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2013届高考数学考点讲解:考点13 三角函数的图像和性质(新课标解析版)


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考点 13 三角函数的图像和性质 【高考再现】
热点一 三角函数的图像
1. (2012 年高考 (浙江理) 把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 )

坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

2 . 2012 年 高 考 ( 课 标 文 ) 已 知 ? >0, 0 ? ? ? ? , 直 线 ( )

x=

?
4

和x=

5? 是函数 4
( )

f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴,则 ? =
π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4

3. (2012 年高考(福建文) 函数 f ( x) ? sin( x ? )

?
4

) 的图像的一条对称轴是 (



A. x ? 【答案】C

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

D. x ? ?

?
2

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【解析】把 x ? ?

?
4

代入后得到 f ( x) ? ?1 ,因而对称轴为 x ? ?

?
4

,答案 C 正确.

4. (2012 年高考(安徽文) 要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图 )

象 A.向左平移 1 个单位 C.向左平移

( B.向右平移 1 个单位 D.向右平移



1 个单位 2 1 【解析】选 C y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平移 2 5. (2012 年高考(湖南理) 函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 )
y ? f ?( x) 的部分图像如图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交
点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若 ? ?

1 个单位 2

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 ),则 ? ? ______ ; 2

(2)若在曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为 _______.

6 . ( 2012

年 高 考 ( 湖 南 文 )) 已 知 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )(x ? R ,? ? 0, 0 ? ? ?
5 所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;

?
2

的部分图像如图

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(Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

7. (2012 年高考(四川理) 函数 f ( x) ? 6 cos )

2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的

图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与 x 轴的交点, 且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域;

8 3 10 2 ,且 x0 ? (? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 5 3 3 ?x [解析](Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6 cos 2 ? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 2
(Ⅱ)若 f ( x0 ) ? =3cosω x+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ?

?

3

)

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4
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所以,函数 f ( x)的周期T ? 4 ? 2 ? 8,即 所以,函数 f ( x)的值域为[?2 3 ,2 3 ]

2?

?

? 8,得? ?

?
4

8.(2012 年高考(陕西文) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? )

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其

图像相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?
2

,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

【解析】 (Ⅰ)∵函数 f ? x ? 的最大值是 3,∴ A ? 1 ? 3 ,即 A ? 2 . ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 故函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ)∵ f ( ) ? 2sin(? ?

?
2

,∴最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 .

?

?

?

2

? 1 ) ? 1 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? , 6 6 2
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6

) ?1.

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∵0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
6

?? ?

?
6

?

?
3

,∴ ? ?

?
6

?

?
6

,故 ? ?

?
3



【方法总结】1.用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω 2π >0)或 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;②求出周期 T= ;③求出振幅 A;④列出一 ω 个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点. π 2.y=Asin(ωx+φ)的图象有无穷多条对称轴,可由方程 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)解出;它还有无 2 穷多个对称中心,它们是图象与 x 轴的交点,可由 ωx+φ=kπ(k∈Z),解得 x= kπ-φ 即其对称中心为( ,0)(k∈Z). ω T T 3.相邻两对称轴间的距离为 ,相邻两对称中心间的距离也为 . 2 2 4.根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: 最高点-最低点 (1)A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2 最高点+最低点 (2)k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k= ; 2 2π (3)ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= (ω>0)来确定 ω; ω φ (4)φ 的确定: 由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交点的横坐标为- (即令 ωx+φ= ω φ 0,x=- )确定 φ. ω kπ-φ (k∈Z), ω

热点三 三角函数的最值
1. (2012 年高考(湖南理) 函数 f(x)=sinx-cos(x+ )

?
6

)的值域为(



A.[ -2 ,2]

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

3 , 2

3 ] 2

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2. (2012 年高考(大纲理) 当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, )

x ? _______________.

3. (2012 年高考(四川文) 已知函数 f ( x) ? cos )

2

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

4. 2012 年高考(山东理) 已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x, )

??

?

