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江苏省梁丰高中高三数学周日练习1

高三数学周日练习(1)
班级 一、填空题: 姓名 学号 命题:王燕(2017.9.10) .

3? , B ? ?a ? 2 , 5? , A ? B ? ?3? ,则 A ? B ? 1.设集合 A ? ?1,
2 2.命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 是

命题(选填“真”或“假”). .

3.若函数 f ( x) ? sin(?? x ? 4.“ x ? 1 ”是“

?

1 1 )(? ? 0) 的最小正周期为 ,则 f ( ) 的值为 6 5 3
条件.

1 ? 1 ”的 x

(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要) 5.函数 f ( x) ? 1 ? x ? lg( x ? 2) 的定义域为 6.函数 f ( x) ? x ? ax 在 (1, 2) 处的切线方程为
3

. .

7.将函数 y ? 3sin(2 x ? 则? ? .

?
3

) 的图象向右平移 ? ( 0 ? ? ?

?
2

)个单位后,所得函数为偶函数,

8.设 f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos x cos ? x ? 9.已知 ? ? (0,

? ?

??

? ?? ? ,则 f ? x ? 在 ?0, ? 上的单调递增区间为 2? ? 2?


.

3 π π 1 ) , ? ? ( , π ) , cos ? ? , sin(? ? ? ) ? ? ,则 cos ? = 2 2 3 5

? 1 , x ?1 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? 1) 有两个不同的实数根, 则实 x 3 ? ? x , ?1 ? x ? 1
数 k 的取值范围是 .

11.设 正 项 等 比 数 列 ?an ? 首 项 a1 ? 2 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 2a3 ? S2 ? 4 , 则 满 足

66 S2 n 16 ? ? 65 Sn 15
的最大正整数 n 的值为 . .

12.在锐角三角形 ABC 中, c ? a sin B ,则实数 sin C 的最大值是

13. 已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ,若对任意 x1 ?[2,3], x2 ?[2,3], x1 ? x2 恒有

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,则实数 a 的取值范围为 2 2

.

14.若函数 f ( x) ?

ex a ? (a ? R) 在区间 ?1,2? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 2 ex



二、解答题: 15.已知集合 A ? {x | x 2 ? 6x ? 5 ? 0} }, B ? {x | ?1 ? x ? 1} . (1)求 A I B ; (2)若全集 U ? x x ? 5 ,求 CU ( A U B) ; (3)若 C ? x ? a ? x ? 2a ? 1 ,且 B I C ? C ,求 a 的取值范围.

?

?

?

?

16.已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)若 0 ? x ?

?
3

) ? cos x .

?
2

,求函数 f ( x) 的值域;

(2) 设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 若 A 为锐角且 f ( A) ? 求 cos( A ? B) 的值.

3 b ? 2, c ? 3, , 2

a (a ? R ) (其中 e 是自然对数的底数). ex (1)若 f ( x) 是奇函数,求实数 a 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 在 ?0,1? 上单调递增,试求实数 a 的取值范围.
17.已知函数 f ( x ) ? e ?
x

18.如图,某公园有三条观光大道 AB, BC, AC 围成直角三角形,其中直角边 BC ? 200 m , 斜边 AB ? 400 m .现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB, BC, AC 大道上嬉戏,所在位 置分别记为点 D, E, F . (1)若甲乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端 时即停,乙比甲迟 2 分钟出发,当乙出发 1 分钟后,求此时甲乙两人之间的距离; (2)设 ?CEF ? ? ,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的 2 倍,且 ?DEF ? 乙之间的距离 y 表示为 ? 的函数,并求甲乙之间的最小距离.

?

3

,请将甲

x2 ? ax, g ( x) ? ln x ? ax, a ? R . 19.已知函数 f ( x) ? 2e (1)解关于 x( x ? R) 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)证明: f ( x) ? g ( x) ; (3)是否存在常数 a , b ,使得 f ( x) ? ax ? b ? g ( x) 对任意的 x ? 0 恒成立?若存在,求 出 a , b 的值;若不存在,请说明理由.

20.若数列 ?an ? 和 ?bn ? 的项数均为 n ,则将
n
?

?| a
i ?1

n

i

? bi | 定义为数列 ?an ? 和 ?bn ? 的距离.

(1) 已知 an ? 2 , bn ? 2n ? 1 , n ? N ,求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的距离 d n . (2) 记 A 为满足递推关系 an ?1 ?

