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2015-2016学年福建省三明市第一中学高二上学期第一次月考数学试题(文)


2015-2016 学年福建省三明市第一中学高二上学期第一次月考数学试 题(文)
(总分 150 分,时间:120 分钟) 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)
1.把 45 化为二进制数为 (

) C. 110101( 2 ) D. 111101( 2 )
)

r />A. 101111( 2 )

B. 101101( 2 )

2.若将两个数 a ? 8, b ? 17 交换,使 a ? 17, b ? 8 ,下面语句正确的一组是 (

3.右侧的程序运行后的输出结果为( A.9 B.11 C.13

) D.15 )

4. (特保班做) “1,x,16 成等比数列”是“x=4”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件
1

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(平行班做)某学校有教职工 400 名,从中选出 40 名教职工组成教工代表大会,每位教职工 当选的概率是10,其中正确的是( ) B.每位教职工当选的可能性是10 D.以上说法都不正确
1

A.10 个教职工中,必有 1 人当选

C.数学教研组共有 50 人,该组当选教工代表的人数一定是 5

5. (特保班做)已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图所示),则甲、 乙两人得分的中位数之和是( ) A.62 B.63 C.64 D.65 ) (平行班做)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩, 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8



1第

第 5 题平行班图

第 5 题特保班图

6.从 2007 名学生中选取 50 名参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从 2007 人中剔除 7 人, 剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取, 则每人入选的可能性( A.不全相等 B.均不相等 C.都相等,且为40 D.都相等,且为2007
1 50

)

(平行班做)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本的平均数 x =2.5, y =3.5,则由 观测的数据得线性回归方程可能为(
^ A. y=0.4x+2.5 ^ B. y=2x-2.4

)
^ C. y=-2x+9.5 ^ D. y=-0.3x+4.4

9. (特保班做)如图,矩形长为 5,宽为 3,在矩形内随机撒 100 颗黄豆,数得落在椭圆内的 黄豆数为 80 颗,以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为( A.11 B.9 C.12 D.10 )

( 平 行 班 做 ) 已 知一组 数 据 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 的 平 均 数是 2 , 方 差 是

1 3

, 那 么 另一组 数 据

x1 ? 2, x 2 ? 2, x3 ? 2, x 4 ? 2, x5 ? 2 的平均数和方差分别为( )
A.0,
1 3

B.2,3

C.2,

2 3

D. 0,1

10. (特保班做)从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( ) 2 1 1 A. B. C. D.1 3 3 2 (平行班做)某人将一枚硬币连掷了 10 次,正面朝上的情形出现了 6 次,若用 A 表示正面朝 上这一事件,则事件 A 的( )



2第

A.概率为5

3

B.频率为5

3

C.频率为 6

D.概率接近 0.6

11.某入伍新兵在打靶训练中, 连续射击 2 次,则事件“至少有 1 次中靶”的互斥事件是( ) A.至多有一次中靶 π A.4 π B.10 B.2 次都中靶 π C.20 C.2 次都不中靶 π D.40 D.只有一次中靶 )

12. (特保班做)在区间[0,1]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是(

(平行班做)下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减 损术” ,执行该程序框图,若输入的 a, b 分别为 14,18,则输出的 a 为( )

A.0

B.2

C.4

D.14

第 12 题图

第 13 题图

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 13. (特保班做) 若命题 “ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? m ? 0 ” 是假命题, 则实数 m 的取值范围是________. (平行班做)如上图,程序的循环次数为 _______次. 14.抛掷一枚骰子,观察掷出骰子的点数,设事件 A 为“出现奇数点”,事件 B 为“出现 2 点”, 已知 P(A)=2,P(B)=6,则事件“出现奇数点或 2 点”的概率是 15.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查 了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图 (如右图) 。 为了分析居民的收入与年龄、 学历、职业等方面的关系,要从这 10000 人中再 用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查,则 在[2500,3000 ] (元)月收入段应抽出 人.
1 1