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 3

?? ? f ( x) ? m ? n 的最大值为 6.
(Ⅰ)求 A ;
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? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12 1 5? 原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x ) 的图象.求 g ( x) 在 [0, ] 上的值域. 2 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

【方法总结】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法:
(1)利用 sin x、cos x 的值域; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式逐步分析ω x+φ 的范围, 根据正弦函 数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

热点三 三角函数的单调性
1. (2012 年高考(新课标理) 已知 ? )

则 ? 的取值范围是(

? ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减. 4 2
C. (0, ]



1 5 2 4 【答案】 A

A. [ , ]

B. [ , ]

1 3 2 4

1 2

D. (0, 2]

【解析】 ? ? 2 ? (? x ?

?
4

) ?[

5? 9? , ] 不合题意 排除 ( D) 4 4
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? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C )

? ? ? ? ? 3? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 得: ? ? ? , ?? ? ? ? ?? ? 2 4 2 4 2 2 4
另: ? (? ?

?

4

4

4

2. (2012 年高考(天津理) 已知函数 f (x)= sin (2 x + )

?

3

)+sin(2 x ?

?

3

)+2cos 2 x ? 1 , x ? R .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

3. 2012 年高考 ( (湖北文) 设函数 f ( x) ? sin )

2

? x ? 2 3 sin ? x cos ? x ? cos 2 ? x ? ? ( x ? R)
1 2

的图像关于直线 x ? ? 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( ,1) (1) 求函数 f ( x) 的最小正周期; (2) 若 y ? f ( x) 的图像经过点 ( 【解析】(1)因为

?
4

, 0) ,求函数 f ( x) 的值域.

f ( x) ? sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? ? ? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? 6
由直线 x ? ? 是 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,可得 sin(2? x ? 所以 2? x ?

?

?

k 1 ? (k ? Z ) 6 2 2 3 1 5 6? 又 ? ? ( ,1), k ? Z ,所以 k ? 1 时, ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期是 . 2 6 5 ? k? ? (k ? Z ) ,即 ? ?
(2)由 y ? f ( x) 的图象过点 (

?

?

6

) ? ?1

?

, 0) ,得 f ( ) ? 0 4 4
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?

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5 ? ? ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 6 2 6 4 5 ? 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 ,函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 2, 2 ? 2] . 3 6
即 ? ? ?2sin( ? 【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的 能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重 要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式 T ?

2?

?

来求解;

求三角函数的值域,一般先根据自变量 x 的范围确定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三 角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.
4.(2012 年高考(北京理) 已知函数 f ( x) ? )

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间.

【方法总结】 求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0)的函数的
单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ω x+φ (ω >0)” 视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R) 的单调区间对应的不等式方向相同(反).

【考点剖析】
一.明确要求 1.考查三角函数的值域与最值 2.考查三角函数的单调性
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3.利用三角函数的值域和单调性求参数的值 二.命题方向 1.三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. 2.利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难 点. 3.题型不限,选择题、填空题、解答题都有可能出现,常与多个知 识点交汇命题. 三.规律总结
一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= M+m 2π = 2 ,ω 由周期 T 确定,即由 ω =T 求出,φ 由特殊点确定. 一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换 再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位 |φ| 变换,平移的量是 ω (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而 言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值. 两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象, 就可根据周期性作出整个函数的图象. 两条性质 (1)周期性 2π 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为|ω|, y=tan(ωx+φ)的最小
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M-m 2 ,k

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π 正周期为|ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx,而偶函数一般可化为 y =Acos ωx+b 的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围, 根 据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题.

【基础练习】
1.(教材习题改编) y ? 2 ? 3cos( x ? ) 的最大值为
4

?

,此时 x=

2.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos?x+ ?,x∈R(

? ?

π? 3?

).

A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C ? π? 3.y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是( ? ? A.(-π,0) ).

? 3π ? B.?- 4 ,0? ? ?

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?3π ? C.? 2 ,0? ? ?

