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江苏省苏州中学2014届高三1月质量检测数学试卷


江苏省苏州中学 2014 届高三 1 月质量检测

数学试卷
一、填空题:

2014.1

1 ? ? 1. 已知集合 A ? ? y | y ? x , x ? R? , B ? ?y | y ? log 2 ( x ? 1), x ? R? ,则 A ? B ? ▲ . 2 ? ?

2.已知命题 p : “若 a ? b ,则 | a |?| b | ”,则命题 p 及其逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的 个数是 ▲ . 3. 已知 x 是 1,2,3, x,5,6,7 这 7 个数据的中位数,且 1,2, x ,? y 这四个数据的平均数为 1,则 y ?
2

1 的 x

最小值为





4. 已知 f ( x ) ? ?

?cos?x, x ? 0 4 ,则 f ( ) 的值为 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0



. ▲ .

5. 已知向量 a ? (5,?3), b ? (9,?6 ? cos? ),

? 是第二象限角, a //(2a ? b) ,则 tan? =

6. 已知直线 ? ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下面四个命题: ① ? ∥ ? ? ? ⊥m;② ? ⊥ ? ? ? ∥m;③ ? ∥m ? ? ⊥ ? ;④ ? ⊥m ? ? ∥ ? 其中正确命题序号是 7. 已知数列 ?an ? 中,an ? N ,对于任意 n ? N ,an ? an ?1 ,若对于任意正整数 K ,在数列中恰有 K
* *





个 K 出现,求 a50 =▲ 8. 设 x, y 均为正实数,且 9.已知方程 x +
2



3 3 ? ? 1 ,则 xy 的最小值为 2? x 2? y





x 1 2 2 - =0 有两个不等实根 a 和 b ,那么过点 A(a, a ), B(b, b ) 的直线与圆 tan? sin ? x 2 ? y 2 ? 1的位置关系是 ▲ .

10. 若动直线 x ? a(a ? R) 与函数 f ( x) ? 3 sin( x ? 两点,则 | MN | 的最大值为 ▲ .

?

)与g ( x) ? cos( x ? ) 的图象分别交于 M , N 6 6
S n ? ( S n ?1 ? a1 ) 2 (n ? 2) ,若

?

11. 各项都为正数的数列 ?an ? ,其前 n 项的和为 S n ,且

an ?1 an ? ,且数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn ,则 Tn = ▲ . an an ?1 = 12. 若 函 数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 有 极 值 点 x1 , x2 , 且 f ( x1) x1 则 关 于 x 的 方 程 bn ?
(f ( x1 )) 2 ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根个数是 ▲ 3


),F2 (5,) ,则原点 O 到其左准线的距离 2 13.已知椭圆与 x 轴相切,左、右两个焦点分别为 F1 (1,1 为 ▲ .
14. 设 A n ? ? , , ,?? , 则S = ▲ . 二、解答题: 15.(本小题满分 14 分)
·1·

?1 3 5 ?2 4 8

2n ? 1 ? ? ? ? n ? N , n ? 2 ? , A n 的所有非空子集中的最小元素的和为 S , n 2 ?

设向量 a ? (sin x, cos x), b ? (sin x, 3 sin x), x ?R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? 2b) . (1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)求使不等式 f ?( x) ? 2 成立的 x 的取值集合. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形,

AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂直于底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点. (1)求证: PB ? DM ; (2)求点 B 到平面 PAC 的距离.
17.(本小题满分 14 分) 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进 行开发建设,阴影部分为一公共设施不能建设开发,且要求 用栏栅隔开(栏栅要求在直线上) ,公共设施边界为曲线

f ( x)? 1? a 2x ( a? 0 ) 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交
于点 M、N,切曲线于点 P,设 P(t , f (t )) . ( I)将 ?OMN (O 为坐标原点)的面积 S 表示成 f 的函数 S(t); (II)若 t ?

1 ,S(t)取得最小值,求此时 a 的值及 S(t)的最小值. 2

18.(本小题满分 16 分)
2 y2 如图:在平面直角坐标系 xOy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆 E: x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右 a b

???? ? ???? ? 焦点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,且 AF2 ? 5BF2 ? 0 .

(1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D(1,0)为线段 OF2 的中点,M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A、B) ,连接 MF1 并延 长交椭圆 E 于点 N,连接 MD、ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P、Q,连接 PQ,设直线 MN、PQ 的斜 率存在且分别为 k1 、 2 , 使得 k1 ? ? k2 ? 0 k 试问是否存在常数 ? , 恒成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

19. (本小题满分 16 分)
·2·

已知数列 ?an ? 具有性质:① a1 为整数;②对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时,

an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n . 2 2

(1)若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (2)设 a1 ? 2 ? 3 ( m ? 3 且 m?N),数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求证: Sn ? 2
m m ?1

?3;

(3)若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log 2 a1 ( n? N)时,都有 an ? 0 .

20. (本小题满分 16 分) 设 a ? 0 ,两个函数 f ( x) ? e , g( x) ? b ln x 的图像关于直线 y ? x 对称.
ax

(1)求实数 a, b 满足的关系式; (2)当 a 取何值时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点; (3)当 a ? 1 时,在 ( ,?? ) 上解不等式 f (1 ? x) ? g ( x) ? x .
2

1 2

一、填空题 1.

