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2016中考数学(陕西专版)总复习专题综合强化课件:专题五 二次函数的综合探究(共37张PPT)_图文

第二部分

专题综合强化

专题五 二次函数的综合探究 (针对陕西中考24题)

中考考点 ·讲练
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1.二次函数与相似三角形

二次函数与三角形相似的综合题,可以结合几何图形来 解题,充分利用图象上点的坐标就表示相关线段的长度几何 意义,实现从“数或式”到“形”的转化,在解题中充分运

用函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法.

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有关函数与相似三角形的问题一般有三个解决途径:
(1)求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形 的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角 形.根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分 类讨论;

(2)利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股
定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小; (3)若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐 标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列 方程求解.

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【例】

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,顶点为 M 的

抛物线 y = ax2 + bx(a > 0) ,经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B , AO=OB=2,∠AOB=120°.
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(1)求这条抛物线的表达式; (2)连接OM,求∠AOM的大小; (3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的 坐标.

【思路点拨】

(1)根据AO= OB=2, ∠AOB=120°,

求出A点坐标,以及B点坐标,进而利用待定系数法求二次函 数解析式;(2)根据(1)中解析式求出M点坐标,再利用锐角三 角函数关系求出 ∠ FOM = 30°,进而得出答案; (3) 分析得 ∠AOM=∠ABx=150°,分别根据当△ABC1∽△AOM以及
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当△ C2AB∽△AOM 时,利用相似三角形对应边成比例列方
程,求出C点坐标即可.

【解答】

(1)过点A作AE⊥y轴于点E,

∵AO=OB=2,∠AOB=120° ,∴∠AOE=30° , ∴AE=1,EO= 3 ,∴A点坐标为(-1, 3),B点坐标 为(2,0),将两点代入y=ax2+bx得: ? 3 ?a= 3 , ? ?a-b= 3, ? 解得:? ? ?4a+2b=0, ?b=-2 3, 3 ? 3 2 2 3 ∴抛物线的表达式为:y= x - x; 3 3
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(2)过点M作MF⊥OB于点F, 3 2 2 3 3 2 3 2 3 ∵ y= x - x= (x -2x)= (x -2x+1-1)= 3 3 3 3 3 3 (x-1) - , 3
2

3 ∴M点坐标为:(1,- ), 3 3 3 3 ∴tan∠FOM= = , 1 3 ∴∠FOM=30° , ∴∠AOM=30° +120° =150° ;

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(3)∵AO=OB=2,∠AOB=120° , ∴∠ABO=∠OAB=30° , ∴AB=2EO=2 3,∠ABx=150° 所以∠AOM=∠ABx=150° , 若△ABC与△AOM相似,那么点C在只能在点B右边, 如上图,分两种情况: AO MO (Ⅰ)当△ABC1∽△AOM,∴AB = , BC1 2 3 3 2 3 2 2 2 ∵MO= FO +FM = ,∴ = , 3 BC 2 3 1 解得:BC1=2,∴OC1=4,∴C1的坐标为(4,0);
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BC2 AB (Ⅱ)当△C2BA∽△AOM,∴ AO =MO, BC2 2 3 ∴ = ,解得:BC2=6,∴OC2=8.∴C2的坐标 2 2 3 3 为:(8,0). 综上所述,△ABC与△AOM相似时,点C的坐标为(4,0) 或(8,0).

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2.二次函数与图形的周长或面积
陕西中考中关于二次函数与图形的面积的综合题涉及图 形的平移变换、动点问题等,通常是在坐标系背景下,利用 抛物线上的点构造成三角形、四边形,然后探究几何图形的
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面积或周长最值.解题时要充分利用二次函数的图象和性
质,函数在自变量取值范围内的增减性,挖掘图形的几何意 义.

