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湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三5月适应性考试数学理试题


华中师大一附中 2015 届高三年级 5 月适应性考试

数学(理科)试题
命题人:吴巨龙 尹友军 审题人:殷希群 2015.5.25 本试题卷共 4 页,共 22 题,共中 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试 题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {a, b} ,集合 B ? ?3, log2 (a ? 3)? ,若 A B ? {0} , 则 A B 等于
A. ??1,0,3? 2.下列说法中不正确 的是 ... A.随机变量 ? N (3, ? ) ,若 P(? ? 6) ? 0.3 ,则 P(0 ? ? ? 3) ? 0.2 . B.如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的平均数改变,方差不改变.
2
2 C.对命题 p : ?x0 ? R ,使得 x02 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R ,有 x ? x ? 1 ? 0 .

B. ??2,0,3?

C. ?0,3,4?

D. ?1,0,3?

D.命题“在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 ?ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题. 3.在样本的频率分布直方图中,共有 4 个小长方形,这 4 个小长方形的面积由小到大依次构成等比 数列 ?an ? ,已知 a2 ? 2a1 ,且样本容量为 300,则对应小长方形面积最小的一组的频数为 A.20 B.40 C.30 D.无法确定 4.把座位号为 1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,且分 给同一人的多张票必须连号,那么不同的分法种数为 A.96 B.240 C.48 D.40 5.一个几何体的三视图如图所示,其主(正)视图是一个等边三角 形,则这个几何体的体积为 A. 12 3 ? 4 3?

4 3? C. 12 3 ? 3

4 39 4 3? ? 3 3 4 3? D. 4 3 ? 3
B.

4

2

3

主(正)视图
2

左(侧)视图

?

俯视图 第 5 题图
·1 ·

1 , x ? 1, x ? 0 所围成的图形(阴影 4 部分)为 ? ,若向正方形 OABC 内任意投一点 M ,则点 M 落在区域 ? 内的概率为
6.如图,正方形 OABC 的边长为 1,记曲线 y ? x2 和直线 y ?

1 4 1 B. 3 2 C. 3 2 D. 5
A.

y

1 C

B

1 4 O

A

1 第 6 题图

x

7.已知 a , b 是平面内夹角为 90 ? 的两个单位向量,若向量 c 满足 (c ? a) ? (c ? b) ? 0 ,则 | c | 的最 大值为 A.1 B. 2 C. 3 D.2

? x? y?6? 0 ? 8.设 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 2a ? 4 ,最小值为 a ? 1 ,则实数 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ?

a 的取值范围为 A. [?1, 2]
9.已知双曲线

B. [?2,1]

C. [?3, ?2]

D. [?3,1]

y 2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线分别交于 2 a b A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, ?ABO 的面积为 3 ,则 p 的值为
A. 6 B. 2 3 C.2 D. 2

10.已知函数 f ( x) ? mx x ?1 ? x ?1 ,则关于函数 y ? f ( x) 的零点情况,下列说法中正确的是 A.当 ?1 ? m ? ?3 ? 2 2 时,函数 y ? f ( x) 有且仅有一个零点. B.当 m ? ?3 ? 2 2 或 m ? ?1 或 m ? 1 或 m ? 0 时,函数 y ? f ( x) 有两个零点. C.当 ?3 ? 2 2 ? m ? 0 或 0 ? m ? 1 时, y ? f ( x) 有三个零点. D.函数 y ? f ( x) 最多可能有四个零点.

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案 填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 开始 (一)必考题(11-14 题) 输入a, b i3 11.已知复数 z ? ,则 z 的虚部是 . 是 否 a?b 1? i 12.定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则 S ? a ?b S ? b ? 3ab 5? 5? (cos ) ? (sin ) 的值为 . 输出S 12 12 结束 13.已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ,若 b ? 0 ,且 a, b ? R 时,都有不等式 | a ? b | ? | a ? 2b |?| b | ? f ( x) 成立,则实数 x 的取值范围是 第 12 题图 .
2

14.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在 20 世纪 70 年代创立的
·2 ·

一门新学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照 的分形规律可得到如图所示的一个树形图,则当 n ? 3 时,第 圆点个数 an 与第 n ? 1 行及第 n ? 2 行空心 n(n ? N * ) 行空心 .. .. 圆点个数 an?1,an?2 的关系式为 第 12 行的实心 圆点的个数是 .. . ;