两个元素,且项数均为 n .若 b1 ? 2 , c1 ? 3 ,数列 ?bn ? 和 ?cn ? 的距离大于 2017 ,求 n 的最小值.
? (3) 若存在常数 M ? 0 ,对任意的 n ? N ,恒有

1 ? an 的所有数列 ?an ? 的集合,数列 ?bn ? 和 ?cn ? 为 A 中的 1 ? an

?| a
i ?1

n

i

? bi | ? M 则称数列 ?an ? 和 ?bn ? 的距离

2 2 是有界的.若 {an } 与 {an?1} 的距离是有界的,求证: {an } 与 {an ?1} 的距离是有界的.

高二数学附加题练习(1) 班级 姓名 学号 命题:王燕(2017.9.10) ?1 a ? 1.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? y ? 2 ? 0 在矩阵 A ? ? ? 对应的变换作用下得到的直线 ?b 2 ? 仍为 x ? y ? 2 ? 0 ,求矩阵 A 的逆矩阵 A .
?1

2.在直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方

1 ? x ? 3? t ? 1 2 ? 程为 ? ? 2cos ? ? 6sin ? ? ? 0 ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). ? ?y ? 3? 3 t ? ? 2 C (1)求曲线 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,点 P 的坐标为 ? 3,3? ,求 PA ? PB 的值.

3.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线 l 与 x 轴交于点 M ,过点 M 的直 (x1,y1) 线与抛物线交于 A, B 两点.设 A 到准线 l 的距离 d ? ? p ( ? ? 0 ). (1)若 y1 ? d ? 1 ,求抛物线的标准方程; ???? ? ??? ? ? (2)若 AM ? ? AB ? 0 ,求证:直线 AB 的斜率为定值.

2 3 ?,n 中,任取 k 个元素位置保持不动,将其余 n ? k 个元素变动位置,得到 4.在自然数列 1,,,

不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为 Pn ? k ? . (1)求 P3 ?1? ; (2)求 ? P4 ? k ? ;
k ?0 4

(3)证明 ? kPn ? k ? ? n? Pn ?1 ? k ? ,并求出 ? kPn ? k ? 的值.
k ?0 k ?0 k ?0

n

n ?1

n

高三数学周日练习(1) 一、填空题:

3? , B ? ?a ? 2 , 5? , A ? B ? ?3? ,则 A ? B ? 1.设集合 A ? ?1,
2 2.命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 是

3 5? . ?1,,

命题(选填“真”或“假”).真 .?

3.若函数 f ( x) ? sin(?? x ? 4.“ x ? 1 ”是“

?

1 1 )(? ? 0) 的最小正周期为 ,则 f ( ) 的值为 6 5 3
条件.充分不必要

1 2

1 ? 1 ”的 x

(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要) 5.函数 f ( x) ? 1 ? x ? lg( x ? 2) 的定义域为 6.函数 f ( x) ? x ? ax 在 (1, 2) 处的切线方程为
3

. ?? 2 ,1? . y ? 4x ? 2

7.将函数 y ? 3sin(2 x ? 则? ? .

?
3

) 的图象向右平移 ? ( 0 ? ? ?

?
2

)个单位后,所得函数为偶函数,

5? 12

8.设 f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos x cos ? x ?

? ?

??

? ?? ? ,则 f ? x ? 在 ?0, ? 上的单调递增区间为 2? ? 2?

.

? ?? 0, ? ? 3? ?
π π 9. 已 知 ? ? ( 0 , , ) ? ? ( , π ) 2 2
= . ,

cos ? ?

1 3

, sin(? ? ? ) ? ?

3 ? s , 则 c o 5

?

4?6 2 15

? 1 , x ?1 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? 1) 有两个不同的实数根, 则实 x 3 ? ? x , ?1 ? x ? 1
数 k 的取值范围是 . (0, )

1 2

12.设 正 项 等 比 数 列 ?an ? 首 项 a1 ? 2 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 2a3 ? S2 ? 4 , 则 满 足

66 S2 n 16 ? ? 65 Sn 15
的最大正整数 n 的值为 . 6 .解:

12.在锐角三角形 ABC 中, c ? a sin B ,则实数 sin C 的最大值是 由 c ? a sin B 得 tan A ? tan B ? tan A tan B

1 因为 tan C ? ? tan( A ? B) ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 1 ? , tan A tan B ? 1 tan A tan B ? 1 tan A tan B ? 1
由题意, tan A ? tan B ? tan A tan B ≥ 2 tan A tan B , 所以 tan A tan B ≥ 4 ,所以 tanC ≤ 4 ,所以 sin C 的最大值是 . 3 5 13. 已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ,若对任意 x1 ?[2,3], x2 ?[2,3], x1 ? x2 恒有

4

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,则实数 a 的取值范围为 2 2

.