?π ? D.?2,0? ? ?

4. 已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ)?|φ|< ?的部分图象如图所示,则该简谐运动

? ?

π? 2?

的最小正周期 T 和初相 φ 分别为(

).

π A.T=6π,φ=6 π C.T=6,φ=6

π B.T=6π,φ=3 π D.T=6,φ=3

5. 函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则

π 2

g(x)的解析式应为( A.-sin x B.sin x 答案 A

). C.-cos x D.cos x

? π? 解析 由图象的平移得 g(x)=cos?x+2?=-sin x. ? ? 6.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω=________.

T 2 π π 4 2π 3 解析 由题意设函数周期为 T,则 4 =3π-3=3,故 T=3π.∴ω= T =2.
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3 答案 2

【名校模拟】
一.基础扎实.
(北京 2011—2012 学年度第二学期高三综合练习(二)文)将函数 y ? sin x 的图象向右平 移

? 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,所得的图象对应的函数解析式为 2
B. y ? 1 ? sin x D. y ? 1 ? cos x

A. y ? 1 ? sin x C. y ? 1 ? cos x

2.(2012 年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图 所示,其中 A ? 0 , ? ? 0 , ? ? A.对称轴方程是 x ? B. ? ? ?

?
2

.则下列关于函数 f ( x) 的说法中正确的是(

)

?
3

? 2k? ( k ? Z)

?
6

C.最小正周期是 ? D.在区间 ? ?

? 3? 5? ,? 6 ? 2

? ? 上单调递减 ?

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3.(河北省唐山市 2011—2012 学年度高三年级第二次模拟考试理)把函数 y=sin(2x图象向左平移 A.x=0

?
6

)的

?
6

个单位后,所得函数图象的一条对称轴为 B.x=

?
6

C.x=—

?
12

D.x=

?
2

4. (唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一次模拟考试文)函数 y ? sin 3 x 的图象可以由函 数 y ? cos 3 x 的图象
(A)向左平移 (C)向左平移

?
3

个单位得到(B)向右平移 个单位得到(D)向右平移

?

?

?

3

个单位得到 个单位得到

6

6

[答案]D

y ? cos 3 x ? sin( ? 3 x) ? sin 3( x ? ), 2 6 向右平移 6 个单位得到 y ? sin 3 x . [解析]
5.(2012 年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三)理) 函数 对任意的 I 成立,则 (A)3/4 (B)1 (C)2 (D)4 的最小值为 都有

?

?

?

6.( 浙 江 省 宁 波 市 鄞 州 区 2012 届 高 三 高 考 适 应 性 考 试 ( 3 月 ) 文 ) 函 数
第 14 页 共 38 页

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f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A, ? ? R) 的部分图象如图所示,那么 f (0) ? (



A. ?

1 2

B. ? 1

C. ?

3 2

D. ? 3

【答案】B 【解析】本题主要考查三角函数图象的性质。 由图可知,函数的最大值为 2,因此 A ? 2 ,又因为函数经过点

?? ? ? ,2? ?3 ?
2?



? ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? ? 2 3 ? ?





?
3

??=

?
2

+2k? , k ? Z ,得 ? =-

?
6

+2k? , k ? Z 。

? ? ? f (0) ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? 2k? ? ? ?1 。 ? 6 ?
7. (山西省 2012 年高考考前适应性训练理)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(0 ? ? ? 5,0 ? ? ? 的图象经过点 (0, A.

?
2

)

11 3

3 ? ) ,且 f ( ) ? ?1 ,则 ? ? ( 2 4 13 B.4 C. 3

) D.

14 3

? ? ? 8.(2012 嘉兴模拟)函数 y ? 2sin(2 x ? ) , (? ? x ? ) 的值域为 3 6 6
【答案】 (0, 2] 【解析】∵ ?

?
6

?x?

?
6

∴ 0 ? 2x ?

?
3

?

∴ y ? 2sin(2 x ?