? ??
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
第 14 题图

(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所 选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分. )
15. (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,已知切线 PA 切圆于点 A ,割线 PBC 分别交圆于点 B, C , 点 D 在线段 BC 上,且 DC ? 2 BD , ?BAD ? ?PAB , PA ? 2 10 , . PB ? 4 ,则线段 AB 的长为 16. (选修 4—4:坐标系与参数方程)
P B D C A

? x ? r cos ? 在直角坐标平面内,曲线 C 的参数方程为 ? ( r ? 0 ,? ? y ? r sin ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 A 、 B 的极坐标分别 2? ) 、 (2, ? ) ,若直线 AB 和曲线 C 只有一个公共点,则 r ? 为 (2 , . 3
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? m(m ? R) , 将 y ? f ( x) 的图像向左平移 到 y ? g ( x) 的图像,且 y ? g ( x) 在区间 [0, (Ⅰ )求实数 m 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a、b、c ,若 g ( B ) ? 1 ,且 a ? c ? 2 ,求

第 15 题图

?
4

? 个单位后得 4

] 内的最大值为 2 .

?ABC 的周长 l 的取值范围.

3 4

18. (本小题满分 12 分) 现有 4 名学生参加演讲比赛,有 A、B 两个题目可供选择.组委会决定让选手通过掷一枚质地均 匀的骰子选择演讲的题目,规则如下:选手掷出能被 3 整除的数则选择 A 题目,掷出其他的数则选 择 B 题目. (Ⅰ )求这 4 个人中恰好有 1 个人选择 B 题目的概率; (Ⅱ)用 X、Y 分别表示这 4 个人中选择 A、B 题目的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分布 列与数学期望 E (? ) . 19. (本小题满分 12 分)
·3 ·

在等腰 Rt ? ABC 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 , D、E 分别是边 AB 、 BC 的中点,将

?BDE 沿 DE 翻折,得到四棱锥 B ? ADEC ,且 F 为棱 BC 中点, BA ? 2 .
(Ⅰ )求证: EF ? 平面 BAC ; (Ⅱ)在线段 AD 上是否存在一点 Q ,使得 AF // 平面 BEQ ?若存在,求二面角 Q ? BE ? A 的 余弦值,若不存在,请说明理由. B

A

C

F

D
B

E
D

A Q E

C

20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差为 ?1 ,前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 . (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)将数列 {an } 的前四项抽取其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列 {bn } 的前三项, 记数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,若存在 m ? N ,使得对任意 n ? N ,总有 Sn ? Tm ? ? 成立,求实
* *

数 ? 的取值范围.

21. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) . a 2 b2 (Ⅰ)设椭圆 M 与函数 y ? x 的图像交于点 P ,若函数 y ? x 在点 P 处的切线过椭圆的左焦 点F 1 ,求椭圆的离心率; l A、B 两点,连结 AO ( O 为坐标原点)并延长, (Ⅱ)设过点 F 1 且斜率不为零的直线 交椭圆于 交椭圆于点 C ,若椭圆的长半轴长 a 是大于 1 的给定常数,求 ?ABC 的面积的最大值 S (a ) .
已知椭圆 M :

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x)( x ? 0) .

x ? f ( x) ; 1? x 2013 2014 (Ⅱ)比较 2015 与 2014 的大小; (Ⅲ)给定正整数 n(n ? 2015) , n 个正实数 x1 , x2 ,?, xn 满足 x1 ? x2 ?
(Ⅰ)证明: 证明: (

? xn ? 1 ,

x x ? 2 ? 1 ? x1 1 ? x2

2 1

2

?

xn 2015 1 n ) ?( ) 1 ? xn 2016

2

·4 ·

华中师大一附中 2015 届高三年级 5 月适应性考试

数学(理)
华 中 师 大 一 附 中 2015.5

答案及评分标准
高 三 年 级 数 学 组 提 供

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分)
题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 D 6 A 7 B 8 B 9 B 10 C

二、填空题: (本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. ?

1 2

12.

