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福建省福州市2016届高三5月综合质量检测数学理试题


2016 年 福 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 综 合 质 量 检 测 理科数学能力测试 2016.5
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,满分 150 分 考生注意: 1. 2. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1、已知全集为 R,集合 M ? {?1,1, 2, 4} , N ? {x | x2 ? 2 x ? 3} ,则 M ? (?R N ) ? (A) {?1,1, 2} (B) {1, 2} (C) {4} (D) ?x ? 1 剟x

2?

2、复数 z 满足 z (1 ? i) ? |1 ? i | ,则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 π 3、函数 f ( x) ? A sin( x ? ?) ( A ? 0 )在 x ? 处取得最小值,则 3 π π (A) f ( x ? ) 是奇函数 (B) f ( x ? ) 是偶函数 3 3 π π (C) f ( x ? ) 是奇函数 (D) f ( x ? ) 是偶函数 3 3 ??? ? ???? ??? ? ??? ? 4、在 ?ABC 中, AB ? AC ? 5 , BA ? BC ? 4 ,则 AB ? (A) 9 (B) 3 (C) 2 (D) 1 5、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响,施工期间的年降水量 X(单位:mm)对工期延 误天数 Y 的影响及相应的概率 P 如下表所示: 降水量 X 工期延误天 数Y 概率 P
X ? 100

100 ? X ? 200

200 ? X ? 300

X …300

0
0.4

5
0.2

15
0.1

30
0.3

在降水量 X 至少是 100 的条件下,工期延误不超过 15 天的概率为 (A) 0.1 (B) 0.3 (C) 0.42 (D) 0.5 x ? 1 ? 0, ? ? 6、若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 …0, 且目标函数 z ? ax ? y 取得最大值的点有无数个,则 z 的最小 ? x ? 2 y ? 2 …0, ? 值等于

(A) ?2 (C) ?

(B) ? (D)

3 2

1 2

1 2

7、执行右面的程序框图,若输入 n 值为 4,则输出的结果为 (A)8 (C)34
5

(B)21 (D)55

1? ? 8、 ? x ? 2 ? ? 的展开式中, x2 的系数为 x? ?

(A)45 (C)90

(B)60 (D)120

9、正项等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 a6 ? a3 a5 ? 128 ,则下列结论正确的是 (A) ?n ? N* , an an?1 ? an? 2
an ? an ? 2 ? 2an ?1



B



?n ? N*



(C) ?n ? N* , Sn ? an?1 (D) ?n ? N* , an ? an?3 ? an?1 ? an? 2 10、双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 E a 2 b2

左支上一点, PF1 ? F1F2 ,直线 PF2 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 相切,则 E 的离心率为 (A)

5 4

(B) 3

(C)

5 3

(D)

2 3 3

11、一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积等于 (A) 2 (C)
4 3 3

(B)

4 2 3

2 1 2 正视图 2 侧视图

(D) 3

12、设 m ? R ,函数 f ( x) ? ( x ? m)2 ? (e2 x ? 2m)2 .若存在 x0 使得

俯视图

f ( x0 ) ?
(A)

1 成立,则 m ? 5
(B)

1 5

2 5

(C)

3 5

(D)

4 5

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.

? x ? 1,0 ? x ? 2, 13、知函数 f ( x) ? ? 若 g ? x ? ? f ? x ? ? ax, x ? ? ?2, 2? 为偶函数,则实数 a ? . ??1, ?2 剟x 0. 14、所有棱长均为 2 的正四棱锥的外接球的表面积等于 . 2 15、抛物线 C : y ? 4 x 的准线与 x 轴交于点 M ,过焦点 F 作倾斜角为 60 ? 的直线与 C 交于 A, B 两点, 则 tan ?AMB = . 16、数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 2 , Sn?1 ? (?1)n Sn ? 2n ,则 S100 ? ________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分) tan A 2c ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 1 ? . ? tan B b (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 BC 边上的中线 AM ? 2 2 ,高线 AH ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

18、 (本小题满分 12 分) 为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了 30 名男生和 20 名女生的该学科成绩,得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定 80 分以 上为优分(含 80 分).