?
3

2? 3

∴ 0 ? sin(2 x ?

?
3

) ?1

) 的值域为 (0, 2]

9. (2012 宁德质检)函数 y ? tan( 【答案】 (k? ?

?
3

? x) 的单调递减区间为

?
6

, k? ?

5? ), (k ? Z ) 6
第 15 页 共 38 页

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【解析】把函数 y ? tan( 由 k? ?

?

?
2

? x?

?
3

? x) 变为 y ? ? tan( x ? ) 3 3

?

? k? ?

?

2

, k ? Z 得 k? ?

?

6

? x ? k? ?

5? ,k ?Z 6

10.(2012 届高三年级第二次综合练习文)函数 y ? 2 cos x , x ? [0, 2?] 的单调递增区间 是 .

【答案】 [? , 2? ] 【解析】由 y ? 2 cos x 图像得,单调递增区间为 [? , 2? ] .

11.(浙江省 2012 届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)(本题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ? 2 cos 2

x ? 3 sin x . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?
3

)?

1 cos 2? ,求 的值. 3 1 ? cos 2? ? sin 2?

12.(2012 年高三教学测试(二)理)(本题满分 14 分)
第 16 页 共 38 页

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已知函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f (? ) ?
5 π 2π , ? ? ( , ) ,求 sin 2? 的值. 3 3 6

13.(长春市实验中学 2012 届高三模拟考试(文))(本题满分 12 分)
已知向量 a ? (1 ? sin 2 x, sin x ? cos x), b ? (1, sin x ? cos x), 函数 f ( x) ? a ? b (1)求函数 f (x) 的最大值及相应的 x 的值; (2)若 f (? ) ? 【解析】

8 ? , 求 cos 2( ? 2? ) 的值。 5 4

14.(湖北省武汉市 2012 届高中毕业生五月供题训练(二)理)
(本小题满分 12 分)
第 17 页 共 38 页

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已知 a ? (cos x, 2 3 cos x), b ? (2 cos x,sin x), 且 f ( x) ? a ? b. (I)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 (a ? 2c) cos B ? ?b cos A 成立, 求 f(A)的取值范围.

二.能力拔高 .
1.(2012 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)函数 )的部分图象如右图所示,则 f(0)的值为
A. B. C. 0 D.

为常数,

【答案】A

第 18 页 共 38 页

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【解析】本题主要考查由函数图象求函数的解析式,再求函数值问题,由题意直接求出 A, 求出函数的周期,推出ω ,利用图象经过的特殊点,求出函数的解析式,然后求出 f(0)的 值.

2? 3 5? ? 4? ?? ? - )= 4 由函数的图象可知,A=2,T=4×( , ? 2 6 2 3 3 5? 函数图象经过( ,-2) . 6 3 5? +φ )=-2, 所以函数 f(x)=2sin( × 2 6 3? 3? 所以φ = .所以 f(0)=2sin(0+ )= 2 . 4 4
故选 A.



2 (2012 东城区普通高中示范校高三综合练习(二)理)
如图,半径为 2 的⊙ O 与直线 MN 相切于点 P ,射线 PK 从 PN 出发绕点 P 逆时针方向旋 转到 PM ,旋转过程中, PK 交⊙ O 于点 Q ,设 ?POQ 为 x ,弓形 PmQ 的面积为 S ? f ( x) ,那么 f ( x) 的图象大致是( )

3.(2012 金华模拟)若函数 f ( x) ? (1 ? tan x) cos x , 0 ? x ?
最小值分别为( )
第 19 页 共 38 页

?
2

,则 f ( x) 的最大值、

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A. 2 和 1

B.2 和 1

C.2 和 2

D.2 和 3

? 4.(2012 华南师大附中模拟)已知函数 y ? sin( ? 2 x) ,求(1)函数的周期(2) 3
求函数在 [?? , 0] 上的单调递减区间

? ? 【解析】由 y ? sin( ? 2 x) 可化为 y ? ? sin(2 x ? ) 3 3 2? 2? (1)周期 T ? ? ?? ? 2 ? ? ? ? 5? (2)令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z 2 3 2 12 12 ? ? 5? 所以 x ? R 时, y ? sin( ? 2 x) 的减区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z 3 12 12 ? 7? ? 从而 x ? [?? , 0] 时, y ? sin( ? 2 x) 的减区间为 [?? , ? ],[? , 0] 3 12 12 5.(山西省 2012 年高考考前适应性训练文)函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ? ) 在区间 [0, ? ] 上的值域
6 2
为( )