1 2

13. [?1,5]

14. an ? an?1 ? an?2 ;89

15. 2 3

16. 3

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分)
17.解: (Ⅰ )由题设得 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? m ?

? g ( x) ? 2 sin[2( x ? ) ? ] ? 1 ? m ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? m , 4 4 4 ? ? ? 3? ], 因为当 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [ , 4 4 4 4
所以由已知得 2 x ? 所以 m ? 1 ; (Ⅱ)由已知 g ( B) ?

?

?

?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ? m , 4

?

?

4

?

?

2

,即 x ?

?

8

时, g ( x)max ? 2 ? m ?1 ? 2 , ???6 分

3 3? 3 ? 2 sin( B ? ) ? 1 ,因为三角形中 0 ? B ? , 2 2 2 4 ? 3 ? 7? 3 ? 3? ? 所以 ? B ? ? ,所以 B ? ? ,即 B ? , 3 4 2 4 4 2 4 4 又因为 a ? c ? 2 ,由余弦定理得:

3 4

3(a ? c)2 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac ? (a ? c) ? 3ac ? (a ? c) ? ? 1, 4
2 2 2 2 2 2 2

当且仅当 a ? c ? 1 时等号成立, 又

b ? a ? c ? 2 ,?1 ? b ? 2 ,所以 ?ABC 的周长 l ? a ? b ? c ?[3, 4) ,
???12 分
·5 ·

故△ABC 的周长 l 的取值范围是 [3, 4) .

18.解:由题意知,这 4 个人中每个人选择 A 题目的概率为

1 2 ,选择 B 题目的概率为 , 3 3

记“这 4 个人中恰有 i 人选择 A 题目”为事件 Ai ( i ? 0,1, 2,3, 4 ) ,

2 i 1 i ? P( Ai ) ? C4 ( ) ? ( ) 4 ?i , 3 3
(Ⅰ )这 4 人中恰有一人选择 B 题目的概率为 P( A3 ) ? C4 ( ) ? ( ) ?
3 3

1 3

2 3

8 81

???4 分

(Ⅱ ) ? 的所有可能取值为 0,3,4,且

16 1 17 0 2 4 4 1 4 P(? ? 0) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ? ? , 3 3 81 81 81 2 2 32 8 40 1 1 3 1 3 P(? ? 3) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? C4 ( ) ? ( ) 3 ? C4 ( ) ?( ) ? ? ? , 3 3 3 3 81 81 81 2 24 2 1 2 P(? ? 4) ? P( A2 ) ? C4 ( ) ? ( )2 ? , 3 3 81
? ? 的分布列是

?
P
所以 E (? ) ? 0 ?

0

3

4

17 81

40 81

24 81
???12 分

17 40 24 8 ? 3? ? 4 ? ? 81 81 81 3 19.解: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 H ,连结 DH 、 HF , 因为在等腰 Rt ?ABC 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 , D、E 分别是边 AB 、 BC 的中点,所以 AD ? BD ? 1 ,
又因为翻折后 AB ? 2 ,所以翻折后 AD ? BD ,且 ?ADB 为等腰直角三角形,所以 DH ? AB , 因为翻折后 DE ? AD , DE ? BD ,且 AD

z
B H y

F

???5 分 (Ⅱ)以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系 D ? xyz .则 A(0, 1, 0) , B(0, 0, 1) , E (1, 0, 0) ,
C (2, 1, 0) , F (1,

BD ? D , A Q ? DE ? 平面 ADB ,因为 DE // AC ,? AC ? 平面 ADB , D ? AC ? DH ,又 AB AC ? A ,? DH ? 平面 ABC , 1 又 HF // AC , DE // AC ,且 HF ? AC ? DE , 2 ? DEFH 是平行四边形,? EF // DH ,? EF ? 平面 ABC ;
1 1 , , ) ,设 Q(0, t , 0) ( 0 ? t ? 1 ) 2 2

C
E

x

1 1 则 BQ ? (0, t , ? 1) , EQ ? (?1, t , 0) , AF ? (1, ? , ) , 2 2
·6 ·

? yt ? z ? 0 设平面 BQE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则由 n ? BQ ? 0 ,且 n ? EQ ? 0 ,得 ? , ? ? x ? ty ? 0

取 y ? 1 ,则 n ? (t ,1, t ) ,

1 1 1 1 要使 AF // 平面 BEQ ,则须 n ? AF ? (t ,1, t ) ? (1, ? , ) ? t ? ? t ? 0 , 2 2 2 2
所以 t ?