因动点产生的最值问题一般都归于两类基本模型: (1)函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对

称性及增减性确定某范围内函数的最大或最小值.
(2)几何模型:这类模型又分为两种情况: ①归于“两点之间的连线中线段最短 ”.凡属于求“变 动的两线段之和的最小值”时大都应用这一模型. ②归于“三角形两边之差小于第三边 ”凡属于求“变动 的两线段之差的最大值”时大都应用这一模型.
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【例】

3 (名师特约题)如图,已知抛物线y=ax - x+c 2
2

1 与x轴相交于A、B两点,并与直线y= x-2交于B、C两点, 2 1 其中点C是直线y= x-2与y轴的交点,连接AC. 2
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(1)求抛物线的解析式; (2)证明:△ABC为直角三角形; (3)△ABC 内部能否截出面积最大的矩形 DEFG ? ( 顶点 D 、 E 、 F 、 G 在△ ABC 各边上 ) 若能,求出最大面积;若不 能,请说明理由.
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【思路点拨】

1 (1)由直线y= x-2交x轴、y轴于B、C 2
2

3 两点,则B、C坐标可求.进而代入抛物线y=ax - x+c, 2 即得a、c的值,从而知抛物线解析式.(2)求证三角形为直角 三角形,我们通常考虑证明一角为90° 或勾股定理.本题中 未提及特殊角度,而已知A、B、C坐标,即可知AB、AC、 BC,则显然可用勾股定理证明.
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(3)在直角三角形中截出矩形,面积最大,我们易得两种 情形,①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点,②AB边上 有两点,AC、BC边上各有一点.讨论时可设矩形一边长x, 利用三角形相似等性质表示另一边,进而描述面积函数.利

用二次函数最值性质可求得最大面积.

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【解答】 点,

1 (1)∵直线y= x-2交x轴、y轴于B、C两 2

∴B(4,0),C(0,-2), 3 ∵y=ax - x+c过B、C两点, 2
2

? ?0=16a-6+c, ∴? ? ?-2=c,

1 ? ?a= , 2 解得? ? ?c=-2.

1 2 3 ∴y= x - x-2; 2 2

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(2)证明:如图1,连接AC, 1 2 3 ∵y= x - x-2与x负半轴交于A点,∴A(-1,0), 2 2 在Rt△AOC中,∵AO=1,OC=2,∴AC= 5, 在Rt△BOC中,∵BO=4,OC=2,∴BC=2 5, ∵AB=AO+BO=1+4=5,∴AB2=AC2+BC2, ∴△ABC为直角三角形;
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(3)△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为 5 ,理由如下: 2 ①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点,如图2,此时 △AGF∽△ACB∽△FEB. 设GC=x,AG= 5-x, 5-x GF AG GF ∵ AC = CB ,∴ = , 5 2 5 ∴GF=2 5-2x, ∴S=GC· GF=x· (2 5-2x) 52 5 5 5 =-2x +2 5x=-2(x- ) + ,即当x= 时,S最大为 . 2 2 2 2
2

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②AB边上有两点,AC、BC边上各有一点,如图3,此 时△CDE∽△CAB∽△GAD,设GD=x, AD GD AD x 5 ∵ AB = CB ,∴ = ,∴AD= x,∴CD=CA- 5 2 2 5 5 AD= 5- x, 2 CD DE ∵ CA = AB ,∴ DE 5 ,∴DE=5- x, 5 2 5 5- x 2 = 5
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5 5 2 5 5 2 ∴S=GD· DE=x· (5- x)=- x +5x=- (x-1) + , 2 2 2 2 5 即x=1时,S最大为 . 2 综上所述,△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG, 5 面积为 . 2
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3.二次函数与特殊图形的判定
二次函数与特殊图形的判定是陕西二次函数综合题的热 点,涉及到的图形有等腰三角形、等边三角形、平行四边 形、矩形、菱形、正方形等,此类题以探究特殊图形存在性 问题的形式出现,解题时一般先假定特殊图形存在,再通过
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分析、归纳、证明,得出结论.若存在,可利用特殊图形的
性质求解;若不存在给出证明过程,说明不存在的理由,从 而解决问题.

【例】

二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,

1 4),且与直线y=- x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴 2 上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(-3,0).
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(1)求二次函数的表达式;
(2) 点 N 是二次函数图象上一点 ( 点 N 在 AB 上方 ) ,过 N 作 NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值; (3)在(2)的条件下,是否存在点N,使得四边形BCMN是 菱形?如果存在请求出N点的坐标,否则,请说明理由.

【思路点拨】

(1) 首先求得 A 、 B 的坐标,然后利用待

定系数法即可求得二次函数的解析式; (2) 设 M 的横坐标是 x,则根据M和N所在函数的解析式,即可利用x表示出M、N 的坐标,利用x表示出MN的长,利用二次函数的性质求解; (3)四边形BCMN是菱形,则BC=MC,据此即可列方程,求 得x的值,从而得到N的坐标.

