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南通市高级中学2014-2015年高三数学一模试卷


南 通 市 高 级 中 学 2014-2015 年 高 三 数 学 一 模 试 卷 试题Ⅰ
注 意 注 事 意 项 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1. 已知集合 U ? ?1,,, 3 5 9? , A ? ?1,, 3 9? , B ? ?1, 9? ,则 CU ( A
B) ?

▲ .

2. 若 z ? z ? 9 (其中 z 表示复数 z 的共轭复数) ,则复数 z 的模为 ▲ . 3. 已知函数 f ( x) ? a 在 x ? 1 处的导数为 ?2 ,则实数 a 的值是 ▲ . x 4. 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 (GB19522—2004) 中 规 定 车 辆 驾 驶 人 员 血 液 酒 精 含 量 : “ 饮 酒 驾 车 ” 的 临 界 值 为 20mg/100ml; “醉酒驾车”的临界值为 80mg/100ml.某地区交通执法部门统计了 5 月份的执法记录数

Y 据:
血液酒精含量(单位:mg/100ml) 人数 0~20 180 20~40 11 40~60 5 60~80 2 80~100 2

根据此数据,可估计该地区 5 月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ .

1

5. 要得到函数 y ? sin 2 x 的函数图象, 可将函数 y ? sin 2 x ? π 的图象向右至少 平移 ▲ 个 .. 3 单位. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,“直线 y ? x ? b ,b ? R 与曲线 x ? 1 ? y 2 相切”的充要条件 是 “ ▲ ”. 7. 如图, Ni 表示第 i 个学生的学号, Gi 表示第 i 个学生的成绩,已知学 号在 1~10 的学生的成绩依次为 401、392、385、359、 372、327、 354、361、345、337,则打印出的第 5 组数据是 ▲ . 8. 在△ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? ▲ .
N

?

?

开始
i ?1

9. 已知 y ? f ( x) 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,则不等 式 f ( x ? x) ? f (0) 的解集为 ▲ . 10.设正四棱锥的侧棱长为 1,则其体积的最大值为 ▲ . 11.已知平面向量 a , b , c 满足 a ? 1 , b ? 2 , a , b 的夹角等 于 π ,且 (a ? c ) ? (b ? c ) ? 0 ,则 c 的取值范围是 ▲ . 3
N
2

Y

打印Ni, Gi 血液酒精含量(单位:
i ? i ?1

人数

i ? 50

Y
结束 (第 7 题)

0) 、 A2 ( x2, 0) 分别作 x 12.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A1 ( x1,

0) ,这 轴的垂线与抛物线 x 2 ? 2 y 分别交于点 A1?、A2? ,直线 A1? A2? 与 x 轴交于点 A3 ( x3,
样就称

x1、x2 确定了 x3 .同样,可由 x2、x3 确定 x 4 ,…,若 x1 ? 2 , x2 ? 3 ,则 x5 ?

▲ .

13.定义: min {x,y}为实数 x,y 中较小的数.已知 h ? min a, 2 b 2 ,其中 a,b 均为 a ? 4b 正实数,则 h 的最大值是 ▲ .
2

?

?

14.在平面直角坐标系 xOy 中,直角三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆 x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 上, a
(0,) 1 为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为 27 ,则实数 a 的值为 其中 A 8

▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证 明过程或演算步骤.

2

15. (本题满分14分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin x ? π sin x ? π , x?R. 4 4 (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)若 x ? x0 0≤x0 ≤ π 为 f ( x) 的一个零点,求 sin 2 x0 的值. 2

? ? ? ?

?

?

16. (本题满分 14 分) 如图,在边长为1的菱形ABCD中,将正三角形 BCD沿BD向上折起,折起后的点C记为 C ? , .... 且
CC ? ? a ( 0 ? a ? 3 ) .

D

C?

(1)若 a ? 3 ,求二面角C—BD— C ? 的大小; 2 (2)当 a 变化时,线段 CC ? 上是否总存在一点 E,使得A C ? //平面BED?请说明理由.