1 1 ,即线段 AD 上存在一点 Q (0, , 0) ,使得 AF // 平面 BEQ , ???9 分 3 3

?? y ? z ? 0 设平面 BAE 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则由 n1 ? AB ? 0 ,且 n1 ? AE ? 0 ,得 ? 1 1 , ? x1 ? y1 ? 0

1 1 ?1? 3 ? 5 ? 5 33 , 取 y1 ? 1 ,则 n1 ? (1,1,1) ,? cos ? n, n1 ?? 3 33 11 33 ? 3 9
因为二面角 Q ? BE ? A 为锐二面角,所以其余弦值为

5 33 , 33

即线段 AD 上存在一点 Q(点 Q 是线段 AD 上的靠近点 D 的一个三等分点) , 使得 AF // 平面 BEQ ,

此时二面角 Q ? BE ? A 的余弦值为

5 33 33

????12 分

20.解: (Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 ,所以 3a7 ? ?6 , 即 a7 ? ?2 ,又因为公差 d ? ?1 ,所以 an ? a7 ? (n ? 7)d ? ?2 ? n ? 7 ? 5 ? n ,

Sn ?

n(a1 ? an ) n(4 ? 5 ? n) 9n n2 ? ? ? ; 2 2 2 2

???5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 {an } 的前 4 项为 4,3,2,1,所以等比数列 {bn } 的前 3 项为 4,2,1,

1 1 ? bn ? 4 ? ( ) n ?1 ,? anbn ? 4(5 ? n) ? ( ) n ?1 , 2 2 1 0 1 1 1 ?Tn ? 4[4 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? (6 ? n) ? ( ) n ?2 ? (5 ? n) ? ( ) n ?1 ] 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 ? Tn ? 4[4 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? (6 ? n) ? ( ) ? (5 ? n) ? ( ) n ] , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Tn ? 4[4 ? [( ) ? ( ) 2 ? ? ( ) n ?1 ] ? 4(5 ? n) ? ( ) n 2 2 2 2 2

·7 ·

1 2[1 ? ( )n ?1 ] 1 1 2 ? 16 ? ? 4(5 ? n) ? ( )n ? 12 ? (2n ? 6) ? ( ) n ?1 1 2 2 1? 2 1 ?Tn ? 24 ? (4n ? 12) ? ( ) n ?1 , 2 4n ? 12 4(n ? 1) ? 12 20 ? 4n ?Tn ? Tn ?1 ? n ?1 ? ? , 2 2n ? 2 2n ?1

???8 分

?T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? T5 ,且 T5 ? T6 ?
* 所以 n ? N 时, (Tn ) max ? T4 ? T5 ?

, ???10 分

49 , 2

9n n 2 ? ,所以 n ? N * 时, (Sn )max ? S4 ? S5 ? 10 , 又因为 Sn ? 2 2
因为存在 m ? N ,使得对任意 n ? N ,总有 Sn ? Tm ? ? 成立,
* *

所以 (Sn )max ? (Tm )max ? ? ,所以 10 ? 所以实数 ? 的取值范围为 ( ?

49 ?? , 2
???12 分

29 , ?? ) 2

21.解(Ⅰ)由题意,点 F 1 为 ( ?1, 0) ,设 P(t , t ) ,则 k PF1 ?

t , t ?1

又 k PF1 ? ( x )? |x ?t ? (

1 2 x

) | x ?t ?

1 2 t

,所以

t 1 ,解得 t ? 1 ,即 P(1,1) , ? t ?1 2 t
5 ?1 , 2
???5 分

设椭圆 M 的右焦点为 F2 (1, 0) ,则 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 |? 5 ? 1 ,即 a ?

又半焦距 c ? 1 ,所以椭圆 M 的离心率为 e ?
2

c 5 ?1 ? ; a 2
2

(Ⅱ)因为椭圆 M 的半焦距 c ? 1 ,所以 a ? b ? 1 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为

x ? my ? 1 ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 由方程组 ? a 2 b 2 消去 x 得: (a ? b m ) y ? 2b my ? b (1 ? a ) ? 0 , ? x ? my ? 1 ?
·8 ·

? y1 ? y2 ?