(Ⅰ) (i)请根据图示,将 2×2 列联表补充完整; 优分 男生 女生 总计 50 (ii)据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过 10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”? (Ⅱ)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取 3 名学生的成绩,求至少 2 名学生的成 绩为优分的概率. 附: 非优分 总计

P ? K 2 …k ?
k

0.100 2.706
2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc) . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19、 (本小题满分 12 分) 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 是 梯 形 , 且 AB // CD , AB ? 平 面 PAD , E 是 PB 中 点 , 1 . CD ? PD? AD? AB P 2 (Ⅰ)求证: CE ? 平面 PAB ; C E D (Ⅱ)若 CE ? 3 , AB ? 4 ,求直线 CE 与平面 PDC 所成角的大小.
A B

20、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A, B 的坐标分别为 ? ?2,0? , ? 2,0? .直线 AP, BP 相交于点 P ,且它 们的斜率之积是 ?

1 .记点 P 的轨迹为 ? . 4

(Ⅰ)求 ? 的方程; (Ⅱ)已知直线 AP, BP 分别交直线 l : x ? 4 于点 M , N ,轨迹 ? 在点 P 处的切线与线段 MN 交于点 Q , 求
MQ NQ

的值.

21、 (本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ?1 ? ax 的图象与 x 轴相切. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f ( x) ? m( x ? 1) ln x ,求实数 m 的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做 答时请写清题号. D 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 A ? 如图所示, ?ABC 内接于圆 O, D 是 BAC 的中点,∠ BAC 的平分线分别交 BC
O B F E C

和圆 O 于点 E , F . (Ⅰ)求证: BF 是 ?ABE 外接圆的切线; (Ⅱ)若 AB ? 3 , AC ? 2 ,求 DB 2 ? DA2 的值.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2 ? 2 cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) .以 O 为极点, x 轴正半轴 ? y ? 2sin ? 为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系. (Ⅰ)写出 C1 的极坐标方程;

? ? 1 π x2 ? x ? x, 射线 ? ? ( ? ? 0 ) 分别与 C1 和 C3 ? y 2 ? 1 经伸缩变换 ? 2 后得到曲线 C3 , 3 4 ? ? y? ? y 交于 A , B 两点,求 | AB | .
(Ⅱ) 设曲线 C2 :

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知不等式 | x ? 3 |? 2 x ? 1 的解集为 {x | x ? m} . (Ⅰ)求 m 的值; 1 (Ⅱ)设关于 x 的方程 | x ? t | ? | x ? | ? m ( t ? 0 )有解,求实数 t 的值. t

2016 年 福 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 综 合 质 量 检 测

理科数学试题答案
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. (1)A (2)D (3)B (4)B (5)D (6)C

(7)C (8)D (9)C (10)C (11)A (12)B 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. 1 (13) ? (14) 8π (15) 4 3 (16) 198 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识,考查 运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分 12 分. tan A 2c sin A cos B 2sin C 解: (Ⅰ)因为 1 ? ,所以 1 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ? ? tan B b sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C 即 , ? sin B cos A sin B 因为 sin( A ? B) ? sin C ? 0 , sin B ? 0 , 1 所以 cos A ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2 π 又因为 A ? (0, π) ,所以 A ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 3 ???? ? 1 ??? ? ???? (Ⅱ)由 M 是 BC 中点,得 AM ? ( AB ? AC ) , 2 ???? ? 2 1 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? 即 AM ? ( AB ? AC ? 2 AB ? AC ) , 4 2 所以 c ? b2 ? bc ? 32 ,① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 1 1 由 S ? AH ? BC ? AB ? AC ? sin A , 2 2 3 bc ? 3a ,即 bc ? 2 a ,② · 得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2 又根据余弦定理,有 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,③ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 bc 联立①②③,得 ( )2 ? 32 ? 2bc , 2 bc ? 8 解得 . 1 所以△ ABC 的面积 S ? bc sin A ? 2 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 (18)本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识,考查 运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)根据图示,将 2×2 列联表补充完整如下: 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 9 11 20 21 9 30 30 20 50

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 假设 H 0 :该学科成绩与性别无关,
n(ad ? bc) 2 50(9 ? 9 ? 11 ? 21) 2 ? ? 3.125 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 20 ? 30 ? 20 ? 30 因为 3.125 ? 2.706,所以能在犯错误概率不超过 10%的前提下认为该学科成绩与性别有关. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (Ⅱ)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关,因此需要将男女生成绩的优分频率

K 2 的观测值 k ?

