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2013嘉定区三模数学试卷


2012 学年嘉定区高三年级第三次质量调研 数学试卷(文)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须在答题纸上进行,写在试卷或草稿纸上的 解答一律无效. 2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1.

已知 x ? C ,且 x ? ?4 ,则 x ? ____________.
2

2.方程 lg( x ? 3) ? lg x ? 1 的解 x ? ____________.
2 3.已知集合 A ? {x x ? 2 x ? 8 ? 0 , x ? Z} ,集合 B ? {x | x ? 2 |? 3 , x ? R} ,则

A ? B ? _________________. ?? ? 4.函数 y ? 2 cos? 2 x ? ? 的单调递减区间是__________________________. 3? ? 2x ? 1 5.若函数 y ? 的图像关于直线 y ? x 对称,则实数 a 的值为_____________. x?a 6.若圆柱的侧面展开图是边长为 4 和 2 的矩形,则圆柱的体积为_________________. 7.已知 ? 、 ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ,则 tan ? ? ___________. ? ? ? ? 8.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? ( 3 , ? 1) ,则 | 2a ? b | 的最大值是___________. 1 1 9.已知正数 a , b 满足 ab ? 1 ,则 ? 的最小值为_________. a b 1? 2 ? 3 ??? n ? ___________. 10. lim n ?? n2 11.在数列 {an } 中,若 a1 ? 2 ,且对任意的正整数 p 和 q 都有 a p?q ? a p ? aq ,则 a8 的值
为__________. 12.已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 x ? 1 , 如果 z ? x ? y 的最小值是 ? 1 ,则实数 m ? _____. ?x ? y ? m , y

?y ? 1 ,

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 与 13.如图,过双曲线 x ? 4 圆 x 2 ? y 2 ? 4 相切于点 M , l 与双曲线交于点 P , | PM | ? ________________. 则 | PF |
2

P M O F x

14.已知函数 f ( x) ? x ? 2 , x ? 0 , 若 | f ( x) |? ax 在 x ? [?1 , 1] 上恒成立,则实数 a 的
2

?3x ? 2 , x ? 0 ,
?
4

第 13 题图

取值范围是___________. 二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15. “ tan ? ? 1 ”是“ ? ? k? ? A.充分不必要条件 (k ?Z ) ”的???????????????( B.必要不充分条件
1



C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

16.已知集合 A ? {1 , 2 , 3 , 4} 和集合 B ? {5, 6 , 7 , 8} ,分别在集合 A 和 B 中各取一个数, 则这两个数的和为偶数的概率是????????????????????( A. )

3 13 D. 4 16 17.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示, A 、 B 、 C 分别是△ GHI 三边的中点)后得到的几何体如图
B. C. 2 所示,则该几何体按图中所示方向的左视图为??????????( A A H G B C C B I 左视 )

1 4

1 2

E F 图1 B

D

E F 图2 B

D

B

B

E

E

E

E

A. B. C. D. 18.下列区间中,函数 f ( x) ?| ln(3 ? x) | 在其上为增函数的是??????????( A. (?? , 2) B. ? ? 1 ,



? ?

3? ? 2?

C. (1 , 3)

D. (2 , 3)

三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 8 分) 如图,在四棱锥 A ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PA ? 底面 ABCD , PA ? 4 , M 为 PA 的中点. (1)求三棱锥 P ? MCD 的体积; (2)求异面直线 PC 与 MD 所成角的大小.

P

M

A

D

B

C

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 如图,某市拟在长为 8 千米的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM ,该曲 线段为函数 y ? A sin ? x ( A ? 0 , ? ? 0 ) , x ? [0 , 4] 的图像,且图像的最高点为 S (3 , 2 3 ) ;赛道的 后一部分为折线段 MNP ,为保证参赛运动员的安全,限定 ?MNP ?
2

2? . 3

(1)求 A , ? 的值和线段 MP 的长; (2)设 ?PMN ? ? ,问 ? 为何值时,才能使折线段赛道 MNP 最长? y

2 3

S

M

?