【解析】由题意得函数 f ( x ) 在 [2,3] 上为凸函数,而当 a ? 0 时, f ( x) ? x( x ? a),( x ?[2,3]) 为

? x( x ? a), x ? a f ( x) ? ? ?? x( x ? a), x ? a , 凹函数, 舍去, 当 a ? 0 时, 因此要使函数 f ( x ) 在 [2,3] 上为凸函数,
须 a ? 3. 14.若函数 f ( x) ?

ex a ? (a ? R) 在区间 ?1,2? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 2 ex



? e2 e2 ? ?? , ? ? 2 2?
二、解答题: 15.已知集合 A ? {x | x 2 ? 6x ? 5 ? 0} }, B ? {x | ?1 ? x ? 1} . (1)求 A I B ; (2)若全集 U ? x x ? 5 ,求 CU ( A U B) ; (3)若 C ? x ? a ? x ? 2a ? 1 ,且 B I C ? C ,求 a 的取值范围.

?

?

?

?

(1) A I B ? ? (2)CU ( A U B) ? [1,5) 1 (3)1? 若C为?,则 ? a ? 2 a ?1, 即a ? ? , 满足题意; 3 15.解: ? ? a ? ?1 1 1 2? a ? ? , 满足 ? ?? ?a?0 3 3 ? 2a ? 1 ? 1 综上:a ? 0.
16.已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)若 0 ? x ?

?
3

) ? cos x .

?
2

,求函数 f ( x) 的值域;

(2) 设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 若 A 为锐角且 f ( A) ? 求 cos( A ? B) 的值. 16、解:(1) f ( x) ? (sin x ? 3cos x)cos x ? sin x cos x ? 3 cos2 x

3 b ? 2, c ? 3, , 2

1 3 3 ? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . ....2 分 2 2 2 3 2 ? ? ? 4? 3 ? ≤ sin(2 x ? ) ≤1 , ....4 分 由 0 ≤ x ≤ 得, ≤ 2 x ? ≤ ,? 2 3 2 3 3 3 ? 3 3 3 ≤1 ? ] . .....6 分 ∴ 0 ≤ sin(2 x ? ) ? ,即函数 f ( x) 的值域为 [0, 1 ? 3 2 2 2 ? ? 3 3 ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ? ) ? 得 sin(2 A ? ) ? 0 , 3 2 2 3
又由 0 ? A ?

4? ? ? ,∴ 2 A ? ? ? , A ? . ........8 分 2 3 3 3 3 3 2 2 2 在 ?ABC 中,由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A=7 ,得 a ? 7 . .......10 分 a b b sin A 21 ? 由正弦定理 ,得 sin B ? , ......12 分 ? a 7 sin A sin B
,∴

?

?

? 2A ?

?

?

∵ b ? a ,∴ B ? A ,∴ cos B ?

2 7 , 7 1 2 7 3 21 5 7 ? ? ? ? . ....15 分 2 7 2 7 14

∴ cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ? 17.已知函数 f ( x ) ? e ?
x

a (a ? R ) (其中 e 是自然对数的底数). ex (1)若 f ( x) 是奇函数,求实数 a 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 在 ?0,1? 上单调递增,试求实数 a 的取值范围. 17.解:(1)由 f (0) ? 0 ? a ? ?1,经检验 a ? ?1 时 f ( x) 是奇函数,…………………4 分 x (2) a ? 0 , y ? e 在 [0,1] 上单调递增显然成立;……………………………………6 分 a x x 令 t ? e ,因为 x ? [0,1], 所以 t ? [1, e] 且 t ? e 递增,故 y ?| t ? | 在 t ? [1, e] 时递增 t a a ? 0 时, y ? t ? 在 t ? [1, e] 时递增,故 a ? 1 t 所以 0 ? a ? 1 ……………………………………………………………10 分 a a a ? 0 时, y ? t ? 在 t ? [1, e] 时递增恒成立,故 ?t ? [1, e], t ? ? 0 t t 所以 ? 1 ? a ? 0 ……………………………………………………………12 分 综上: ? 1 ? a ? 1 ……………………………………………………………14 分
18.如图,某公园有三条观光大道 AB, BC, AC 围成直角三角形,其中直角边 BC ? 200 m , 斜边 AB ? 400 m .现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB, BC, AC 大道上嬉戏,所在位 置分别记为点 D, E, F . (1)若甲乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端 时即停,乙比甲迟 2 分钟出发,当乙出发 1 分钟后,求此时甲乙两人之间的距离;

(2)设 ?CEF ? ? ,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的 2 倍,且 ?DEF ? 乙之间的距离 y 表示为 ? 的函数,并求甲乙之间的最小距离.