20 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? 0.4 视作概率. · 50 设从高三年级中任意抽取 3 名学生的该学科成绩中,优分人数为 X ,则 X 服从二项分布 B(3,0.4) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 f ?
2 3 所求概率 P ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? C3 ? 0.42 ? 0.6 ? C3 ? 0.43 ? 0.352 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 (19)本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. (Ⅰ)证明:取 AP 的中点 F ,连结 DF , EF ,如图所示. 因为 PD ? AD ,所以 DF ? AP . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 因为 AB ? 平面 PAD , DF ? 平面 PAD , 所以 AB ? DF . 又因为 AP ? AB ? A , 所以 DF ? 平面 PAB .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 因为点 E 是 PB 中点, AB 所以 EF // AB ,且 EF ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2 AB 又因为 AB // CD ,且 CD ? , 2 所以 EF // CD ,且 EF ? CD , 所以四边形 EFDC 为平行四边形, 所以 CE // DF ,所以 CE ? 平面 PAB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (Ⅱ)解:设点 O,G 分别为 AD,BC 的中点,连结 OG ,则 OG // AB , 因为 AB ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 AB ? AD ,所以 OG ? AD .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分

因为 EC ? 3 ,由(Ⅰ)知, DF ? 3, 又因为 AB ? 4 ,所以 AD ? 2 , 所以 AP ? 2 AF ? 2 AD2 ? DF 2 ? 2 22 ? 3 ? 2, 所以 ?APD 为正三角形,所以 PO ? AD , 因为 AB ? 平面 PAD , PO ? 平面 PAD , 所以 AB ? PO . 又因为 AD ? AB ? A ,所以 PO ? 平面 ABCD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ??? ? ???? ??? ? 故 OA, OG , OP 两两垂直,可以点 O 为原点,分别以 OA, OG, OP 的方向为 x, y, z 轴的正方向,建 立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.
1 3 P(0,0, 3) , C (?1, 2,0), D(?1,0,0) , E ( , 2, ) , 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 3 3 所以 PD ? (?1,0, ? 3) , PC ? (?1, 2, ? 3) , EC ? (? , 0, ? ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2 2 设平面 PDC 的法向量 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ? ?n ? PD ? 0, ?? x ? 3z ? 0, 则 ? ??? 所以 ? ? ? ? ?n ? PC ? 0, ?? x ? 2 y ? 3z ? 0,

取 z ? 1 ,则 n ? (? 3,0,1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 设 EC 与平面 PDC 所成的角为 ? ,

??? ? 则 sin ? ?| cos ? n, EC ?|?|

3

3?2 π π 因为 ? ? [0, ] ,所以 ? ? , 6 2

|?

1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2

π .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 6 (20)本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理 论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)设点 P 坐标为 ? x, y ? ,则
所以 EC 与平面 PDC 所成角的大小为

y ( x ? ?2 ) ; x?2 y 直线 BP 的斜率 kBP ? (x ? 2) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 x?2 y y 1 由已知有 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? ? ? ( x ? ?2 ) x?2 x?2 4 x2 化简得点 P 的轨迹 ? 的方程为 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4 (注:没写 x ? 2 或 x ? ?2 扣 1 分) x2 2 ?1. · (Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? ( x0 ? ?2 ) ,则 0 ? y0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4 y0 6y 直线 AP 的方程为 y ? · · · · · 6分 ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 M 纵坐标为 yM ? 0 ; · x0 ? 2 x0 ? 2
直线 AP 的斜率 k AP ? 直线 BP 的方程为 y ?
y0 2y · · · · · · · 7分 ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 N 纵坐标为 y N ? 0 ; · x0 ? 2 x0 ? 2

设在点 P 处的切线方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,
? y ? k ? x ? x0 ? ? y0 , 2 由? 2 得 1 ? 4k 2 x2 ? 8k ? y0 ? kx0 ? x ? 4 ? y0 ? kx0 ? ? 4 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · 8分 2 ? x ? 4 y ? 4, 2 2 由 ? ? 0 ,得 64k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 16 ?1 ? 4k 2 ? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 , ? ? 2 2 2 2 整理得 y0 ? 2kx0 y0 ? k x0 ? 1 ? 4k .

?

?

