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甘肃省定西市通渭县榜罗中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


2015—2016 学年度第一学期期中测试试题 高二数学
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分) 1. 不等式 ? x ? 3x ? 4 ? 0 的解集为
2

A. {x | ?1 ? x ? 4} C. {x | x ? 1或x ? ?4}

B. {x | x ? 4或x ? ?1} D. {x

| ?4 ? x ? 1}

0 0 2.在△ABC 中,已知 a ? 8 ,B= 60 ,C= 75 ,则 b 等于

A. 4 6

B. 4 5

C. 4 3

D.

22 3

3.已知 ?ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则 sin B = A.

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 3

4.在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 21, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 A.15 B.33 C.51 D.63

5.已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 A .15 6.若 a ? 1, 则 a ? B.17 C.19 D .21

1 的最小值是 a ?1
B.a C. 3 D.

A.2

2 a a ?1

7.已知点(3,1)和(4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是 A. a ? 0 B. a ? ?7 C. a ? 0 或 a ? ?7 D. ?7 ? a ? 0 )

8. 一个等比数列 {an } 的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为( A、63 B、108 C、75 D、83

9.在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为

A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

10.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求

4 1 ? 的最小值是 x y
C.7 D.9

A.4

B.6

11. 不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 R ,那么( A. a ? 0, ? ? 0 B. a ? 0, ? ? 0 C. a ? 0, ? ? 0


D. a ? 0, ? ? 0

12.设 ?ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列, sin A 、 sin B 、 sin C 成等比数列,则这个三角 形的形状是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

二、填空题:(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设等比数列 {an } 的公比为 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? _____________. 2 a4

14. 在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________.

2x ?1 . ? 1 的解集是 3x ? 1 2 16.若不等式 mx +4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围为
15. 不等式 三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) (1) Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S 2 ? S 6 , a4 ? 1,求 a 5 . (2)在等比数列 ?a n ? 中,若 a4 ? a2 ? 24, a2 ? a3 ? 6, 求首项 a 1 和公比 q . 18.(本小题满分 12 分)

.

在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 且

a ? b ? 2 ? 1, sin A ?
(1)求 a , b 的值;

5 10 , sin B ? . 5 10

(2)求角 C 和边 c 的值。 19.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 48n 。 (1)求数列的通项公式; 20.(本小题满分 12 分)
2 1 ? 若不等式 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ? ? x ? x ? 2? ,

(2)求 Sn 的最大或最小值。

? 2

?

(1) 求 a 的值;
2 2 (2) 求不等式 ax ? 5 x ? a ? 1 ? 0 的解集.

21.(本小题满分 12 分)

?x ? 2 ? 若?y ? 2 求目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值和最小值. ?x ? y ? 2 ?
22.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ) (1)求证:数列 {a n ? 1} 是等比数列; (2)求通项公式 a n ;(3)设 b n ? n ,求 ?an bn ?的前 n 项和 Tn .
?

高二数学答题卡 班级: 姓名: 学号:

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题:(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 15.

14. 16.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.

18.

19.

20.

21.

22.

高二数学试题答案
一、选择题: BABDB CDABD 二、填空题: 13. 15_______ 15. {x ? AC 14. 16. 120°____

1 ? x ? 2} 3

?1 ? m ? 0

三、解答题: 17.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由题意,得 ?

?2a1 ? d ? 6a1 ? 15d , ?2a1 ? 7 d ? 0, 即? ?a1 ? 3d ? 1, ?a1 ? 3d ? 1,

………………3 分 ……………6 分

解得, d ? ?2 ,a1 ? 7所以, . a5 ? a1 ? 4d ? 7 ? 4 ? (?2) ? ?1. (2)设等比数列{an}的公比为 q, 由题意,得 ?

?a1q(q 2 ? 1) ? 24,

?a1q(1 ? q) ? 6, 1 . 解得, q ? 5 ,a1 ? 5
18. 解: (1)由

………………………………9 分 ………………………………………12 分

? ?a ? 2 a b ?a ? 2b ? 得 a ? 2b ,联立 ? 解得 ? sin A sin B ? ?b ? 1 ?a ? b ? 2 ? 1

(2)? A,B 为锐角, cos A ?

2 5 3 10 , cos B ? 5 10 2 2

? cosC ? ? cos(A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B =-

? C ? 135? ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? 5

?c ? 5

19. (1)a1=S1=1 -48×1=-47,

2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-48n-[(n-1)2-48(n-1)] =2n-49,a1 也适合上式, ∴an=2n-49 (n∈N+). (2)a1=-49,d=2,所以Sn有最小值,

1 1 ?a ? 2n ? 49 ? 0 由? n , 得23 ? n ? 24 , 又n ? N ? , 2 2 ?an ?1 ? 2(n ? 1) ? 49 ? 0 ∴n=24,即Sn最小, 24 ? 23 S 24 ? 24 ? (?47 ) ? ? 2 ? ?576 , 2 或:由Sn=n2-48n=(n-24)2-576,
∴当n=24时,Sn取得最小值-576.
20. (1)依题意,可知方程 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的两个实数根为
2

1 和2 2

由韦达定理得: 解得: a =-2

1 5 +2= ? 2 a 1 2

(2) {x ? 3 ? x ? } 21. [2,6] 22. 解: (1)? a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ) 得 a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1)(n ? N )
?

?

?

an?1 ? 1 ? 2 (n ? N ? ) an ? 1

? 数列 {a n ? 1} 成等比数列.
(2)由(1)知, {a n ? 1} 是以 a1 ? 1 =2 为首项,以 2 为公比的等比数列

? a n ? 1 ? 2 ? 2 n -1 ? 2 n

? an ? 2 n ? 1

(3)? b n ? n

? an ? bn ? n (2n ? 1)

? Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?an bn
? 1(21 ? 1) ? 2(2 2 ? 1) ? 3(23 ? 1) ? ?n(2 n ? 1)
= ( 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ?n ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 令 S n ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ?n ? 2 n

2S n ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ?n ? 2 n?1
两式相减 ? S n ? 1? 21 ? 2 2 ? 23 ? ?2 n ? n ? 2 n?1

S n ? 2 n?1 (n ? 1) ? 2

? Tn ? 2 n ?1 (n ? 1) ? 2 ?

n(n ? 1) 2

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