?
3

,请将甲

18、解:(1)依题意得 BD ? 300 , BE ? 100 , BC 1 π 在△ ABC 中, cos B ? ? , ∴ B? , AB 2 3 在△ BDE 中,由余弦定理得:
DE 2 ? BD2 ? BE 2 ? 2BD ? BE ? cos B ? 3002 ? 1002 ? 2 ? 300 ?100 ? 1 ? 70000 , 2

……2 分

∴ DE ? 100 7 . 答:甲乙两人之间的距离为 100 7 m. (2)由题意得 EF ? 2 DE ? 2 y , ?BDE ? ?CEF ? ? , 在直角三角形 CEF 中, CE ? EF ? cos ?CEF ? 2 y cos ? , 在△ BDE 中,由正弦定理得 ∴ y?
100 3 3 cos? ? sin ? ?

……6 分 ……7 分

……9 分

BE DE 200 ? 2 y cos? y ,即 , ? ? sin ?BDE sin ?DBE sin ? sin 60?

50 3 π sin(? ? ) 3

,0 ?? ?

π , 2

……12 分

所以当 ? ?

π 时, y 有最小值 50 3 . 6

……13 分 ……14 分

答:甲乙之间的最小距离为 50 3 m .

x2 ? ax, g ( x) ? ln x ? ax, a ? R . 19.已知函数 f ( x) ? 2e
(1)解关于 x( x ? R ) 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)证明: f ( x) ? g ( x) ;

(3)是否存在常数 a , b ,使得 f ( x) ? ax ? b ? g ( x) 对任意的 x ? 0 恒成立?若存在,求 出 a , b 的值;若不存在,请说明理由. 19、(1)当 a ? 0 时, f ( x) ?

x2 ,所以 f ( x) ≤ 0 的解集为 {0} ; 2e x 当 a ? 0 时, f ( x) ? x( ? a) , 2e
若 a ? 0 ,则 f ( x) ≤ 0 的解集为 [0, 2ea] ; 若 a ? 0 ,则 f ( x) ≤ 0 的解集为 [2ea,0] . 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) ≤ 0 的解集为 {0} ; 当 a ? 0 时, f ( x) ≤ 0 的解集为 [0, 2ea] ;

当 a ? 0 时, f ( x) ≤ 0 的解集为 [2ea,0] . ……………………4 分 x2 x 1 x2 ? e ? ln x ,则 h '( x) ? ? ? (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x ) ? . 2e e x ex 令 h '( x) ? 0 ,得 x ? e ,列表如下:

x

(0, e)

e
0

( e, ??)
?

h '( x)

?


h( x )

极小值



所以函数 h( x) 的最小值为 h( e) ? 0 , x2 ? ln x ≥ 0 ,即 f ( x) ≥ g ( x) .…………………………………8 分 所以 h( x) ? 2e (3)假设存在常数 a , b 使得 f ( x) ≥ ax ? b ≥ g ( x) 对任意的 x ? 0 恒成立, x2 即 ≥ 2ax ? b ≥ ln x 对任意的 x ? 0 恒成立. 2e x2 1 1 1 ? ,所以 ≥ 2a e ? b ≥ , 而当 x ? e 时, ln x ? 2e 2 2 2

1 1 ,则 b ? ? 2a e , 2 2 2 2 x x 1 ? 2ax ? 2a e ? ≥ 0(*) 恒成立, 所以 ? 2ax ? b ? 2e 2e 2 1 ①当 a ≤ 0 时, 2a e ? ? 0 ,所以 (*) 式在 (0, ??) 上不恒成立; 2 2 1 1 2 ②当 a ? 0 时,则 4a2 ? (2a e ? ) ≤ 0 ,即 (2a ? ) ≤0, e 2 e 1 1 所以 a ? ,则 b ? ? .……………………………………………………12 分 2 2 e
所以 2a e ? b ? 令 ? ( x) ? ln x ?

e?x 1 1 ,令 ? '( x) ? 0 ,得 x ? e , x ? ,则 ? '( x) ? 2 e ex

当 0 ? x ? e 时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 在 (0, e) 上单调增; 当 x ? e 时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 在 ( e, ??) 上单调减. 1 1 所以 ? ( x) 的最大值 ? ( e) ? 0 .所以 ln x ? x ? ≤ 0 恒成立. 2 e

所以存在 a ?

