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高中数学 2-3-4 平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

第二章
2.3.4 平面与平面垂直的性质

课前自主预习 基础巩固训练

思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

课前自主预习

温故知新 1.直二面角:二面角的平面角是 90° . 2.两平面垂直的定义:两平面所成的二面角是 直二面角 . 3.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平 面的 一条垂线 ,那么这两个平面垂直.

4.下列命题正确的是(

)

A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.垂直于同一条直线的两直线垂直 C.垂直于同一个平面的两直线平行 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
[答案] C

5.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥ BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( A.相交 C.平行 B.异面 D.不确定 )

[答案] C

新课引入 在建筑或装修房屋时,经常会遇到这种情况,要在竖直 的墙壁上画地面的垂线,工人师傅该怎么做呢? 工人师傅只要在墙上画一条与地面和墙壁的交线垂直的 直线就符合要求,为什么呢? 带着这个小问题,我们共同进入本节课的学习.

自主预习 阅读教材P71~72,回答下列问题. 平面与平面垂直的性质定理 文字 两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线 语言 的直线与另一个平面 垂直

符号 语言

α⊥β α∩β=l a?α a⊥l

? ? ? ??a⊥β ? ? ?

图形 语言 作用 证明直线与平面 垂直

[破疑点]平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平 面垂直的另一种方法,即“面面垂直,则线面垂直”,揭示了 线面垂直与面面垂直的内在联系.

[知识拓展]垂直关系的知识总结: 线面垂直的关键,定义来证最常见, 判定定理也常用,它的意义要记清, 平面之内两直线,两线交于一个点, 面外还有一条线,垂直两线是条件. 面面垂直要证好,原有图中去寻找, 若是这样还不好,辅助线面是个宝. 先作交线的垂线,面面转为线和面, 再证一步线和线,面面垂直即可见.

借助辅助线和面,加的时候不能乱, 以某性质为基础,不能主观凭臆断. 判断线和面垂直,线垂面中两交线. 两线垂直同一面,相互平行共伸展. 两面垂直同一线,一面平行另一面. 要让面和面垂直,面过另面一垂线. 面面垂直成直角,线面垂直记心间.

已知平面α⊥平面β,则下列命题正确的个数是( ①α内的直线必垂直于β内的无数条直线;

)

②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一 条直线; ③α内的任何一条直线必垂直于β;

④过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂 直于α. A.4 B.3 C.2 D.1

[答案] C

[解析]
序号 正误 理由 设α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,则a⊥ ① ? b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于 α内的任意直线 ② ③ ④ ? ? ? β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面 α,则它垂直于α内的任意直线 α内不与交线垂直的直线不垂直于β 垂直于交线的直线必须在平面β内才与平 面α垂直,否则不垂直

思路方法技巧

二面垂直性质定理的应用
学法指导 面面垂直性质定理的应用方法:

(1)若所给题目的条件中有面面垂直的条件,一般要注 意观察看是否有垂直于两平面交线的垂线.若有,则利用性 质定理转化为线面垂直、线线垂直;若没有,一般要利用性 质定理作交线的垂线,转化为线面、线线垂直. (2)在证明线面垂直、线线垂直,作线面角、作二面角 的平面角时往往利用性质定理作垂线.

特别提醒:应用面面垂直的性质定理时,恰当利用平面 几何知识,在其中一个平面内寻找交线的垂线是关键.

[例1]

已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l

求证:l⊥γ

[证明]

证法1:在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于

A,作PB垂直β与γ的交线于B,∵α⊥γ,β⊥γ,则PA⊥α,PB ⊥β,∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB,

∵PA与PB相交,又PA?γ,PB?γ,∴l⊥γ.

证法2:在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n 垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ, ∴m∥n,又n?β,∴m∥β,又m?α,α∩β=l,∴m∥ l,∴l⊥γ. 证法3:在l上取一点P,过P作γ的垂线l′, P∈l ? ?P∈α ? ? ??? α∩β=l? ?P∈β ? ?

P∈α ? P∈l′? ??l′?α l′⊥γ ? α⊥γ ? 同理l′?β α∩β=l

? ? ? ? ??α∩β=l′ ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?l′与l重合? ? ??l⊥γ. ? l′⊥γ ?

规律总结:证法一、证法二都是利用“两平面垂直时, 在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平 面”的这一性质,添加了在一个平面内垂直于交线的直线这 样的辅助线.这是证法一、证法二的关键. 证法三是利用“如果两个平面互相垂直,那么经过第一 个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面 内”这一性质,添加了l′这条辅助线,这是证法三的关键.

通过此例,应仔细体会两平面垂直时,添加辅助线的方 法. 又在原题条件下,添加条件b∥α,b∥β,求证b⊥γ.在l上 任取一点B,过b和B的平面交α于过B的直线a′,交β于过B的 直线a″, ∵b∥α,∴a′∥b,同理b∥a″, ∵a′和a″同时过B且平行于b. ∴a′和a″重合于直线l,由l⊥γ可得b⊥γ.