16. (特保班做) 已知集合 A ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 1} , 集合 B ? {( x, y ) | x ? y ? a ? 0} , 若 A? B ? ? 的概率为 1,则 a 的取值范围是



3第

(平行班做)用秦九韶算法求多项式 f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2 在 x=-2 时的值时,v3 的值为


三、解答题: (第 17~21 题每题 12 分,第 22 题 10 分,共 70 分。解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤) 17.下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用 y (万元)的几组统计数据:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

(1)请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图; (2)请根据散点图,判断 y 与 x 之间是否有较强线性相关性,
?x ? a ? ?b ?; 若有求线性回归直线方程 y

(3)估计使用年限为 10 年时,维修费用为多少? (参考数值: ? xi yi ? 112.3
i ?1 5

?x
i ?1

5

2 i

? 80 )

?? (参考公式: b

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

? (x
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

i

? x)

2

?x
i ?1

?x ; ? ? y ?b ;a )

2 i

18.甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次,每次命中的环数如下:

(1)分别计算以上两组数据的平均数;

(2)分别计算以上两组数据的方差;

(3)根据计算结果,对甲乙两人的射击成绩作出评价.
1 ( 参考公式: s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ) n

19. (特保班做)已知 A 、 B 两个盒子中分别装有标记为 1 ,2 ,3 ,4 的大小相同的四个小球, 甲从 A 盒中等可能地取出 1 个球,乙从 B 盒中等可能地取出 1 个球. (1)用有序数对 (i, j ) 表示事件“甲抽到标号为 i 的小球,乙抽到标号为是 j 的小球” ,求取出 的两球标号之和为 5 的概率; (2) 甲、 乙两人玩游戏, 约定规则: 若甲抽到的小球的标号比乙大, 则甲胜; 反之, 则乙胜. 你 认为此规则是否公平?请说明理由.
页 4第

(平行班做) 某射手在一次射击中射中 10 环、 9 环、 8 环、 7 环及 7 环以下的概率分别为 0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)至少射中 7 环的概率.
1 . 如 2

20. (特保班做) 已知实数 a ? 0 , 设 p:函数 y ? a x 在 (??,??) 上递减; q: ?x ? R, a ? sin x ? 果“ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假,求 a 的取值范围. (平行班做)有以下三个案例: 案例一:从同一批次同类型号的 10 袋牛奶中抽取 3 袋检测其三聚氰胺含量;

案例二:某公司有员工 800 人:其中高级职称的 160 人,中级职称的 320 人,初级职称 的 200 人,其余人员 120 人.从中抽取容量为 40 的样本,了解该公司职工收入情况; 案例三:从某校 1000 名学生中抽 10 人参加主题为“学雷锋,树新风”的志愿者活动. (1) 你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适? (2) 在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程; (3) 在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号: 如果在起始组中随机抽取的号 码为 L(编号从 0 开始),那么第 K 组(组号 K 从 0 开始,K=0,1,2,?,9)抽取的号码的百位数 为组号,后两位数为 L+31K 的后两位数.若 L=18,试求出 K=3 及 K=8 时所抽取的样本 编号. 21.在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P 沿着折线 BCDA 由点 B(起点)向点 A(终点)运 动。设点 P 运动的路程为 x, ?APB 的面积为 y,且 y 与 x 之间的函数关系式用如图所示的程序框图给 出. (1)写出框图中①、②、③处应填充的式子; (2) 若输出的面积 y 值为 6, 则路程 x 的值为多少? 并指出此时点 P 的在正方形的什么位置上? 22.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 40 名学生,将其成绩(均为整数)分成六段

?40,50? , ?50,60? ? ?90,100? 后画出如下部分频率分布
直方图,观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格) 和平均分; (3) 从成绩是 40~50 分及 90~100 分的学生中选两
页 5第

频率 组距

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数

人,记他们的成绩为 x,y,求满足“ | x ? y |? 10 ”的概率.(说明:第(3)小题要求特保班做, 平行班不做)