A

C

B (第 16 题)

17. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设A、B是双曲线 x2 ? 中点, 线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点. (1)求直线AB与CD的方程; (2)判断 A、B、C、D 四点是否共圆?若共圆,请求出圆的方程;若不共圆,请说明 理由.

y2 2) 是线段AB的 ? 1 上的两点, M (1, 2

18. (本题满分 15 分) 某省高考数学阅卷点共有 400 名阅卷老师, 为了高效地完成文、 理科数学卷的阅卷任务, 需将 400 名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作, 一组完成 269 捆文科卷, 另一组完成 475 捆理科卷.根据历年阅卷经验,文科每捆卷需要一位阅卷老师工作 3 天完成,理科
3

每捆卷需要一位阅卷老师工作 4 天完成. (假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同, 每捆卷的份数也相同) (1)如何安排文、理科阅卷老师的人数,使得全省数学阅卷时间最省? (2)由于今年理科阅卷任务较重,理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作 4.5 天完成, 在按(1)分配的人数阅卷 4 天后,阅卷领导小组决定从文科组抽调 20 名阅卷老 师去阅理科卷,试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天?(天数精确到小数 点后第 3 位) (参考数据: 807 ? 6.782 , 95 ? 6.786 , 331 ? 3.343 , 1013.5 ? 3.367 ) 14 119 99 301

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 是二次函数,且 f ?( x) ? 0 的两根为 ?1 .若 f ( x) 的极大值 与极小值 之和为 0, f (?2) ? 2 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数在开区间 (m ? 9, 9 ? m) 上存在最大值与最小值,求实数 m 的取值范围.
a?b?c. (3) 设函数 f ( x) ? x ? g ( x) , 正实数 a, b, c 满足 ag (b) ? bg (c) ? cg (a) ? 0 , 证明:

20. (本题满分 16 分) 设首项为 1 的正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 an 2 的前 n 项和为 Tn ,且

? ?

Tn ?

4 ? (Sn ? p )2 , 3
其中 p 为常数. (1)求 p 的值; (2)求证:数列 ?an ? 为等比数列; (3)证明:“数列 an , 2 x an ?1 , 2 y an?2 成等差数列,其中 x、y 均为整数”的充要条件

是“ x ? 1 , 且 y ? 2 ”.
4

试题Ⅱ (附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 .若 . 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. A. (几何证明选讲) 如图,AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切 半圆于点 D,CD=2,DE⊥ AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的 中点,求 BC 的长. A · O E B C D

(第 21—A 题)

B. (矩阵与变换)
?1 2 ? ?1? 已知矩阵 ? 的属于特征值 b 的一个特征向量为 ? ? ,求实数 a 、 b 的值. ? ?2 a ? ?1?

C. (极坐标与参数方程) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,? 2) 在曲线 ? ? 求 p的 值.
? x ? 2 pt 2, ? ? y ? 2 pt

( t 为参数, p 为正常数) ,

D. (不等式选讲)
a2, a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,求证: 1 ? 1 ? 1 ≥9. 设 a1, a1 a2 a3

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.
? ? ? ,求 f ( x) 的最大值. 22.已知函数 f ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2 x , x ? ?0,

5

k ?1 23. (1)已知 k、n ? N * ,且 k≤n ,求证: kCk n ? nCn ?1 ;

(2)设数列 a 0 , a1 , a2 ,…满足 a0 ? a1 , ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,?) . 证 明 : 对 任 意 的 正 整 数 n ,

n 1 n ?1 2 2 n n p( x) ? a0C0 ? a2Cn x (1 ? x)n?2 ? ??? ? an Cn x 是 n (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x)

关于 x 的一次式.

南通市数学一模试卷 参考答案
1.

?5? ;

2. 3;

3. 2;

4. 0.09;

5. π ; 6

6. b ? ? 2 ;

361 ; 7. 8,

8. π ; 4
1) ; 9. (0,

10. 4 3 ; 27

? ? 11. ? 7 ? 3 , 7 ? 3 ? ; 2 2 ? ?

12.

1; 2

13. 1 ; 2

14.

3. 答案解析
3 9? ,则 ? 1.易得 A U B ? A ? ?1,, U ( A U B) ? ?5? ;

2.

z ?

z? z ? 3;

3. 易得 f ?( x) ? ? a ,则 f ?(1) ? ?a ? ?2 ,即 a ? 2 ; x2 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于 11 ? 5 ? 2 ? 0.09 ; 200 5. 将 y ? sin 2 x ? π ? sin 2 x ? ? 向右至少平移 ? 个单位得 y ? sin 2 x ; ? 3 ? 6. 易得
b 2 ? 1 ,且 b ? 0 ,即 b ? ? 2 ;

?

?

? ?

361 ; 7. 打印出的第 5 组数据是学号为 8 号,且成绩为 361,故结果是 8,

6

8.



tan A ? k

, 则

t a B ?n k

2 ,

tan C ? 3k

, 且

k ?0

, 利 用

t a C? n?