2b2 m a 2 ? b 2 m2

y1 y2 ?

b2 (1 ? a 2 ) b4 ? ? , a 2 ? b 2 m2 a 2 ? b2m2

??? 7 分

连结 OB ,由 | OA |?| OC | 知 S?ABC ? 2S?AOB ,

? S?ABC ?| OF1 | ? | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ?
令 m2 ?1 ? t ,则 m2 ? t 2 ? 1(t ? 1) ,? S ?ABC ?

2ab2 m2 ? 1 a 2 ? b 2 m2

??? 9 分

2ab 2t 2ab 2t 2ab 2 ? ? , a 2 ? b 2 (t 2 ? 1) 1 ? b 2t 2 b 2t ? 1 t

①若

1 1 1 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 ,则 b 2t ? ? 2b ? 2 a 2 ? 1 ,当且仅当 t ? , b b t

即m ? ?

2 ? a2 2 时, S (a ) ? ( S ?ABC ) max ? a a ? 1 ; 2 a ?1

??? 10 分

②若 0 ?

1 1 1 b 2t 2 ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,设 f (t ) ? b 2t ? ,则 t ? 1 时, f ?(t ) ? b 2 ? 2 ? ? 0, b t t t2

所以 f (t ) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 [ f (t )]min ? f (1) ? b2 ? 1 ? a2 ,当且仅当 t ? 1 , 即 m ? 0 时, S (a) ? ( S ?ABC ) max ?

2(a 2 ? 1) ; a

??? 12 分

? a a 2 ? 1,1 ? a ? 2 ? 综上可知: S ( a ) ? ? 2( a 2 ? 1) ,a ? 2 ? a ?
22.解: (Ⅰ)证明:令 h( x) ? f ( x) ? 则 x ? 0 时, h?( x) ?

???13 分

x x ? ln(1 ? x) ? ( x ? 0) , 1? x 1? x

1 1 x ? ? ? 0, 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x)2

所以 h( x) 在 (0, ??) 上是增函数,所以 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 所以 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? (Ⅱ)令 g ( x) ?

x x ? f ( x) ; ,即 1? x 1? x

???4 分

ln(1 ? x) x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? , x x 2 (1 ? x)
·9 ·

由(Ⅰ)知 x ? 0 时, x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 0 , 所以 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,

2014 ? 2013 ,?

ln(1 ? 2014) ln(1 ? 2013) ? , 2014 2013
2013

即 2013ln 2015 ? 2014 ln 2014 ,所以 2015 (Ⅲ)证明:由 x1 ? x2 ?

? 20142014 ;

???9 分

? xn ? 1 及柯西不等式得:

x2 x2 ( 1 ? 2 ? 1 ? x1 1 ? x2 x2 x2 ?( 1 ? 2 ? 1 ? x1 1 ? x2
?(

?

xn 2 )(1 ? n) 1 ? xn ? xn 2 )[(1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? 1 ? xn
?

? (1 ? xn )]

x12 x2 2 ? 1 ? x1 ? ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 1 ? x2

xn 2 ? 1 ? xn ) 2 1 ? xn

? ( x1 ? x2 ?
所以

? xn )2 ? 1 ,
? xn 2 1 , ? 1 ? xn 1 ? n xn 2 2015 1 2015 ) ?( ) , 1 ? xn 1? n
ln(1 ? n) ln(1 ? m) m n ? ,因而 (1 ? n) ? (1 ? m) , n m

x12 x2 ? 1 ? 1 ? x1 1 ? x1 x12 x2 ? 1 ? 1 ? x1 1 ? x1

所以 (

?

又由(Ⅱ)知 n ? m ? 0 时, 所以 n ? 2015 时, (1 ? n) 所以 (
2015

? (1 ? 2015)n ,即 (1 ? n)2015 ? 2016n ,

1 2015 1 n ) ?( ) , 1? n 2016

所以 (

x12 x2 ? 2 ? 1 ? x1 1 ? x2

?

xn 2 2015 1 n ) ?( ) . 1 ? xn 2016

???14 分

·10·


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