2 x0 ? x0 x0 2 2 , x0 ? 4 ?1 ? y0 · · 9分 ? 代入上式并整理得 ? ? 2 y0 k ? 2 ? ? 0 ,解得 k ? ? 4 y , · 4 ? ? 0 x 所以切线方程为 y ? y0 ? ? 0 ? x ? x0 ? . 4 y0 2 ?1? 将 y0

2

令 x ? 4 得,点 Q 纵坐标为 yQ ? y0 ?

x0 ? 4 ? x0 ? 4 y0

?

2 2 4 ?1 ? x0 ? 1 ? x0 4 y0 ? 4 x0 ? x0 ? ? . 4 y0 4 y0 y0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ???? ? ???? 设 MQ ? ? QN ,所以 yQ ? yM ? ? ? yN ? yQ ? , 所以 所以
? 2 y0 1 ? x0 6 y0 1 ? x0 ? ? ? ?? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? .· y0 x0 ? 2 y0 ? ? x0 ? 2

2 y 2 ? ?1 ? x0 ?? x0 ? 2 ? ?1 ? x0 ?? x0 ? 2? ? 6 y02 ?? 0 . y0 ? x0 ? 2 ? y0 ? x0 ? 2 ?

2 x0 x x 代入上式, ?2+ 0 ? ? (?2+ 0 ) , 4 2 2 MQ ?1 . · 解得 ? ? 1 ,即 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 NQ 2 ?1? 将 y0

解法二: (Ⅰ)同解法一.
2 x0 2 ? y0 ?1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4 y0 6y 直线 AP 的方程为 y ? · · · · · 6分 ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 M 纵坐标为 yM ? 0 ; · x0 ? 2 x0 ? 2

(Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? ( x0 ? ?2 ) ,则

直线 BP 的方程为 y ?

设在点 P 处的切线方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,

y0 2y · · · · · · · 7分 ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 N 纵坐标为 y N ? 0 ; · x0 ? 2 x0 ? 2

? y ? k ? x ? x0 ? ? y0 , 2 由? 2 得 1 ? 4k 2 x2 ? 8k ? y0 ? kx0 ? x ? 4 ? y0 ? kx0 ? ? 4 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · 8分 2 ? x ? 4 y ? 4, 2 2 由 ? ? 0 ,得 64k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 16 ?1 ? 4k 2 ? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 , ? ? 2 2 2 2 整理得 y0 ? 2kx0 y0 ? k x0 ? 1 ? 4k .

?

?

2 x ? x0 x ? 2 2 , x0 ? 4 ?1 ? y0 代入上式并整理得 ? 2 y0 k ? 0 ? ? 0 ,解得 k ? ? 0 , · · · 9分 ? 4 4 y0 2? ? x 所以切线方程为 y ? y0 ? ? 0 ? x ? x0 ? . 4 y0 2 ?1? 将 y0

2

令 x ? 4 得,点 Q 纵坐标为 yQ ? y0 ?

x0 ? 4 ? x0 ? 4 y0

?

2 2 4 ?1 ? x0 ? 1 ? x0 4 y0 ? 4 x0 ? x0 ? ? . 4 y0 4 y0 y0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 8 ? x0 ? 1? y0 8 ? x0 ? 1? y0 6 y0 2 y0 1 ? x0 ? ? ? ?2 ? 2 yQ , · 所以 yM ? yN ? · · · · · · · · · · ·11 分 2 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 ?4 y0 y0 所以 Q 为线段 MN 的中点,即
MQ NQ ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

(21)本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、 运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合 思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? e x ?1 ? a ,设切点为 ( x0 , 0) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分
x ?1 ? ? f ( x0 ) ? 0, ?e 0 ? ax0 ? 0, 依题意, ? 即 ? x ?1 0 ? f ?( x0 ) ? 0, ? ?e ? a ? 0,

? x ? 1, 解得 ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ? a ? 1, 所以 f ? ? x ? ? ex ?1 ? 1 .

当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 故 f ? x ? 的单调递减区间为 (??,1) ,单调递增区间为 (1, ??) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? m( x ? 1)ln x , x ? 0 .