N P

O

3 4

8 x

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分) 在等比数列 {an } 中,公比 q ? 1 ,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 ? 3 , b4 ? a2 , b13 ? a3 . (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)求使

1 1 1 40 成立的最小正整数 n 的值. ? ??? ? a1 a2 an 81

22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知过点 A(?1 , 0) 的动直线 l 与圆 C : x ? ( y ? 3) ? 4 相交于 P 、Q 两点,M 是 PQ 的中点,l 与
2 2

直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于点 N . (1)当 l 与 m 垂直时,求证:直线 l 必过圆心 C ; (2)当 | PQ |? 2 3 时,求直线 l 的方程; (3)求证: AM ? AN 是定值.
3

23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 是偶函数,求实数 a 的值; (2)若 a ? 2 ,求 f ( x) 的最小值; ( 3 ) 对 于 函 数 y ? m( x) , 在 定 义 域 内 给 定 区 间 [a , b] , 如 果 存 在 x0 ( a ? x0 ? b ) ,满足

m( x 0 ) ?

m(b) ? m(a ) ,则称函数 m( x) 是区间 [a , b] 上的“平均值函数” , x0 是它的一个“均值点” .如 b?a

函数 y ? x 2 是 [?1 , 1] 上的平均值函数,0 就是它的均值点. 现有函数 g ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 是区间 [?1 , 1] 上的平均值函数,求实数 m 的取值范围.

2012 学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷(文) 参考答案与评分标准
一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1. ? 2i ; 2. 5 ; 6. 3。 {0 , 1} ; 4。 ?k? ? 8。 4 ; 9。 2 ;

? ?

?
6

, k? ?
1 ; 2
4

2? ? (k ?Z ) ; 5。 2 ; 3 ? ?

4

?



8

?



7。 1 ;

10。

11。 16 ; 12。 5 ;

13。

1 ; 14。 [ ?1 , 0] 2

二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.A; 16。B; 17。A; 18。D。 三.解答题(本大题满分 74 分,注:评分标准中解答题的得分按各步给出,非递进累计分)

1 S △ PAD ? 2 ,????(1 分) 2 由 PA ? 底面 ABCD ,得 PA ? CD ,又 AD ? CD ,所以 CD ? 平面 PAD ,??(1 分) 1 4 所以 V P ? MCD ? VC ? PMD ? ? S △ PMD ?CD ? . ????????(2 分) 3 3 (2)连结 AC , BD 交于点 O ,连结 MO ,因为 M 和 O 分别为 PA 和 PC 的中点, 所以 MO ∥ PC 所以 ?DMO 是异面直线 PC 与 MD 所成的角或其补角.????(2 分)
19. (1)因为 M 是 PA 的中点,所以 S


PMD

?

在△ MDO 中, OD ?

2 , OM ? 6 , MD ? 2 2 , ????(2 分)

由余弦定理, cos?DMO ?

OM 2 ? MD 2 ? OD2 6?8?2 3 .????(3 分) ? ? 2 ? OM ? MD 2 2? 6 ?2 2

所以 ?DMO ? 30? .即异面直线 PC 与 MD 所成角的大小为 30 ? . ????(1 分) 20. (1)由题意, A ? 2 3 ,设函数 y ? A sin ? x 在 R 上的周期为 T ,则 又T ?

2?

?

,所以 ? ?

?
6

T ? 3, 4



??????(2 分)

所以 y ? 2 3 sin

?
6

x ,当 x ? 4 时, y ? 3 ,故 M (4 , 3) ,????(2 分)
(4 ? 8) 2 ? 3 2 ? 5 .????(1 分)

因为 P(8 , 0) ,所以 | MP |? 即 MP 的长为 5 千米.

??????????(1 分)

2? ? , ?PMN ? ? ,则 0 ? ? ? ,????(1 分) 3 3 | MP | | NP | | MN | ? ? 由正弦定理得, , 2? ? sin ? ? ? sin sin ? ? ? ? 3 ?3 ?
(2)在△ MNP 中, ?MNP ?

10 3 10 3 ? ? ? sin ? , | MN |? sin? ? ? ? , ????(2 分) 3 3 ?3 ? ? 10 3 ? ? 10 3 ? 1 3 ? 10 3 ? sin ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? cos ? 所以 | MN | ? | NP |? ? 3 3 3 ? 2 2 ?3 ? ? ?
所以 | NP |?

10 3 ? ?? sin?? ? ? , ??????(3 分) 3 3? ? ? ? 因为 0 ? ? ? ,所以当 ? ? 时,折线段赛道 MNP 最长. ????(2 分) 3 6 ?

5

21. (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,等差数列 {bn } 的公差为 d 。 由已知得, a2 ? 3q , a3 ? 3q 2 , b4 ? 3 ? 3d , b13 ? 3 ? 12d , ????(2 分) 所以, ?

