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高中数学数列知识点总结(经典)


数列知识点复习
高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数), an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

庞顺清

? a1 ? an ? n ? na
2
<

br />1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列,Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数 列,公差为 n 2 d ; (3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
am S2 m?1 ? bm T2 m?1

(5) ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二 次函数)

Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界
项,

?a ? 0 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? n 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0 ?a ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? n 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
(6)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1

1

数列知识点复习
(7)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ? , 有

庞顺清

S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

2. 等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ), an ? a1qn?1 . an

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意!) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am an ? a p aq · · (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n . 注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
n ? 1 时, a1 ? S1 ;
n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

.

3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
1 1 1 如:数列 ?an ? , a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2 1 解 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

① ②

①—②得:

?14 (n ? 1) 1 a ? 2 ,∴ an ? 2n?1 ,∴ an ? ? n?1 n n 2 ?2 (n ? 2)

5 [练习]数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ? an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3
2

数列知识点复习
注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,代入得

庞顺清

Sn ?1 ? 4 又 S1 ? 4 ,∴ ?Sn ? 是等比数列, Sn ? 4n Sn ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 4n?1 ·

(2)叠乘法
a n 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ? ,求 an an n ?1



3 a a 1 a2 a3 1 2 n ?1 ,∴ n ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? · …… n ? · …… n. a1 n a1 a2 an?1 2 3 n

(3)等差型递推公式 由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法
? a3 ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ? a2 ? a1 ? f (2)

∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) [练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1 an ? 3 , (4)等比型递推公式
n?1

? an?1 ? n ? 2? ,求 an (

an ?

1 n ? 3 ? 1? 2 )

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ?c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ?
d d d ? ? ,c 为公比的等比数列 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

∴ an ?

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · ? c ,∴ an ? ? a1 ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法 如: a1 ? 1,an?1 ?
2an ,求 an an ? 2

3

数列知识点复习
由已知得:
a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an?1 2an 2 an an?1 an 2

庞顺清

?1? 1 1 1 1 1 ∴ ? ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? , · 2 a1 an 2 2 ? an ?
∴ an ? ( 附:
2 n ?1

a ? 公式法、利用 n
换元法 )

?

S1 ( n? 1 )

Sn ? Sn?1 ( n? 2 )、 累 加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等 比

an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、

4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求 ?

1 k ?1 ak ak ?1

n

解:由 ∴?
n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?

n ?1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ?

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?

[练习]求和: 1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 an ? …… ? ……,Sn ? 2 ? n ?1

(2)错位相减法 若 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列,求数列 ?anbn ? (差比数列)前 n 项和,可由

4

数列知识点复习
Sn ? qSn ,求 Sn ,其中 q 为 ?bn ? 的公比.
如: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1

庞顺清

① ②

x Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn ·
①—② ?1 ? x ? Sn ? 1? x ? x2 ? ……? xn?1 ? nxn
x ? 1 时, S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
x2 [练习]已知 f ( x) ? ,则 1 ? x2

?1? f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?
2

?1? f ? ?? ?4?

?1? ? ? 2 2 x ?1? ? x ? ? x ? 1 ?1 由 f ( x) ? f ? ? ? ? 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?

? ∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? ?
(附:

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (3) ? ? 2 ?? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (4) ? ? 3 ?? ?

1 ? 1 ?? 1 f ? ?? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 4 ?? 2

a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写 与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。 我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是 研究同一类知识的工具, 例如: 等差数列前 n 项和公式的推导, 用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列,求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式 进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于 这个数列之后,再计算。 c.用裂项相消法求数列的前 n 项和
5

数列知识点复习

庞顺清

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从 而求出数列的前 n 项和。 d.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 即若在数列{an·n}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比, b 再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。 e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列{an}满足 an+1=an+f(n),其中 f(n)是等差数列或等比数列的条 件下,可把这个式子变成 an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加 到一起,经过整理,可求出 an ,从而求出 Sn。 f.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列, 也不是等比数列的数列, 若将这类数 列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 g.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项的特征, 构造 出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前 n 项和。 )

6


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