1 2 e

,b ? ?

1 符合题意.………………………………………16 分 2
n

20.若数列 ?an ? 和 ?bn ? 的项数均为 n ,则将 ? | ai ? bi | 定义为数列 ?an ? 和 ?bn ? 的距离.
i ?1

(4) 已知 an ? 2 , bn ? 2n ? 1 , n ? N ,求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的距离 d n .
n
?

(5) 记 A 为满足递推关系 an ?1 ?

1 ? an 的所有数列 ?an ? 的集合,数列 ?bn ? 和 ?cn ? 为 A 中的 1 ? an

两个元素,且项数均为 n .若 b1 ? 2 , c1 ? 3 ,数列 ?bn ? 和 ?cn ? 的距离大于 2017 ,求 n 的最小值.
? (6) 若存在常数 M ? 0 ,对任意的 n ? N ,恒有

?| a
i ?1

n

i

? bi | ? M 则称数列 ?an ? 和 ?bn ? 的距离

2 2 是有界的.若 {an } 与 {an?1} 的距离是有界的,求证: {an } 与 {an ?1} 的距离是有界的.

???解:(1) d m ? ?

?1, m ? 1, ?2
m ?1

? m 2 ? 2m ? 2, m ? 2,

……………………………4 分

1 1 数列 {bn } 中, b4 k ?3 ? 2, b4 k ? 2 ? ?3, b4 k ?1 ? ? , b4 k ? (k ? N ? ) , 2 3 1 1 数列 {cn } 中, c 4 k ?3 ? 3, c 4 k ? 2 ? ?2, c 4 k ?1 ? ? , c 4 k ? (k ? N ? ) , 3 2
因为 ? | bi ? ci | ? ? | bi ? ci |
i ?1 i ?1 k ?1 k

所以项数 m 越大,数列 ?bn ? 和 ?cn ? 的距离越大.

因为 ? bi ? ci ?
i ?1

4

7 , 3 bi ? ci ?
3457 i ?1

而 ? bi ? ci ?
i ?1

3456

4?864

?
i ?1

7 ? 864 ? 2016 , | c1 ? b1 |? 1, | c2 ? b2 |? 1 3
3458 i ?1

因此,当 m ? 3457 时, ? | bi ? ci | ? 2017,当 m ? 3458 时, ? | bi ? ci | ? 2018, 故 m 的最小值为 3458.
……………………………10 分
?

(3)因为 {an } 与 {an?1} 的距离是有界的,所以存在正数 M,对任意的 n ? N , 有

an?1 ? an ? an ? an?1 ??? a2 ? a1 ? M .
因为 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1 ? a1
? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ??? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1 .
2 2 记 K ? M ? a1 ,则有 an ?1 ? an ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an )

? ( an?1 ? an ) an?1 ? an ? 2K an?1 ? an .
2 2 2 2 2 2 因此 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a1 ? 2 KM .

故 {an } 与 {an?1} 的距离是有界的.

2

2

……………………………16 分

高二数学附加题练习(1) ?1 a ? 1.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? y ? 2 ? 0 在矩阵 A ? ? ? 对应的变换作用下得到的直线 ?b 2 ? 仍为 x ? y ? 2 ? 0 ,求矩阵 A 的逆矩阵 A .
?1 a ? 设 P ( x,y) 是直线 x ? y ? 2 ? 0 上任意一点,其在矩阵 A= ? ? 对应的变换下 ?b 2 ? ?1 a ? ? x ? ? x ? ay ? 得到 ? ? ? ?=? ? 仍在直线上, ?b 2 ? ? y ? ?bx ? 2 y ?
?1

所以得 x ? ay ? bx ? 2 y ? 2 ? 0 ,…………………………………………………4 分
?1 ? b ? 1 ?b ? 0 ?1 与 x ? y ? 2 ? 0 比较得 ? ,解得 ? ,故 A= ? ?a ? 2 ? 1 ? a ? ?1 ?0 ? 1? , 2? ?

