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2.命题及其关系、充分条件与必要条件


枣庄三中 201---2012 学年度上学期高三年级 数学学科教学案 编号 3002

命题及其关系、充分条件与必要条件
组编人 满其伦 审核人白永庆 使用时间

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一、《说明》解读】 【 1.理解命题的概念。2.了解“若 p 则 q ”形式的命题及

其逆命题、否命题与逆否命题,会分 析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件及充要条件的意义 二、 【知识提炼】 1. _____________________________________________叫做命题. 2. (1)四种命题及其关系
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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原命题: 若 p 则q 互 否 否命题: 若 ?p 则 ?q 互

互 互

逆 否

逆命题: 若q 则 p 互 否 否 逆否命题:
若 ? q则 ? p

为 逆 为 逆





(2)等价命题:原命题 ? 逆否命题,逆命题 ? 否命题, 当一个命题真假不易判断时,可转而判断它的逆否命题。 (3)否命题不同于命题否定:对命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定题设又 否定结论。 3.充分条件、必要条件、充要条件: (1) 如果 p 成立 ? q 成立, p 是 q 的 则 条件, q 是 p 的 则 条件; (2)如果 p ? q , q ? p ,则 p 是 q 的 条件。 (3)从集合的角度理解 已知 A ? ?x x 满足条件 p ?, B ? ?x x 满足条件 q ? ,如果 A ? B ,那么 p 是 q 的 如果 B ? A ,那么 p 是 q 的 三、 【基础再现】 1.设集合 M ? { x x ? 2}, P ? { x x ? 3}, 那么 " x ? M 或 x ? P " 是 " x ? M ? P " 的(
A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

条件, 条件.

条件,如果 A ? B ,那么 p 是 q 的



2.“ a ? 1 ”是“函数 y ? cos 2 ax 周期为 ? ”的(
A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件



1

C . 充要条件

D . 既不充分又不必要条件

3.已知 a , b , c ? R ∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ≥ 3 ”,的否命题是(
A. 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2



B . 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

C . 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

D . 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

4.设 a , b 是向量,命题“若 a ? ? b ,则 a ? b ”的逆命题是 (
A. 若 a ? ? b 则 a ? b C . 若 a ? b 则 a ? ?b B. 若 a ? ?b 则 a ? b



D. 若 a ? b 则 a ? ?b


5.下面四个条件中,使 a> b 成立的充分而不必要的条件是(
A. a> b ? 1 B . a> b ? 1 C. a >b
2 2

D . a 3> b 3


6. “若 x ?

,则 tan x ? 1 ”的逆否命题 4 四、 【典例示范】

?

7.例 1.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假。 (1)若 q<1,则方程 x2+2x+q=0 有实根。 (2)若 ab=0,则 a=0 或 b=0。

8.例 2、证明: a ? 2且 b ? 2 的充要条件是: a ? b ? 4且 ab ? 4 ? 2 a ? 2 b 证

2

9.例 3、已知命题 p : 1 ?

x ?1

3 必要条件,试求实数 m 的取值范围.

? 2 ; q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 ( m ? 0 ) 若 ? p 是 ? q 的充分非
2 2

五. 【知能迁移】
x ? ? 10、设集合 A ? ? x ? x ?1 ? 0 ? , B ? ? x 0 ? x ? 3? ,那么“m ? A”是“m ? B”的( ?



”的( ) 6 2 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? ? ? ? ? ? ? 12.若 a , b 是非零向量, a ⊥ b ” “函数 f ( x ) ? ( xa ? b ) ? ( xb ? a ) 为一次函数” ( “ 是 的 )
A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件

11. “ ? ?

?

? 2 k ? ( k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

1

D.既不充分也不必要条件

13. “ f ?0 ? ? 0 ” 是“函数 y ? f ( x ) 是奇函数”的(
A. 充分不必要条件 14.给定下列命题: B . 必要不充分条件

) D.既不充分也不必要条件

C . 充要条件

①若 k>0,则方程 x2+2x-k=0 有实数根; ②若 x+y≠8,则 x≠2 或 y≠6; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题. 其中真命题的序号是___ _____. 15.已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要 条件,则实数 a 的取值范围是________. 16.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)若 x、y 都是奇数,则 x+y 是偶数; (2)若 x>2,y>3,则 x+y>5.