如图,已知V是△ABC所在平面外一点,VB⊥平面ABC, 平面VAB⊥平面VAC,求证:△ABC是直角三角形.

[分析]

灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化.

[证明]

过B作BD⊥VA于D,

∵平面VAB⊥平面VAC,∴BD⊥平面VAC, ∴BD⊥AC,又∵VB⊥平面ABC,∴VB⊥AC, ∴AC⊥平面VAB,∴AC⊥BA, 即△ABC是直角三角形.

与面面垂直有关的计算
学法指导 1.与面面垂直有关的计算问题的类型:

(1)求角的大小(或角的某个三角函数值):如两异面直线 所成的角、线面角、二面角等. (2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等. (3)求几何体的体积或平面图形的面积.

2.计算问题的解决方法: (1)上述计算问题一般在三角形中求解.所给条件中的面 面垂直首先转化为线面垂直,然后转化为线线垂直.往往把 计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题. (2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法,求线段的 长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等 体积)法.

[例2]

如图所示,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线

段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和平面β内,AC⊥l,BD⊥ l,AC=3 cm,BD=12 cm,求线段CD的长.

[分析]

要求CD的长,由BD⊥l,α⊥β易知△BCD为直角

三角形,已知BD的长,只要知道BC的长即可.由AC⊥l知△ ABC为直角三角形,从而可解.

[解析]

∵AC⊥l,AC=3 cm,AB=4 cm,

∴BC=5 cm. ∵BD⊥l,α∩β=l,α⊥β,BD?β,∴BD⊥α. 又BC?α,∴BD⊥BC. 在Rt△BDC中,DC= BD2+BC2=13 cm.

规律总结:空间求线段长度的问题一般在三角形中求 解,如果已知垂直关系较多,通常最终转化为线线垂直,即 在直角三角形中求线段长度.

如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与平面α,β 所成的角分别为45° 和30° ,过A,B分别作两平面交线的垂 线,垂足为A′,B′,且AB=12,求A′B′的长.

[解析]

连接A′B、AB′.

在△AA′B中,∠AA′B=90° ,∠ABA′=30° ,AB= 12, 所以A′B=6 3. 在△ABB′中,∠BB′A=90° ,∠BAB′=45° ,AB= 12, 所以BB′=6 2, 在△A′B′B中,∠A′B′B=90° ,A′B=6 =6 2, 所以A′B′=6. 3 ,BB′

线线、线面、面面垂直的综合应用
学法指导 垂直关系 (1)空间垂直关系的判定方法. 判定方法 计算所成的角为90° (包括平面角和异面直线所 成的角) 线线垂直 线面垂直的性质(若a⊥α,b?α,则a⊥b) 面面垂直的定义:若两平面垂直,则两平面相 交形成的二面角的平面角为90°

垂直关系

判定方法 线面垂直定义(一般不易验证任意性) 线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b?α,c?

线面垂直 α,b∩c=M?a⊥α) 平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α?a⊥ α)

垂直关系

判定方法 面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a?β,a⊥l

线面垂直

?a⊥α) 面面平行性质(a⊥α,α∥β?a⊥β) 面面垂直性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ) 根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算

面面垂直 其为90° ) 面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β)

(2)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂 直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂 直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系如下:

(3)在垂直的判定定理和性质定理中,有很多限制条件, 如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等.这些 条件一方面有很强的约束性;另一方面又为证明指出了方 向.在利用定理时,既要注意定理的严谨性,又要注意推理 的规律性.

[例3]

如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正

方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为 SC的中点.

求证:(1)EF⊥CD; (2)平面SCD⊥平面SCE.

[证明]

(1)连接AC,AF,BF.

∵SA⊥平面ABCD,

∴SA⊥AC,∴△SAC为直角三角形. 又∵F为SC的中点, ∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线, 1 ∴AF=2SC. 又∵四边形ABCD是正方形, ∴CB⊥AB.

而由SA⊥平面ABCD,得CB⊥SA, ∴CB⊥平面SAB,∴CB⊥SB, ∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线, 1 ∴BF=2SC,∴AF=BF. ∴△AFB为等腰三角形. ∵E为AB的中点,∴EF⊥AB. 又CD∥AB,∴EF⊥CD.

(2)在Rt△SAE和Rt△CBE中, ∵SA=CB,AE=BE, ∴Rt△SAE≌△Rt△CBE, ∴SE=EC,即△SEC为等腰三角形. ∵F为SC的中点, ∴EF⊥SC. 又∵EF⊥CD,且SC∩CD=C, ∴EF⊥平面SCD. 又∵EF?平面SCE, ∴平面SCD⊥平面SCE.

规律总结:空间问题化成平面问题是解决立体几何问题 的一个基本原则,解题时要抓住几何图形自身的特点,如等 腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂 直等.还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件, 对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题.