A ?n ) B 可 t a n A ?t B a? ? n t (a 1? t Aa B n t a n

求得 k ? 1 ,所以 A ? ? ; ?
1) ; 9. 易得 f (0) ? 0 , x 2 ? x ? 0 ,故所求解集为 (0,

10. 法 1

2 设 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 x , 则 体 积 V ? 1 x2 1 ? x ? 2 x 4 2 ? x 2 , 记 3 2 6

?

?

y ? t2 ? 2 ? t? ,
t ? 0 ,利用导数可求得当 t ? 4 时, ymax ? 32 ,此时 Vmax ? 4 3 ; 3 27 27



2

设 正 四 棱 锥 的 侧 棱 与 底 面 所 成 角 为 ?

, 则

V ? 1 ? 2cos2 ? ? sin ? ? 2 1 ? sin 2 ? ? sin ? , 3 3
0<? ? ? ,记 y ? 1 ? t 2 t, 0 ? t ? 1 ,利用导数可求得当 t ? 3 时, ymax ? 2 3 ,此时 ? 9 3 B ?4 3; 27

?

?

?

?

Vmax

C2

15.命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式,考查运 M 算求解 C1 O 能力. A (第 11 题图) (1)易得 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin 2 x ? 1 sin 2 x ? cos x 2 ? 1 ? cos2 x ? 3sin 2 x ? 1 cos2 x 2 2 2

?

?

? 3 s i nx2 ?

(5 分) co x? s1 2 = 2sin 2 x ? π ? 1 , 6 2 2

?

?

所以 f ( x) 周期 π ,值域为 ?? 3 ,5 ? ; (7 分) ? 2 2? ? ? (2)由 f ( x0 ) ? 2sin 2 x0 ? π ? 1 ? 0 得 sin 2 x0 ? π ? ? 1 ? 0 , (9 分) 6 2 6 4 又由 0≤x0 ≤ π 得 - π ≤2 x0 - π ≤ 5π , 2 6 6 6

?

?

?

?

? ? 此时, sin 2x ? sin ?? 2 x ? π ? ? π ? ? sin ? 2 x ? π ? cos π ? cos ? 2 x ? π ? sin π ? ? 6 6 6 6 6 6? ?
所以 - π ≤2 x0 - π ≤0,故 cos 2 x0 ? π ? 15 , (11 分) 6 6 6 4
0 0
0 0

??1? 3 ? 1 5 ? 1 ? 1 5? 4 2 4 2 8

3 . (14 分)

7

16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象、推理论 证能力. 解: (1)连结 AC ,交 BD 于点 O ,连结 OC ? , 菱形 ABCD 中, CO ? BD , 因三角形 BCD 沿 BD 折起,所以 C ?O ? BD , A 故 ?C ?OC 为二面角 C—BD— C ? 的平面角, (5 分) 易得 C ?O ? CO ? 3 ,而 CC ? ? 3 , 2 2 所以 ?C ?OC ? ? ,二面角 C—BD— C ? 的大小为 ? ; (7 分) ? ? (2)当 a 变化时,线段 CC ? 的中点E总满足A C ? //平面BED,下证之: (9分) 因为 E,O 分别为线段 CC ? ,AC 的中点, 又 AC ? ? 平面 BED, OE ? 平面 BED, 所以 OE // AC ? , (11 分) B (第 16 题图) O D

C?
E C

所以 A C ? //平面 BED. (14 分)

17.命题立意:本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识,考查运算求解与探究能力.
4 ? y1 ) , 解: ( 1 ) 设 A ( x1,y1 ) , 则 B(2 ? x1,

代 入 双 曲 线 x2 ?

y2 ?1 得 2

? 2 y12 x ? ? 1, ? ? 1 2 ? 2 ?(2 ? x ) 2 ? (4 ? y1 ) ? 1, 1 ? ? 2

? x =-1, ? x1 ? 3, (3,4) ( ? 1,0) 解得 ? 1 或? 即 A、 B 的坐标为 、 , ? y1 ? 0 ? y1 ? 4,

所以 AB : y ? x ? 1 , CD : y ? ? x ? 3 ; (7 分) (2)A、B、C、D 四点共圆,下证之:(9 分) 证明:由 y ? ? x ? 3 与 x2 ?

y2 ? 1 联立方程组可得 2

C、 D 的坐标为 ?3 ? 2 5,6 ? 2 5 、 ?3 ? 2 5,6 ? 2 5 , (11 分)

?

? ?

?

由三点 A、B、C 可先确定一个圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 40 ①, (13 分) 经检验 D ?3 ? 2 5,6 ? 2 5 适合①式,所以 A、B、C、D 四点共圆. (15 分) (注:本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆) 18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (1)设文科阅卷人数为 x ,且 x ? N* ,
8

?