A. [?

3 3 ,3] 2

B. [?

3 3 3 3 , ] 2 2

3 C. [? , 3] 2

3 3 D. [? , ] 2 2

6.(2012 黄冈市模拟及答题适应性试理)已知向量 a=( cos ? , sin ? ) 与 b=( cos ? ,? sin ? ) 互相垂直,且 ? 为锐角,则函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )的一条 对称轴是 A

x ??

B

x?

?
2

C x?

?
4

Dx ?

7? 8

答案:D 解析:由题意得,向量 a=( cos ? , sin ? ) 与 b=( cos ? ,? sin ? ) 互相垂直,

第 20 页 共 38 页

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所以 cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0 ? cos 2? ? 0 ,又 ? 为锐角,所以 2? ? 所以 f ? x ? ? sin(2 x ? ? ) ? sin(2 x ? 即x?

?
2

?? ?

?
4



?
4

) 的对称轴的方程为 2 x ?

?
4

? k? ?

?

k? 3? 7? ,故选 D。 ? , k ? Z ,当 k ? 1 时, x ? 2 8 8

2

,k ?Z ,

8.(华中师大一附中 2012 届高考适应性考试理)已知函数 y ? sin ax ? b(a ? 0) 的图象如图所 示,则函数 y ? log a ( x ? b) 的图象可能是( ).

9.(湖北黄冈 2012 高三五月模拟考试文)先将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图像向左平移 个长度单位,再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的 像.则 g (x) 的一个增区间可能是( )

? 4

1 ,得到函数 g (x) 的图 2

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A. (?? ,0)

B. (0,

?
2

)

C. (

?
2

,? )

D. (

? ?

解: g ( x) ?

1 k? ? k? cos 4 x ,它的递增区间为 [ ? , ](k ? Z ) .故D真. 2 2 4 2

, ) 4 2

10.(襄阳五中高三年级第一次适应性考试文)把函数 y ? sin( x ? 短到原来的 称轴方程为 A. x ? ?

?

1 ? 倍(纵坐标不变) ,再将图象向右平移 个单位,那么所得图象的一条对 2 3
B. x ? ?

6

) 图象上各点的横坐标缩

?
2

?
4

C. x ?

?
8

D. x ?

?
4

11.(2012 洛阳示范高中联考高三理)函数 f ( x) ? sin x ? cos x( x ? R ) 的图象向左平移 m (m ? R? ) 个单位后,得到函数 y ? f ?( x) 的图象,则 m 的最小值为____ ___

12.(浙江省杭州学军中学 2012 届高三第二次月考理) 若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? < ( 的图象(部分)如图所示,则 f (x) 的解析式是
y 1
O

?
2



.

-

? 3

2? 3

x

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13.(海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考)函数 y=sin(x-

?
6

)cosx 的最小值是

14. (浙江省温州中学 2012 届高三 10 月月考理) 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ?
(1)若 x ? [0,

?
2

1 2

] ,求 f ( x) 的最大值以及取得最大值时相应的 x 的值
4 3 ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? , 0 ? ? ? ? ? ,求 f ( ? ? ) 的值. 5 5 2 12

(Ⅱ)已知 cos( ? ? ? ) ?

【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 2

?
∵0 ? x ?

1 ? cos 2 x 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 6

?
2



?
6

? 2x ?

?
6

?

∴ f ( x) min ? 1 ,此时 2 x ? (Ⅱ)∵ f ( ? ?