则 g ?( x) ? e x ?1 ? m(ln x ?

x ?1 ) ?1 , x

1 1 令 h( x) ? g ?( x) ,则 h?( x) ? e x ?1 ? m( ? 2 ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 x x 1 (ⅰ)若 m ? , 2 1 1 因为当 x ? 1 时, e x ?1 ? 1 , m( ? 2 ) ? 1 ,所以 h?( x) ? 0 , x x ? 所以 h( x) 即 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 又因为 g ?(1) ? 0 ,所以当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 从而 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增, 而 g (1) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? m( x ? 1) ln x 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 1 (ⅱ)若 m ? , 2 1 1 可得 h?( x) ? e x ?1 ? m( ? 2 ) 在 (0, ??) 上单调递增. x x 1 1 ? }? 0, 因为 h?(1) ? 1 ? 2m ? 0 , h?(1 ? ln(2m)) ? 2m ? m{ 1 ? ln(2m) [1 ? ln(2m)]2 所以存在 x1 ? (1,1 ? ln(2m)) ,使得 h?( x1 ) ? 0 , 且当 x ? (1, x1 ) 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 即 g ?( x) 在 (1, x1 ) 上单调递减, 又因为 g ?(1) ? 0 ,所以当 x ? (1, x1 ) 时, g ?( x) ? 0 ,
从而 g ( x) 在 (1, x1 ) 上单调递减, 而 g (1) ? 0 ,所以当 x ? (1, x1 ) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? m( x ? 1) ln x 不成立. 1 纵上所述, k 的取值范围是 (??, ] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请 写清题号. (22)选修 4 ?1 :几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分 10 分. 解: (Ⅰ) 设 ?ABE 外接圆的圆心为 O ? , 连结 BO ? 并延长交圆 O ? 于 G 点, G 连结 GE , D 则 ?BEG ? 90? , ?BAE ? ?BGE . A ? =FC ? ,所以 ?FBE ? ?BAE , · 因为 AF 平分∠ BAC ,所以 BF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2O' 分 O 所以 ?FBG ? ?FBE ? ?EBG ? ?BGE ? ?EBG ? 180? ? ?BEG ? 90? , 所以 O ?B ? BF ,所以 BF 是 ?ABE 外接圆的切线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 B C E O DF ? BC (Ⅱ)连接 DF ,则 ,所以 DF 是圆 的直径, F 因为 BD 2 ? BF 2 ? DF 2 , DA2 ? AF 2 ? DF 2 , 所以 BD 2 ? DA2 ? AF 2 ? BF 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 因为 AF 平分∠ BAC ,所以 ?ABF ∽ ?AEC , AB AF 所以 ,所以 AB ? AC ? AE ? AF ? ( AF ? EF ) ? AF , ? AE AC 因为 ?FBE ? ?BAE ,所以 ?FBE ∽ ?FAB ,从而 BF 2 ? FE ? FA , 所以 AB ? AC ? AF 2 ? BF 2 , 所以 BD 2 ? DA2 ? AB ? AC ? 6 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

(23)选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合 思想、化归与转化思想等.满分 10 分. ? x ? 2 ? 2 cos ? , 解: (Ⅰ)将 ? 消去参数 ? ,化为普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , y ? 2sin ? ? 即 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分
? x ? ? cos ? , 将? 代入 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,得 ? 2 ? 4? cos? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ? y ? ? sin ? 所以 C1 的极坐标方程为 ? ? 4cos? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ? x ? 2 x?, (Ⅱ)将 ? 代入 C2 得 x?2 ? y?2 ? 1 , ? y ? y?

所以 C3 的方程为 x2 ? y 2 ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 C3 的极坐标方程为 ? ? 1 ,所以 | OB |? 1 . π 又 | OA |? 4cos ? 2 , 3 所以 | AB |?| OA | ? | OB |? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (24)选修 4 ? 5 :不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推理 论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解: (Ⅰ)由 | x ? 3 |? 2 x ? 1 得,
? x ? ? 3, ? x ? ?3, 或? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ? ??( x ? 3) ? 2 x ? 1, ? x ? 3 ? 2 x ? 1, 解得 x ? 2 . 依题意 m ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 1 1? 1 1 ? (Ⅱ)因为 x ? t ? x ? …? x ? t ? ? ? x ? ? ? t ? ? t ? , t t t t ? ?
1? ? 当且仅当 ? x ? t ? ? x ? ? ? 0 时取等号, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 t? ? 1 因为关于 x 的方程 | x ? t | ? | x ? | ? 2 ( t ? 0 )有实数根, t 1 所以 t ? ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 t

另一方面, t ? 所以 t ?

1 …2 , t

1 ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 t

所以 t ? 1 或 t ? ?1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 —http://sj.fjj


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