?

? 269 ? 3 ,x≤119.246, ? x 则阅卷时间为 f ( x) ? ? (5 分) ? 475 ? 4 ,x ? 119.246, ? 400 ? x

而 f (119) ? 6.782,f (120) ? 6.786, 故 f (119) ? f (120) , 答:当文、理科阅卷人数分别是 119,281 时,全省阅卷时间最省; (8 分)

269 ? 3 ? 119 ? 1 ? 4 ? 3 3 (2)文科阅卷时间为: 4 ? (11 分) ? 7.343 , 99 475 ? 4.5 ? 281? 1 ? 4 ? 4.5 4.5 (14 分) ? 7.367 , 301

理科阅卷时间为: 4 ?

答:全省阅卷时间最短为 7.367 天. (15 分)

19.命题立意:本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识,考查灵活运 用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力. 解: (1)设 f ?( x) ? a( x ? 1)( x ? 1) ,
x3 ? x ? c ,其中 c 为常数. 则可设 f ( x) ? a 3

y 2 ?1 2
O 1

?

?

因为 f ( x) 的极大值与极小值之和为 0, 所以 f (?1) ? f (1) ? 0 ,即 c ? 0 , 由 f (?2) ? 2 得 a ? ?3 , 所以 f ( x) ? 3x ? x3 ; (5 分) (2)由(1)得 f ( x) ? 3x ? x3 ,且 f ?( x) ? ?3( x ? 1)( x ? 1) 列

?2 ?2

x

(第 19 题图)

表:

x
y?

(?2, ? 1)
?

?1
0 极小值 ?2

(?1, 1)

1
0 极大值 2

(1, 2)
?

+ ↗

y





由题意得,三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值(如图) , (7 分) 又 f (?2) ? 2 ,故 f (2) ? ?2 , 解得 7≤m ? 8 ; (10 分)
9

所以 1 ? 9 ? m≤2 ,且 ?2≤m ? 9 ? ?1 ,

(3)题设等价与 a(3 ? b2 ) ? b(3 ? c2 ) ? c(3 ? a2 ) ,且 a,b,c ? 0, 所以 a,b,c 均小于 3 . 假设在 a,b,c 中有两个不等,不妨设 a ? b,则 a ? b 或 a ? b. 若 a ? b,则由 a(3 ? b2 ) ? b(3 ? c2 ) 得 3 ? b2 ? 3 ? c 2 即 b ? c , 又由 b(3 ? c2 ) ? c(3 ? a 2 ) 得 c ? a. 于是 a ? b ? c ? a,出现矛盾. 同理,若 a ? b,也必出现出矛盾. 故假设不成立,所以 a ? b ? c . (16 分) 20.命题立意:本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识,考 查灵活 运用基本量进行探索求解、推理分析能力. 解: (1)n ? 1 时,由 1 ?

4 ? (1 ? p)2 得 p ? 0 或 2, (2 分) 3 4 ? Sn 2 , 3 4 ? (1 ? a2 )2 ,解得 a2 ? 0 或 a2 ? ? 1 , 2 3

若 p ? 0 时, Tn ?

当 n ? 2 时, 1 ? a22 ?

而 an ? 0 ,所以 p ? 0 不符合题意,故 p ? 2; (5 分) (2)当 p ? 2 时, Tn ? 4 ? 1 (2 ? Sn )2 ①,则 Tn?1 ? 4 ? 1 (2 ? Sn?1 )2 ②, 3 3 3 3 ② ? ①并化简得 3an?1 ? 4 ? Sn ?1 ? Sn ③,则 3an? 2 ? 4 ? Sn? 2 ? Sn?1 ④, ④ ? ③得 an ? 2 ? 1 an ?1 ( n ? N? ) ,又易得 a2 ? 1 a1 , 2 2

1 ; 所以数列{an}是等比数列,且 an ? n (10 分) 2 ?1 1 知 a , 2 x a , 2 y a 依次为 1 , 2 , (3)充分性:若 x ? 1,y ? 2,由 an ? n n n ?1 n?2 2n?1 2n 2 ?1
2
n ?1

4 ,

满足 2 ? 2 (12 分) ? 1 ? 4 ,即 an,2xan?1,2yan?2 成等差数列; 2n 2n ?1 2n ?1

1 , 必要性: 假设 an , 其中 x、 y 均为整数, 又 an ? n 2 x an ?1 , 2 y an?2 成等差数列, 2 ?1
1 , 所以 2 ? 2x ? 1 ? 1 ? 2y ? n 2n 2n?1 2 ?1