?
6

7? 1 ? 1 ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 即 ? ? f ( x) ? 1 6 2 6 2

?

?

? ) ? sin 2? ? sin[( ? ? ? ) ? ( ? ? ? )] 12
? sin( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) sin( ? ? ? )

2

,∴ x ?

?

6

? cos( ? ? ? ) ?

3 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , 0 ? ? ? ? ? , 5 5 2

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∴ sin( ? ? ? ) ?

3 4 , sin( ? ? ? ) ? 5 5

∴ sin 2 ? ? sin[( ? ? ? ) ? ( ? ? ? )] ? sin( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) sin( ? ? ? )

?

4 4 3 3 7 . ? ? (? ) ? ? 5 5 5 5 25

15.海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考) ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , ( 在 角
且满足 c sin A ? a cos C . (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

1 6.(海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考)已知函数 f(x)=(1+


?
?

)sin(x-

?
?

? 2 )sin x+ m sin(x tan x

).

(1)当 m =0 时,求 f(x)在区间[ (2)当 tan ? =2 时,f( ? )= 【解析】

?
?



? ,求 m 的值. ?

?? ]上的取值范围; ?

(1)当 m=0 时,f(x)=sin x+sinxcosx=

2

? ? (sin2x-cos2x)+ ? ?



? ? ? sin(2x- )+ ,????????(3 分) ? ? ?

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又由 x∈[

?
?



? ?? ? ?? ? ]得 2x- ∈[0, ],所以 sin(2x- )∈[- ,1], ? ? ? ? ?

从而 f(x)=

? ?? ? ? ? sin(2x- )+ ∈[0, ].????????(6 分) ? ? ? ?
2

(2)f(x)=sin x+sinxcosx-

?
?

cos2x=

?? cos ? x ? m + sin2x- cos2x ? ? ?



? ? [sin2x-(1+m)cos2x]+ ,????????????(8 分) ? ?
? sin a cos a ? tan a ? = = , ? ? ? sin a ? cos a ?? tan a ?

由 tanα =2 得 sin2α =

cos2α =

cos ? a ? sin ? a ?? tan ? a ? = =- ,????????(10 分) ? ? ? sin a ? cos a ?? tan a ?

所以 f(α )=

? ? ? ? ? = [ +(1+m) ]+ ,得 m=-2.??????(12 分) ? ? ? ? ?
2 n2 ? 2

17.(湖北省八校 2012 届高三第一次联考理)(本小题满分 12 分)
已知幂函数 f ( x) ? (n ? 2n ? 1) x

在(0, ??) 上是增函数,

? ? a ? (sin ? , ?2), b ? (1, cos ? ) , g ( x) ? f (sin x ? cos x) ? 2 3 cos 2 x.
(1)当 a ? b 时,求 g (? ) 的值; (2)求 g ( x) 的最值以及 g ( x) 取最值时 x 的取值集合。

?

?

三.提升自我.
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? 1.(海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考)函数 y ? sin( ?2 x ? ) 的单调递减区间是 6 ( )
A. [? ? ? 2k? , ? ? 2k? ](k ? Z )
6

C. [?

?
6

? k? ,

?

3

B. [ ? ? 2k? , 5? ? 2k? ](k ? Z ) D. [ ? ? k? , 5? ? k? ](k ? Z )
6 6 6 6

3

? k? ](k ? Z )

2 ( 浙 江 省 2012 届 理 科 数 学 高 考 领 先 卷 — 名 校 精 粹 重 组 试 卷 理 ) 已 知 函 数

f ?x ? ?

?

sin ?x ,下面有关于该函数的四个命题: x ? 1 x 2 ? 2x ? 2
2

??

?

①函数 f ? x ? 是周期函数; ②函数 f ? x ? 既有最大值又有最小值; ③函数 f ? x ? 的定义域是 R,且其图象有对称轴; ④对于任意 x ? ? ?1, 0 ? , f ? ? x ? ? 0 (其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数) . 其中正确的是_________ .. .