3

17..已知 P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}. (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件,若存在,求出 m 的范围; (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件,若存在,求出 m 的范围.

18.已知命题 p : x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根;命题 q : 4 x ? 4 ( m ? 2 ) x ? 1 ? 0 无实 根. 若命题 p 与命题 q 有且只有一个为真,求实数 m 的取值范围.
2 2

4

3002 命题及其关系、充分条件与必要条件参考答案
三、 【基础再现】1-5 B A A D A 6.若 tan x ? 1 ,则 x ?

?
4

四、 【典例示范】 7.解析: (1)逆命题:若方程 x2+2x+q=0 有实根,则 q<1,为假命题, 否命题:若 q≥1,则方程 x2+2x+q=0 无实根,假命题。 逆否命题:若方程 x2+2x+q=0 无实根,则 q≥1,真命题。 (2)逆命题:若 a=0 或 b=0, 则 ab=0, 真命题。 否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0,真命题。 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0,真命题。 ? ? a ? 2 ? ? ?b ? 2 ? ? 0 8.若 a ? b ? 4且 ab ? 4 ? 2 a ? 2 b ,则 ? 故 ?a ? 2 ? 、 ?b ? 2 ? 同号且同 ? ? a ? 2 ? ? ?b ? 2 ? ? 0 正,所以 a ? 2且 b ? 2 9.【 解析】由 1 ?
x ?1 3 ? 2 ,得 ? 2 ? x ? 10 .
? ? p : A ? ?x | x ? ? 2或 x ? 10 ? .

2 2 由 x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 ( m ? 0 ) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m .

? ? q :B={ x | x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m , m ? 0 }.

∵ ? p 是 ? q 的充分非必要条件,且 m ? 0 , ? A ? B
?m ? 0 ? ? ?1 ? m ? 10 ?1 ? m ? ? 2 ?

即0 ? m ? 3

五. 【知能迁移】10---13 A A B D. 13.解析: 函数 f ? x ? ? 如
1

x 因此答案应选 D. 14.解析:①∵Δ=4-4(-k)=4+4k>0,

是奇函数, f ?0 ? 不存在; 但 函数 f ? x ? ? x 是偶函数,f ?0 ? ? 0 .
2

∴①是真命题. ②其逆否命题为真,故②是真命题. ③逆命题:“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题:“若 xy≠0,则 x、y 都不为零”是真命题. 答案:①②④ 15.解析:由题意得,A 是 B 的真子集,故 a<5 为所求. 答案:a<5 16.解:(1)原命题是真命题.逆命题:若 x+y 是偶数,则 x、y 都是奇数,是假命题; 否命题:若 x、y 不都是奇数,则 x+y 不是偶数,是假命题; 逆否命题:若 x+y 不是偶数,则 x、y 不都是奇数,是真命题.
5

(2)原命题是真命题.逆命题:若 x+y>5,则 x>2,y>3.是假命题.否命题:若 x≤2 或 y≤3,则 x+y≤5.是假命题.逆否命题:若 x+y≤5,则 x≤2 或 y≤3.是真命题. 17.解:(1)由题意 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S. 由 x2-8x-20≤0?-2≤x≤10, ∴P=[-2,10]. 由|x-1|≤m?1-m≤x≤1+m,∴S=[1-m,1+m]. ?1-m=-2, ?m=3, ? ? 要使 P=S,则? ∴? ? ? ?1+m=10. ?m=9. ∴这样的 m 不存在. (2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P. 由|x-1|≤m,可得 1-m≤x≤m+1, 18.解:? x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,
2

?m 2 ? 4 ? 0 ?? , 得 m ? 2. ?m?0 ?
? 4 x ? 4 ( m ? 2 ) x ? 1 ? 0 无实根,? 16 ( m ? 2 ) ? 16 ? 0 , 得 1 ? m ? 3 .
2 2

有且只有一个为真,若 p 真 q 假,得 m ? 3 若 p 假 q 真,得 1 ? m ? 2 综合上述得 m ? 3, 或1 ? m ? 2

6


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