化简得 2 x ? 2 y ? 2 ? 1 显然 x ? y ? 2 ,设 k ? x ? ( y ? 2) ,
10

因为 x、y 均为整数,所以当 k≥2 时, 2 x ? 2 y ? 2 ? 1 或 2 x ? 2 y ? 2 ? 1 , 故当 k ? 1 ,且当 x ? 1 ,且 y ? 2 ? 0 时上式成立,即证. (16 分) 21.A.命题立意:本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证、运算求解能力. 解:连接 OD,则 OD⊥DC, 在 Rt△OED 中, OE ? 1 OB ? 1 OD, 2 2 所以∠ODE ? 30°, (5 分) 在 Rt△ODC 中,∠DCO ? 30°,由 DC ? 2 得 OD ? DCtan30°? 2 3 , 3 所以 BC ? 2 3 . (10 分) 3 B.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量,考查运算求解能力.
?1 2 ? ?1? ?1? 解:由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知 ? (5 分) ? ?1? = b ?1? , 2 a ? ? ? ? ?? ?b ? 3, b ? 3 .(10 分) 所以 ? 解得 a ? 1, ?b ? a ? 2,

C.命题立意:本题主要考查参数方程,考查运算求解能力. 解:由 ? ?
? x ? 2 pt 2, ? ? y ? 2 pt,

( t 为参数, p 为正常数) ,消去参数 t 得 y 2 ? 2 px , (8 分)

将点 A(1,? 2) 代入 y 2 ? 2 px 得 p ? 2 .(10 分)

D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力. 证明:因为 a1,a2,a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ? 0 ,
1 所以 1 ? 1 ? 1 ? (a1 ? a2 ? a3 ) 1 ? 1 ? 1 ≥3 ? a1a2 a3 ? 3 ? 3 1 1 1 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3

?

?

?

(8 分) ? ?9 ,
1 3

当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? 1 时等号成立, 3 所以 1 ? 1 ? 1 ≥9 .(10 分) a1 a2 a3 22.命题立意:本题主要考查复合函数求导等知识,考查运算求解、推理论证能力. 证明:由 f ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2 x 得 f ?( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x , (2 分)

11

令 g ( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 ? ?2 x , 1? x 1? x
0) 上为增函数; 当 ?1 ? x ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (?1,
? ?) 上为减函数, 当 x>0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,

所以 g ( x) 在 x=0 处取得极大值,且 g (0) ? 0 , (6 分) 故 f ?( x)≤0 (当且仅当 x ? 0 时取等号) , 所以函数 f ( x) 为 ? 0, (8 分) ? ? ? 上的减函数, 则 f ( x)≤f (0) ? 0 ,即 f ( x) 的最大值为 0. (10 分) 23.命题立意:本题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力. (1)证明:左边 ? kCk n ?k? 右边 ? n ?
n! n! , ? k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

(n ? 1)! n! , ? (k ? 1)!( n ? k)! ( k ?1)!( n ? k)!

k ?1 所以 kCk (3 分) n ? nCn ?1 ;

(2)证明:由题意得数列 a 0 , a1 , a2 ,…为等差数列,且公差为 a1 ? a0 ? 0 .(5 分)
n 1 n ?1 2 2 n n 则 p( x) ? a0C0 ? a2Cn x (1 ? x)n?2 ? ??? ? an Cn x n (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x)

n 1 n?1 n n ? a0C0 ? ??? ? ?a0 + n(a1 ? a0 )? Cn x n (1 ? x) ? ? a0 + (a1 ? a0 )? Cn x(1 ? x)

0 n 1 n ?1 n n n ?1 2 2 n ?2 n n ? ? 1 ? ? a0 ? ?Cn (1 ? x) ? Cn x(1 ? x) ? ??? ? Cn x ? ? (a1 ? a0 ) ?Cn x(1 ? x) + 2Cn x (1 ? x) ? ??? ? nCn x ?
0 n ?1 1 n?2 n ?1 n ?1 ? ? a0 ? (1 ? x) ? x ? ? (a1 ? a0 )nx ? ?C n ?1 (1 ? x) + C n ?1 x(1 ? x) ? ? ? ? ? C n ?1 x ? n

? a0 ? (a1 ? a0 )nx ? x ? (1 ? x)?
? a0 ? (a1 ? a0 )nx ,

n?1

所以对任意的正整数 n, p( x) 是关于 x 的一次式. (10 分)

12


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