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3 . ( 湖 北 八 校 文 2012 届 高 三 第 二 次 联 考 ) 若 函 数 f(x)=sin ω x+ 3 cos ω
x ( x ? R, ? ? 0) 满足 f(α )=-2, f(β )=0, 且|α -β |的最小值为 的单调增区间为_____________

?
2

, 则函数 f(x)

4.(北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(二)理)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0, ? 图象如图所示. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)已知在函数 f ( x) 的图象上的三点 M , N , P 的横坐标分别为 ?1, 1, 5 ,求 sin ?MNP 的值.

π π ? ? ? )的部分 2 2

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5.(北京市朝阳区 2012 届高三年级第二次综合练习理)(本小题满分 13 分)
已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos x ? m (m ? R ) 的图象过点 M (
2

π , 0) . 12

(Ⅰ)求 m 的值;

C b (Ⅱ) 在△ ABC 中, A ,B , 的对边分别是 a , ,c . ccosB + bcos C = 2 acos B , 角 若
求 f ( A) 的取值范围.

6.(东城区普通高中示范校高三综合练习(二) (文))
(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? 2 3 cos 2 x, x ? R (Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期及其单调递减区间; (Ⅱ)在锐角△ ABC 中, a, b , c 分别为角 A, B , C 所对的边,又 a =2, f ( A) ? 1 ?

3,

5 ,求△ ABC 的周长. 3 【解析】(Ⅰ) f ( x ) ? (sin x ? cos x ) 2 ? 2 3 cos 2 x :
bc=
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? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x ? cos x ? 3 (1 ? cos 2 x )

? 1 ? 3 ? (sin 2 x ? 3 cos 2 x )

? 1 ? 3 ? 2 sin(2 x ?
所以函数 f (x ) 的周期为 ? . 由 2 k? ? 解得

?
3

)

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ? 7? 12

k? ?

?
12

3? 2

,k ?Z

? x ? k? ?



? 7? , k ? ? ](k ? Z). 12 12 (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,
故函数 f (x ) 的单调减区间是 [k ? ?

f ( A) ? 1 ? 3

? 1 ? 3 ? 2 sin(2 A ?

?
3

),

则 sin(2 A ?

?
3

) ? 0,

因为0 ? A ?
所以 2 A ?

?
3

? ? ? 4? , , 所以 ? 2 A ? ? 2 3 3 3

?? .

则A?

?

3

.

又 a =2, 由余弦定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A,得4 ? (b ? c ) 2 ? 2bc ? 2bc cos A, 5 因为 bc ? ,所以 b ? c ? 3 , 则 ?ABC 的周长等于 5 . 3

7.(浙江省 2012 届重点中学协作体高三第二学期 4 月联考试题理 )(本小题满分 14 分)已知函数
f ( x) ? 3 1 ? sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 1 , x ? R ,将函数 f ( x) 向左平移 个单位 2 2 6

后得函数 g ( x) ,设三角形 ?ABC 三个角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c . (Ⅰ)若 c ?

7 , f (C ) ? 0 , sin B ? 3sin A ,求 a 、 b 的值;
?? ?

(Ⅱ) g ( B ) ? 0 且 m ? (cos A, cos B ) ,n ? (1,sin A ? cos A tan B ) , m ? n 的取值范围. 若 求

?? ?

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8. (浙江省 2012 届浙南、 浙北部分学校高三第二学期 3 月联考试题理) (本小题满分 14 分) 已知△ ABC
中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 A、B、C 成等差数列,b=1,记角 A=x, a+c=f (x).

? ? , ]时,求 f (x)的取值范围; 6 3 ? 6 (Ⅱ)若 f ( x ? ) ? ,求 sin2x 的值. 6 5
(Ⅰ)当 x∈[

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9. (浙江省杭州学军中学 2012 届高三第二次月考理) (本小题满分 14 分)把函数
f ( x) ? 2 cos(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐
标不变,然后再向左平移 (1) 求 ?和? 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间.
2

?
6

个单位后得到一个最小正周期为 2 ? 的奇函数 g (x) .