?0,???

2.2

3.

23 3

4.

3 2

5. -

4 3

6. ①③ 7.9

8.16

4n 2 ? 6n 9. 相切 10.2 11. 2n ? 1
二、解答题

?7 ? ,n ? 2 5 34 12.3 13. 14. ? 4 2 n ?1 17 ? , n ? 3, n ? N * ? 2
2 2 2

15.解:(1) f ( x) ? a ? (a ? 2b) ? sin x ? cos x ? 2(sin x ? 3 sin x cos x)

? 1 ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2(sin 2 x ?

? 2 ? 2(sin 2 x cos
由 2k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
6

? cos 2 x sin ) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) . 6 6 6

?

3 1 ? cos 2 x ? ) 2 2

?

…………5′

? 2k? ?

?

2

,得 k? ?

?

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

?

, k? ? ] ( k ? Z ) . 6 3
·3·

?

6

? x ? k? ?

?

3

( k ? Z) ,

…………8′

(2) 由 f ( x) ? 2 ? 2sin(2 x ?

) ,得 f ?( x) ? 4cos(2 x ? ) . 6 6 ? 1 ? ? ? 由 f ?( x) ? 2 ,得 cos(2 x ? ) ? ,则 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 6 2 3 6 3
即 k? ?

?

?

?

12

? x ? k? ?

?

4

(k ? Z) . ∴ 使 不 等 式 f ?( x )? 2成 立 的 x 的 取 值 集 合 为

? ? ? ? ? ? k ? x k ? ? x ?k ? , ? Z ? .……14′ 12 4 ? ?
16.解: (1)因为 N 是 PB 的中点,PA=AB, 所以 AN⊥PB,因为 AD⊥面 PAB,所以 AD⊥PB,又因为 AD∩AN=A 从而 PB⊥平面 ADMN,因为 平面 ADMN, 所以 PB⊥DM. …………7′ (2) 连接 AC,过 B 作 BH⊥AC,因为 PA ⊥底面 ABCD , 所以平面 PAB⊥底面 ABCD ,所以 BH 是点 B 到平面 PAC 的距离. AB ? BC 2 在直角三角形 ABC 中,BH= ……………14′ = 5 AC 5 17.解: (Ⅰ) y? ? ?2ax ,直线 MN 的斜率为 ?2at ,

?直线 MN 的方程为 y ? (1 ? at 2 ) ? ?2at ( x ? t )
1 ? at 2 1 ? at 2 ? 2at 2 1 ? at 2 1 ? at 2 ?t ? ? ?M ( , 0) ???3 分 令 y ? 0, 得 x ? 2at 2at 2at 2at
令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? at ? 2at ? 1 ? at ,? N (0,1 ? at ) ,
2 2 2 2

1 1 ? at 2 (1 ? at 2 ) 2 (1 ? at 2 ) ? , ??MON 的面积 S (t ) ? ? 2 2at 4at
(Ⅱ) S ?(t ) ?

???6 分

3a 2t 4 ? 2at 2 ? 1 (at 2 ? 1)(3at 2 ? 1) ? , 4at 2 4at 2
2

因为 a ? 0, t ? 0 ,由 S ?(t ) ? 0 ,得 3at ? 1 ? 0, 得t ?

1 , 3a

???9 分

当 3at ? 1 ? 0, 即t ?
2

1 时, S ?(t ) ? 0 , 3a 1 1 时, S ?(t ) ? 0 ?当t ? 时, S (t )有最小值 . 3a 3a

当 3at ? 1 ? 0, 即0 ? t ?
2

·4·

已知在 t ?

1 1 4 1 处, S (t )取得最小值 ,故有 ? ,? a ? , 3 2 3a 2

4 1 (1 ? ? )2 4 1 1 3 4 ?2 故当 a ? , t ? 时, S (t ) min ? S ( ) ? 4 1 3 2 2 3 4? ? 3 2 ???? ???? ? ? ? ???? ? ???? ? 18. (1)? AF2 ? 5 BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
故椭圆 E 的离心率为
2 . 3

4 (2)存在满足条件的常数 ? , l ? ? .点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, 7

? c ? 2 ,从而 a ? 3 , b ? 5 ,左焦点 F1 ? ?2,0 ? ,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 5
x1 ? 1 y ? 1, y1

设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ? ,则直线 MD 的方程为 x ? 代入椭圆方程 整理得,

x2 y 2 ? ?1, 9 5

y ? x ? 1? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ? 1 1 ,? y3 ? .从而 x3 ? 1 , 2 x1 ? 5 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5

? 5 x ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? 故点 P ? 1 , , ? .同理,点 Q ? ?. ? x1 ? 5 x1 ? 5 ? ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?

? 三点 M 、 F1 、 N 共线,?

y1 y2 ? ,从而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1 ? y2 ? . x1 ? 2 x2 ? 2

4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y ? y4 x ? 5 x2 ? 5 ? 1 ? 1 2 ? ? 从而 k2 ? 3 5 x1 ? 9 5 x2 ? 9 x3 ? x4 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? 5 x2 ? 5

故 k1 ? 19.