?3q ? 3 ? 3d , ?3q ? 3 ? 12 d ,
2

即?

?q ? 1 ? d ,
2 ?q ? 1 ? 4 d ,

????(2 分)

解得 q ? 3 或 q ? 1 (舍去) ,所以 d ? 2 。????(2 分) 所以 an ? 3n , bn ? 2n ? 1。 (2)因为 an ? 3n ,所以 ????(2 分)

1 1 ? n , ??(1 分) an 3

1? 1 ? ?1 ? n ? 1 1 1 1 ? 3 3 ? 1? ? ??? ? ? ? ?1 ? n ? , ????(2 分) 所以 1 a1 a 2 an 2? 3 ? 1? 3
不等式化为

1? 1 ?1 ? n 2? 3

1 1 ? 40 n ,即 n ? , 3 ? 81,解得 n ? 4 .??(2 分) ?? 81 3 ? 81
??????(1 分)

所以,最小正整数 n 的值为 5 .

22. (1)因为 l 与 m 垂直,直线 m 的一个法向量为 (1 , 3) ,所以直线 l 的一个方向向量为 d ? (1 , 3) ,所 以 l 的方程为

?

x ?1 y ? ,即 3x ? y ? 3 ? 0 .????(3 分) 1 3

所以直线 l 过圆心 C (0 , 3) . ????(1 分) (2)解法一:由 | PQ |? 2 3 得,圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 1 ,????(1 分) 设直线 l 的方程为 x ? ny ? 1 ? 0 ,则由 d ? 解得 n ? 0 或 n ?

| 1 ? 3n | 1 ? n2

? 1 , ????(1 分)

3 , ????(2 分) 4

所以直线 l 的方程为 x ? 1 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . ??????(2 分) 解法二:由 | PQ |? 2 3 得,圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 1 ,????(1 分) 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时圆心 (0 , 3) 到直线 l 的距离为 1 ,符合题意。????(1 分)

6

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则

| k ?3| k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

4 ,此时直线 l 的方程为 3

4 x ? 3 y ? 4 ? 0 。????(3 分)
所以直线 l 的方程为 x ? 1 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . ??????(1 分) (3)因为 CM ? l ,所以 AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN . ??????(2 分) 设 N ( x N , y N ) ,则 AN ? ( x N ? 1 , y N ) ,又 AC ? (1 , 3) ,故 AC ? AN ? x N ? 1 ? 3 y N

? ( xN ? 3y N ) ? 1 ,

??????(2 分)

因为点 N 在直线 m 上,所以 x N ? 3 y N ? 6 ? 0 ,即 x N ? 3 y N ? ?6 .????(1 分) 所以 AM ? AN ? AC ? AN ? ?6 ? 1 ? ?5 (定值) . ????(1 分)

23. (1)由题意,对任意 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ,即 | ? x ? a |?| x ? a | ,???(2 分) 所以 4ax ? 0 ,因为 x 为任意实数,所以 a ? 0 .
2 2 (2)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? | x ? 2 | ?1 ? ?

????(2 分) ????(2 分)

? ?x ? x ? 1 , x ? 2 , ?x 2 ? x ? 3 , x ? 2 , ?

所以 f ( x) 在 [2 , ? ?) 上的最小值为 f (2) ? 5 , ????(1 分) 在 (?? , 2) 上的最小值为 f ? ? ?

?1? ?2?

11 , 4

??(1 分)

因为

11 11 ? 5 ,所以函数 f ( x) 在 R 上的最小值为 .??(2 分) 4 4

(3)因为函数 g ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 是区间 [?1 , 1] 上的平均值函数, 所以存在 x0 ? (?1 , 1) ,使

g (1) ? g (?1) ? g ( x0 ) , ??(2 分) 1 ? (?1)



g (1) ? g (?1) ? m ,即存在 x0 ? (?1 , 1) ,使得 g ( x0 ) ? m , ????(1 分) 1 ? (?1)
2

亦即关于 x 的方程 ? x ? m x ? 1 ? m 在 (?1 , 1) 内有解. ????(2 分) 由 x ? m x ? m ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? 1 , x2 ? m ? 1 ,所以必有 ? 1 ? m ? 1 ? 1 ,??(2 分)
2

即 0 ? m ? 2 ,所以 m 的取值范围是 (0 , 2) . ????(1 分)
7

8


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