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形, PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 PC的中点. 2 ,E,F分别是AD,

(1)证明:PC⊥平面BEF; (2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

[解析] 中,

(1)证明:连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE

PA=AB=CD,AE=DE, ∴PE=CE,即△PEC是等腰三角形. 又F是PC的中点,∴EF⊥PC. 又BP= AP2+AB2=2 2=BC,F是PC的中点, ∴BF⊥PC. 又PF∩EF=F,∴PC⊥平面BEF.

(2)解:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC. 又四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC. ∴BC⊥平面BAP,BC⊥PB. 又由(1)知PC⊥平面BEF, ∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角. 在△PBC中,PB=BC,∠PBC=90° , ∴∠PCB=45° . ∴平面BEF与平面BAP的夹角为45° .

名师辨误做答

易错点 面面垂直性质理解的一个误区 如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平 面互相垂直. [例4] 已知:平面α⊥平面β,平面β∥平面γ.求证:α⊥γ.

[错证]

设α∩β=a,α∩γ=b,在β内作直线m⊥a于点

?α⊥β, ? ?α∩β=a, A,则 ? ?m?β, ?m⊥a ?
?n∥m, ? ∥m.于是? ?m⊥α ?

?m⊥α.∵β∥γ,∴在γ内任意直线n,有n

?n⊥α, ? ?? ?n?γ ?

?α⊥γ.

[错因分析] 错证逻辑推理不严谨,对面面平行的性质理 解不透彻,误认为在两个平行平面内的任意直线均平行,即 证明中得到的直线n不确切.

[正解]

设α∩β=a,α∩γ=b,在β内作直线m⊥a于点

?α⊥β, ? ?α∩β=a, A,则 ? ?m?β, ?m⊥a ? m,

?m⊥α.∵β∥γ,在γ内取一点P,则P?

∴直线m与点P确定一个平面σ,设σ∩γ=n,则

β∥γ ? ? σ∩β=m??m∥n σ∩γ=n ? ? m⊥α n?γ ⊥γ.

? ? ? ? ??n⊥α ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?α ? ? ? ? ?

基础巩固训练

1.设两个平面互相垂直,则(

)

A.一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上 C.过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直于另一个平 面 D.分别在两个平面内的两条直线互相垂直
[答案] B

2.点P到平面四边形ABCD四条边的距离相等,则四边形 ABCD是( )

A.某圆的内接四边形 B.某圆的外切四边形 C.正方形
[答案] B

D.任意四边形

[解析]

作PO⊥平面ABCD,∵P到各边距离都相等,

∴O到四边形ABCD四条边的距离相等, ∴四边形应为某圆的外切四边形.

3.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC, PA=PB,AD=DB,则( )

A.PD?平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC
[答案]
[解析]

B
∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.

又∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD ?平面PAB, ∴PD⊥平面ABC.

4.在空间中,用x、y、z表示不同的直线或平面,若命题 “x⊥y,x⊥z,则y∥z”成立,则x、y、z分别表示的元素是 ( ) A.x、y、z都是直线 B.x、y、z都是平面 C.x、y是平面,z是直线 D.x是直线,y、z是平面
[答案] D

[解析]

垂直于同一条直线的两直线不一定平行故A错;

垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,故B错;一条直线 与一个平面都和同一个平面垂直时,直线可能在平面内,故C 错.由线面垂直的性质知,D正确.

5.用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下 列命题: ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c; ③若a∥γ,b∥γ,则a∥b; ④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b. 其中真命题的序号是( A.①② C.①④ ) B.②③ D.③④

[答案] C

[解析]

①平行关系的传递性.

②举反例: c,有a∥c.

在同一平面α内,a⊥b,b⊥

③举反例: γ,但a与b相交.

如图的长方体中,a∥γ,b∥

④垂直于同一平面的两直线互相平行. 故①,④正确.

6.平面α⊥平面β,α∩β=l,n?β,n⊥l,直线m⊥α,则 直线m与n的位置关系是________.

[答案]

平行
∵α⊥β,α∩β=l,n?β,n⊥l,

[解析]

∴n⊥α.又m⊥α,∴m∥n.

7.如下图所示,已知:α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥ l,BC?β,BC⊥DE.求证:AC⊥DE.

[解析]

∵α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥l

∴AB⊥β,又DE?β,∴AB⊥DE ∵DE⊥BC,∴DE⊥平面ABC ∴DE⊥AC

8.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩 形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:平面SCD⊥平面SBC.

[分析]

转化为证明BC⊥平面SCD.

[证明]

∵底面ABCD是矩形,∴BC⊥CD.

又平面SDC⊥平面ABCD, 平面SDC∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD, ∴BC⊥平面SCD. 又∵BC?平面SBC, ∴平面SCD⊥平面SBC.

[点评]

若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面

面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面 面垂直的性质定理,注意三点:①两个平面垂直是前提条 件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们 的交线.


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