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【解答】

5 (1)由题设可知 A(0,1), B(- 3, ), 2 5 ? ?a=-4, ? 17 解得:? b=- , ? 4 ?c= 1, ?

? ?c= 1, ? 5 根据题意得:?9a- 3b+ c= , 2 ? ? ?a- b+ c= 4,

5 2 17 则二次函数的解析式是: y=- x - x+ 1; 4 4

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5 2 17 (2)设N(x,- x - x+1),则 4 4 1 M、P点的坐标分别是(x,- x+ 2 1),(x,0). 5 2 17 ∴MN=PN-PM=- x - x 4 4 1 5 2 15 5 3 2 45 +1-(- x+1)=- x - x=- (x+ ) + , 2 4 4 4 2 16 3 45 则当x=- 时,MN的最大值为 ; 2 16
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(3)存在点N,使得四边形BCMN是菱形. 连接MC、BN、因为四边形BCMN是菱形,由于BC∥ MN,即MN=BC,且BC=MC, 5 2 15 5 1 25 2 2 即- x - x= ,且(- x+1) +(x+3) = , 4 4 2 2 4 解得:x=-1,故当N(-1,4)时,四边形BCMN是菱 形.
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4.二次函数与图形的变换
二次函数与图形的变换是近年二次函数综合题的热点命 题之一,这类题目结构新颖,形式美观,动静结合,解法活 而不难,但有较强的综合性.二次函数图象与图形的变换一 般指平移、轴对称、旋转(含中心对称)、位似四种变换. 解决此类问题的关键在于确定的二次函数解析式.方法
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是先将二次函数解析式化为顶点式,确定抛物线图象变换前
的顶点坐标,再根据图形变换的规律,确定变化后新的顶点 坐标及a值,进而求出二次函数解析式.

注意二次函数y=ax2+bx+c的图象有以下变换规律: (1)平移:二次函数图象左右或上下平移,a值不变; (2)轴对称:二次函数图象关于x轴对称后,a值为原来的 相反数;二次函数图象关于y轴对称后,a值不变;

(3) 旋转:以二次函数图象的顶点为中心,旋转 180°的
图象变换,a值变为原来的相反数.

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【例】

(2015·菏泽改编 ) 如图,直线 y = x + 2与二次函

数y=ax2+bx的图象交点A,B的横坐标分别是-2和1,若M 是线段AB上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交二次函数的 图象于点N,
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(1)求二次函数的解析式; (2)求线段MN的最大值及此时点M的坐标; (3)将(2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x 轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象 1 x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象,若直线y= x+ 2 b与该新图象恰好有三个公共点,求b的值.
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【思路点拨】

本题是主要考查了二次函数的对称变

换,难点在于 (3) ,求出直线与抛物线有 3个交点的情况,根 据题意分类讨论,并且作出图形更利于解决问题.(1)先根据 一次函数表达式求出A,B两点坐标,再利用待定系数法求出

a , b 的值; (2) 利用 m 先表示出 M 与 N 的坐标,再根据两点间
的距离公式表示出 MN 的长度,根据二次函数的极值即可求 出 MN的最大长度和 M 的坐标; (3) 根据图象的特点,分两种 情况讨论,分别求出b的值即可.

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【解答】 是-2和1,

(1)A,B两点在直线y=x+2上且横坐标分别

∴A(-2,0),B(1,3). 把A(-2,0),B(1,3)代入y=ax2+bx得
? ?0=4a-2b, ? ? ?3=a+b, ? ?a=1, 解得? ? ?b=2.
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二次函数的解析式为y=x2+2x;

(2)由题意可设M(m,m+2),其中-2<m<1, 则N(m,m2+2m), 12 9 MN=m+2-(m +2m)=-m -m+2=-(m+ ) + . 2 4
2 2

1 9 ∴当m=- 时,MN的长度最大值为 .此时点M的坐标 2 4 1 3 为 (- , ); 2 2

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(3)分两种情况: 1 ①当y= x+b过点A时,直线与新图象有3个公共点(如 2 图所示), 1 把A(-2,0)代入y= x+b得b=1; 2 1 ②当y= x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时,直 2 线与新图象有3个公共点. 由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对 称,所以其解析式为y=-x2-2x
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1 ? ?y= x+b, ∴? 2 2 ? ?y=-x -2x
2

有一组解,

5 此时-x - x-b=0有两个相等的 2 实数根, 52 25 则( ) -4b=0所以b= , 2 16 25 综上所述b=1或b= . 16

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