稿





6第

三明一中 2015-2016 学年(上)高二第一次月考数学(文)试卷答案
一、选择题:5×12=60
题号 答案 特 平 1 B 2 B 3 C 4 B 5 B C 6 D 7 C D 8 D A 9 C A 10 A B 11 C 12 A B

二、填空题:4×5=20 13、 (1,??) 3 14、
2 3

15、 25

16、 [? 2 , 2 ]

—39

三、解答题: (第 17~21 题每题 12 分,第 22 题 10 分,共 70 分) 17、解: (1)散点图如下:

??4 分 (2)从散点图可知,变量 y 与 x 之间有较强的线性相关性。 ??5 分 所以由已知数据有: x ? 4, y ? 5, ? xi ? 90 ,又由参考数据知 ? xi y i ? 112.3 ??7 分
2 i ?1 i ?1 5 5

?? ∴b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? ? nx
2

?x
i ?1

2 i

112.3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 1.23 90 ? 5 ? 4 2

?x ? 5 ? 1.23 ? 4 ? 0.08 ??9 分 ? ? y ?b ∴a

? ? 1.23x ? 0.08 ∴回归直线方程为 y

??10 分 ??12 分

? ? 1.23 ? 10 ? 0.08 ? 12.38 (万元) (3)当 x ? 10 时,维修费用 y

8 ? 6 ? 7 ? 8 ? 6 ? 5 ? 9 ? 10 ? 4 ? 7 ? 7; 10 6?7?7?8?6?7?8?7?9?5 乙的平均分为: x乙 ? ? 7 ??4 分 6 1 (2)甲的方差为: s 2甲 ? [(8 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 ? ? ? (7 ? 7) 2 ] ? 3 ; 10 1 乙的方差为: s 2乙 ? [(6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? ? ? (5 ? 7) 2 ] ? 1.2 ??8 分 10

18、解: (1)甲的平均分为: x甲 ?

(3)甲、乙的平均分相同,说明甲、乙两人射击的平均水平相当,又 s 2甲 > s 2乙 ,说明乙的射 击水平要比甲的射击水平更稳定.


??12 分
7第

19、 (特保班做)解: (1)设“取出的两球标号之和为 5”为事件 M,则甲、乙二人抽到的小 球的所有情况有:?1,1? 、?1, 2 ? 、?1,3? 、?1, 4 ? 、? 2,1? 、? 2, 2 ? 、? 2,3? 、? 2, 4 ? 、? 3,1? 、? 3, 2 ? 、? 3,3? 、

? 3, 4 ? 、 ? 4,1? 、 ? 4, 2 ? 、 ? 4,3? 、 ? 4, 4 ? ,共 16 种不同情况,且每种情况均等可能出现,又事件 M
包含的情况有: 共 4 种情况, 由古典概型概率公式有 P( M ) ? ?1, 4 ? 、? 2,3? 、? 3, 2 ? 、? 4,1? , 答:取出的两球标号之和为 5 的概率为
1 . ??6 分 4 4 1 ? . 16 4

(2)甲抽到的小球的标号比乙大,有 ? 2,1? 、 ? 3,1? 、 ? 3, 2 ? 、 ? 4,1? 、 ? 4, 2 ? 、 ? 4,3? ,共 6 种情 况 , 故甲胜的概率 p1 ?
6 3 ? , 又事件甲胜与事件乙胜是对立事件,所以乙获胜的概率为 16 8 3 5 3 5 p2 ? 1 ? ? .因为 ? ,所以此游戏不公平. ??12 分 8 8 8 8

(平行班做)解:记“射手在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环及 7 环以下”的事件 分别为 A、B、C、D、E,且这五个事件彼此互斥,则依题意有:
P( A) ? 0.24 , P( B) ? 0.28 , P(C ) ? 0.19 , P( D) ? 0.16 , P( E ) ? 0.13

??4 分

(1)记事件“射中 10 环或 9 环”为 M ,则 M ? A ? B 所以 P( M ) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.24 ? 0.28 ? 0.52 即射中 10 环或 9 环的概率为 0.52. ??8 分

(2)记事件“至少射中 7 环”为 N ,则由事件 N 与事件 E 是对立事件有:
P( N ) ? 1 ? P( E ) ? 1 ? 0.13 ? 0.87 ,即至少射中 7 环的概率为 0.87.

