ∴Tn=4n +n. ∴T1=5, T2=4×2 +2=18, T3=4×3 +3=39,
2 2 2

T4=4×42+4=68, T5=4×52+5=105. S1=5, S2=2×(2+4)=12, S3=3×(3+4)=21, S4=4×(4+4)=32, S5=5×(5+4)=45. 由此可知 S1=T1, 当 n≥2 时, Sn<Tn. 归纳猜想:当 n=1 时, Sn=Tn; 当 n≥2, n∈N 时, Sn<Tn.


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