4 4k 2 ? 0 ,从而存在满足条件的常数 ? ? ? . 7 7
a1 ?n, 2

解: (1)∵ a1 为偶数,∴可设 a1 ? 2n(n ? Z) ,故 a2 ? 若 n 为偶数,则 a3 ? 即 2n ?

n ,由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2a2 ? a1 ? a3 , 2

5 (2 分) n ,解得 n ? 0 ,故 a1 ? 0 ; 2 n ?1 若 n 为奇数,则 a3 ? ,由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2a2 ? a1 ? a3 , 2 5 1 即 2n ? n ? ,解得 n ? 1 ,故 a1 ? 2 ; 2 2
·5·

∴ a1 的值为 0 或 2.

(4 分)

(2)∵ a1 ? 2m ? 3(m ? 3, m ? N) 是奇数,∴ a2 ?

a3 ?

a a2 ? 1 m?2 ? 2 , a4 ? 3 ? 2m?3 ,依此类推, 2 2

a1 ? 1 m?1 ? 2 ?1, 2

可知 a3 , a4 ,?, am?1 成等比数列,且有 an ? 2m?n?1 (3 ? n ? m ? 1) , 1?1 又 am ?1 ? 20 ? 1 , am ? 2 ? ? 0 , am ?3 ? 0 ,? 2 ∴当 n ? m ? 1 时, an ? 0 ;当 n ? m ? 2 时,都有 an ? 0 . 故对于给定的 m , S n 的最大值为 a1 ? a2 ? ? ? am ? am?1 (3 分)

? (2m ? 3) ? (2m?1 ? 1) ? 2m?2 ? 2m?3 ? ? ? 20 ? (2m ? 2m?1 ? ? ? 20 ) ? 4

?

2m?1 ? 1 ? 4 ? 2m?1 ? 3 ,所以 Sn ? 2m?1 ? 3 . (6 分) 2 ?1

(3)当 a1 为正整数时, an 必为非负整数.证明如下: 当 n ? 1 时,由已知 a1 为正整数, 可知 a1 为非负整数,故结论成立; 假设当 n ? k 时, an 为非负整数,若 an ? 0 ,则 an?1 ? 0 ;若 an 为正偶数, a a ?1 则 an ?1 ? n 必为正整数;若 an 为正奇数,则 an ?1 ? n 必为非负整数. 2 2 故总有 an 为非负整数. (3 分) an ? 1 an a 当 an 为奇数时, an ?1 ? ? ;当 an 为偶数时, an ?1 ? n . 2 2 2 an an?1 an?2 a1 故总有 an ?1 ? ,所以 an ? ? 2 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 a 1 n ?1 1 log2 a1 当 n ? 1 ? log 2 a1 时, an ? ( ) a1 ? ( ) ( a1 ? 1 ? 1 ,即 an ? 1 . 6 分) 2 2 a1 又 an 必为非负整数,故必有 an ? 0 . (8 分)

【另法提示:先证“若 ak 为整数,且 2t ? ak ? 2t ?1 (t ? N*) ,则 ak ?1 也为整数,且 2t ?1 ? ak ?1 ? 2t ” , 然后由 a1 是正整数,可知存在正整数 s ,使得 2s ?1 ? a1 ? 2s ,由此推得 as ? 1 , as ?1 ? 0 , as ? 2 及其 以后的项均为0,可得当 n ? 1 ? log 2 a1 (n? N) 时,都有 an ? 0 】

20.解: (1)设 P( x,e ) 是函数 f ( x) ? e 图像上任一点,则它关于直线 y ? x 对称的点 P (e ,x)
ax
ax , ax

在函数 g( x) ? b ln x 的图像上,? x ? b ln e

ax

? abx ,? ab ? 1.

(2)当 a ? 0 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点,两个函数的图像有且只有一个交点,

?两个函数关于直线 y ? x 对称,?两个函数图像的交点就是函数 f ( x) ? eax ,的图像与直线 y ? x
·6·

的切点. 设切点为 A( x0,e
ax0

) , x0 =eax0 f , x) ? aeax ,? aeax0 =1 ,? ax0 =1 ,? x0 =eax0 =e , (

?当 a ?

1? x 2 (3)当 a =1 时,设 r ( x) ? f (1 ? x)+g ? x ? ? x 2 ? e ? ln x ? x ,则

1 1 ? 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点 x ? e ; x0 e

1 1 ?1 ? r, x) ? -e1? x+ ? 2 x ,当 x ? ? ,1? 时, ? 2 x ? 2 ? 1 ? 1,-e1? x ? ?1 , r, x)<0 , ( ( x x ?2 ? 1 当 x ? ?1, +? ? 时, ? 2 x ? 1 ? 2 ? - -e1? x ? 0 , r, x)<0 . 1, ( x ?1 ? ? r ( x) 在 ? , ?? ? 上是减函数. ?2 ? 又 r (1) =0,?不等式 f (1 ? x)+g ? x ? ? x 2 解集是 ?1, ?? ? .

·7·


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