??12 分

(直接法做,对也给分) 20、 (特保班做)解:? 命题 p:函数 y ? a x 在 (??,??) 上递减 又命题 q: ?x ? R, a ? sin x ?
1 2
? 命题 q: a ? ? 命题 p: 0 ? a ? 1 ??2 分

1 2

??4 分 ??5 分

又“ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假,则命题 p, q 中一真一假
?0 ? a ? 1 1 ? 若 p 真 q 假,则 ? 1 ,解得: 0 ? a ? ; 2 a? ? 2 ?
?a ? 1 ? 若 q 真 p 假,则 ? 1 ,解得: a ? 1 a ? ? 2 ?
1 综上,a 的取值范围是 (0, ] ? [1,??) 2

??8 分

??11 分

??12 分

(平行班做)解:(1)案例一用简单随机抽样,案例二用分层抽样,案例三用系统抽样.
页 8第

??3 分 (2)①分层,将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层; 40 1 ②确定抽样比例 q=800=20; ③按上述比例确定各层样本数分别为 8 人、16 人、10 人、6 人; ④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本; ⑤汇总构成一个容量为 40 的样本. ??8 分

(3)K=3 时,L+31K=18+31× 3=111,故第三组样本编号为 311.K=8 时,L+31K=18 +31× 8=266,故第 8 组样本编号为 866. ??12 分

21、解: (1)框图中①、②、③处应填充的式子分别为: y ? 2 x , y ? 8 , y ? 24 ? 2 x ??6 分 (2)若输出的 y 值为 6,则 2 x ? 6 或24 ? 2 x ? 6 ,解得 x ? 2或x ? 9 ,当 x ? 2 时,此时点 P 在 正方形的边 BC 上;当 x ? 9 时,此时点 P 在正方形的边 DA 上. ??6 分

22、评分标准:平行班每小题 5 分;特保班第(1) (2)小题各 3 分,第(3)小题 4 分 (1)由频率分布直方图可知第 1、2、3、5、6 小组的频率分别为:0.1、0.15、0.15、0.25、 0.05,所以第 4 小组的频率为:1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3. 0.3 ∴在频率分布直方图中第 4 小组的对应的矩形的高为 ? 0.03 ,对应图形如图所示: 10
频率 组距

0.03
0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数

(2)? 考试的及格率即 60 分及以上的频率 ∴及格率为 0.15+0.3+0.25+0.05=0.75 又由频率分布直方图有平均分为: 0.1 ? 45 ? 0.15 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.25 ? 85 ? 0.05 ? 95 ? 71



9第

(3)设“成绩满足 | x ? y |? 10 ”为事件 A 由频率分布直方图可求得成绩在 40~50 分及 90~100 分的学生人数分别为 4 人和 2 人, 记在 40~50 分数段的 4 人的成绩分别为 a, b, c, d ,90~100 分数段的 2 人的成绩分别为 e, f ,则从 中选两人,其成绩组合 ( x, y ) 的所有情况有: 共 15 (a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) , 种,且每种情况的出现均等可能。若这 2 人成绩要满足“ | x ? y |? 10 ” ,则要求一人选自 40~ 50 分 数 段 , 另 一 个 选 自 90 ~ 100 分 数 段 , 有 如 下 情 况 :

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ) , 共 8 种 , 所 以 由 古 典 概 型 概 率 公 式 有

P( A) ?

8 8 ,即所取 2 人的成绩满足“ | x ? y |? 10 ”的概率是 . 15 15



10 第


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