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10 . ( 江 西 2012 高 三 联 合 考 试 文 )( 本 小 题 12 分 ) 已 知 函 数 ? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? m ,若 f ( x) 的最大值为 1 3 3
(1)求 m 的值,并求 f (x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边 a 、 b 、 c ,若 f ( B ) ? 3 ? 1 ,且 3a ? b ? c , 试判断三角形的形状.

11.(山东省泰安市 2012 届高三第一次模拟考试文) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满足 2a cos B ? b cos C ? c cos B.
[来@源^:#&中教网%]

(I)求角 B 的大小;

[来源:zzs%tep#@&.com^]

(II)求函数 f ? A? ? 2 sin 2 ? A ?

? ?

??

?? ? ? ? cos? 2 A ? ? 的最大值及取得最大值时的 A 值. 4? 6? ?
第 32 页 共 38 页

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12 . ( 湖 北 武 汉 2012 适 应 性 训 练 理 ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数
f ( x) ? tan x tan 2 x ? 3(sin 2 x ? cos 2 x) tan 2 x ? tan x (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域和最大值;

(Ⅱ)已知△ ABC 的内角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,若 b ? 2a ,求 f ( A) 的 取值范围.

第 33 页 共 38 页

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13. (湖北省武汉市 2012 年普通高等学校招生适应性训练文)(本小题满分 12 分)已知前 n
项和为 Sn 的等差数列 {an } 的公差不为零,且 a2 ? 3 ,又 a4 , a5 , a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? ) ( A ? 0, 0 ? ? ? π) 在 x ? 的单调递增区间.
π 处取得最小值为 S7 , 求函数 f ( x) 3

第 34 页 共 38 页

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【原创预测】
1. 已知 f ( x) ? sin (A) {x | x ? 4k ?

?x
2

, g ( x) ? cos

?x
2

则集合 {x | f ( x) ? g ( x)} 等于

1 , k ? Z} 2 1 (C) {x | x ? 4k ? , k ? Z } 2

(B) {x | x ? 2k ?

1 , k ? Z} 2

(D) {x | x ? 2k ? 1, k ? Z }

2.函数 f ( x) ? A sin( 2 x ? ? )( A, ? ? R ) 的部分图象如图所示,那么 f (0) ? (



A. ?

1 2

B. ? 1

C. ?

3 2

D. ? 3
第 35 页 共 38 页

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3.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(0 ? ? ? 5,0 ? ? ?

? 的图象经过点 (0, 3 ) ,且 ? ) f ( ) ? ?1 ,则 2 2 4
D.

? ?(
A.



11 3

B.4

C.

13 3

14 3

【答案】 D

4.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为奇函数,该函数的部分图象 如图所示,△EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f(l)的值( )

A. ?

3 2

B. ?

6 2

C. 3

D. ? 3

第 36 页 共 38 页

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5 要得到函数 f ( x) ? cos x 的导函数 f ?( x) 的图像,只需将 f ( x) 的图像( A.向右平移 C.向右平移 答案:D 解析:由题意得, f ?( x) ? ? sin x ? cos( x ? 单位,故选 D。 6.函数 f ? x ? ? A sin ??x ? ? ? (其中 A ? 0, ? ? 的图象,则只需将 f ? x ? 的图象( A.向右平移 C.向左平移 ) B.向右平移 D.向左平移



? ?
6

个单位 个单位

B.向左平移 D.向左平移

? ?
6 2

个单位 个单位

2

?
2

) ,所以只需将 f ( x) 的图像向左平移

?
2



?
2

) 的图象如图所示, 为了得到 g ? x ? ? sin 2 x

? ?
6

个长度单位 个长度单位

? ?
3 3

个长度单位 个长度单位

6

第 37 页 共 38 页

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