………8 分

?1 求得逆矩阵 A ? ? ? 0 ? ?
?1

1 ? 2 ? . …………………………………………………10 分 1? 2? ?

2.在直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方

1 ? x ? 3 ? t ? 2 1 ? 程为 ? ? 2cos ? ? 6sin ? ? ? 0 ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). ? ?y ? 3? 3 t ? ? 2
(1)求曲线 C 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,点 P 的坐标为 ? 3,3? ,求 PA ? PB 的 值. 解(1)由 得 ,

将 ∴曲线 的普通方程为



代入上式得 ;……………………………5 分 ( 为参数).∴直线 过点 ,



(2)∵直线 的参数方程为



,代入

,得



, ∴ .

3.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线 l 与 x 轴交于点 M ,过点 M 的直

(x1,y1) 线与抛物线交于 A, B 两点.设 A 到准线 l 的距离 d ? ? p ( ? ? 0 ).
(1)若 y1 ? d ? 1 ,求抛物线的标准方程;

???? ? ??? ? (3)若 AM ? ? AB ? 0 ,求证:直线 AB 的斜率为定值.
p (1)由条件知, A(1 ? , 1) , 2 代入抛物线方程得 p ? 1 .

所以抛物线的方程为 y 2 ? 2 x .………………………4 分
p (x2,y2) (2)设 B ,直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? ) . 2

将直线 AB 的方程代入 y 2 ? 2 px ,消 y 得 k 2 x2 ? p(k 2 ? 2) x ? 所以 x1 ?

k 2 p2 ?0, 4

? p (k 2 ? 2) ? 2 p 1 ? k 2 ? p(k 2 ? 2) ? 2 p 1 ? k 2 x ? , . ……………6 分 2 2k 2 2k 2

因为 d ? ? p ,所以 x1 ?

p ? ?p, 2

???? ? ??? ? p 又 AM ? ? AB ? 0 ,所以 x1 ? ? ? ( x2 ? x1 ) , 2
所以 p ? x2 ? x1 ?
2p 1? k2 ,……………………………………………………8 分 k2

所以 k 2 ? 2 2 ? 2 , 所以直线 AB 的斜率为定值. …………………………………………………10 分
2 3 ?,n 中,任取 k 个元素位置保持不动,将其余 n ? k 个元素变动位置,得到 4.在自然数列 1,,,

不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为 Pn ? k ? . (1)求 P3 ?1? ; (2)求 ? P4 ? k ? ;
k ?0 4

(3)证明 ? kPn ? k ? ? n? Pn ?1 ? k ? ,并求出 ? kPn ? k ? 的值.
k ?0 k ?0 k ?0

n

n ?1

n

23.(1)因为数列 1, 2,3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1,3,2或3,2,1或2,1,3 , 所以 P 3 ?1? ? 3 ;
4

…………………………………………………………………2 分

(2)

? P ? k ? ? P ? 0? ? P ?1? ? P ? 2? ? P ? 3? ? P ? 4 ?
k ?0 4 4 4 4 4 4

1 1 1 1 2 =C0 4C3C3 +C4C2 +C4 +0+1=9+8+6+0+1=24 ; ………………………………4 分 k (3)把数列 1,2, ???, n 中任取其中 k 个元素位置不动, 则有 Cn 种;其余 n ? k 个元素重新排列,
k 并且使其余 n ? k 个元素都要改变位置,则有 P n ? k ? ? Cn P n ? k ? 0? ,………6 分
k k k ?1 Pn ? k ? 0 ? ,又因为 kCn 故 ? kPn ? k ? ? ? kCn ? nCn ?1 , k ?0 k ?0 k k Pn ? k ? 0 ? ? n? Cn 所以 ? kPn ? k ? ? ? kCn ?1 P n ? k ?1 ? 0 ? ? n ? P n ?1 ? k ?. , k ?0 k ?0 k ?0 k ?0 n n n n ?1 n ?1 n n

…………8 分

令 an ? ? kPn ? k ?, 则 an ? nan ?1 , 且 a1 ? 1. 于是 a2 a3a4 ??? an?1an ? 2a1 ? 3a2 ? 4a3 ????? nan?1 ,
k ?0

左右同除以 a2 a3 a4 ??? an?1 ,得 an ? 2 ? 3 ? 4 ????? n ? n! 所以 ? kPn ? k ? ? n !
k ?0 n

……………………………………………………………10 分


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