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2011广东省普通高中数学水平测试真题及答案


秘密★启用前

2011 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数 学
本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡 指定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改

动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 本次考试不允许使用计算器. 5. 考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ?1,2? , B ? ??1,0,1 ? , 则 A ? B 等于 ( A . ?1? 2. cos120 的值是( A. ?
?

) D. ?

B.

??1,0, 2?


C.

??1,0,1, 2?
1 2

3 2
2

B. ?

1 2

C.

D.

3 2

3. 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是( A. C.

) B. D.

? ?3,1?

? ?1, 3?

? ??, ?1? ? ?3, ???

? ??, ?3? ? ?1, ???


4. 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0, l2 : ax ? 4 y ? 1 ? 0 , 若 l1 // l2 , 则 a 的值为( A. 8 B. 2 C.

?

1 2

D. ?2

5. 函数 y ? sin 2 x 是( ) A . 最小正周期为 2? 的偶函数 C. 最小正周期为 ? 的偶函数

B. 最小正周期为 2? 的奇函数 D. 最小正周期为 ? 的奇函数

数学学业水平测试 第 1 页 (共 11 页)

6. 在等比数列 ?an ? 中, 若 a3a6 ? 9, a2 a4 a5 ? 27 , 则 a2 的值为( A. 2 B.



3

C. 4

D.

9


? y ? 1, ? 7. 如果实数 x 、 y 满足条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为( ? x ? y ? 1 ? 0. ?
A. 1 C. 2

5 3 D. 3
B.

4

4

8. 已知某几何体的三视图如图 1 所示, 其中俯视图 是腰长为 2 的等腰梯形, 则该几何体的体积为( ) A. 4 3 C. 12 3 B. D.

4 正视图 4

3

侧视图

8 3
24 3

9. 已知向量 a ? ?1, n ? , b ? ? n, 1? , 其中 n ? ?1 , 则下列 结论中正确的是( A. ) B. D.

俯视图 图1

? a ? b? // ? a ? b?

C. (a ? b) ? (a ? b) 10. 已知函数 f ? x ? ? A. x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) C. x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 )

? a ? b? // b ? a ? b? ? b
) B. x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) D. x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 )

2 x ? x 2 ? 1 , 则对任意实数 x1 、 x2 ,且 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 都有(

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 函数 y ? ln ? 2x ?1? 的定义域是 . .

12. 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 点 ?1, ? 2, 3? 关于原点 O 的对称点的坐标为

13. 某公司生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为 2 : 3 : 4 ,为了检验该公 司的产品质量, 用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本, 样本中 A 种型号的轿车比 B 种 型号的轿车少 8 辆,那么 n ? . 14. 已知函数 y ? a 上, 则
1? x

(a ? 0 且a ? 1) 的图象恒过点 A . 若点 A 在直线mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0)
.

1 2 ? 的最小值为 m n

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 数学学业水平测试 第 2 页 (共 11 页)

12 名篮球运动员在某次篮球比赛 15. (本小题满分 12 分)编号分别为 A 1, A 2, A 3 ,?, A 12 的
中的得分记录如下: 运动员编号 得分

A1
5

A2
10

A3
12

A4
16

A5
8

A6
21

A7
27

A8
15

A9
6

A10
22

A11
18

A12
29

(1)完成如下的频率分布表: 得分区间 频数 频率

?0,10?

3

1 4

?10,20?
?20,30?
合计

12

1.00

(2)从得分在区间 ?10, 20? 内的运动员中随机抽取 2 人 , 求这 2 人得分之和大于 25 的概率. 16.(本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知

a ? 3, b ? 2, cos A ?

1 . 3

(1)求 sin B 的值; (2)求 c 的值. 17.(本小题满分 14 分)如图 2,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? 5, BC ? 4, AC ? 3 ,点 D 是 线段 PB 的中点,平面 PAC ? 平面 ABC . (1)在线段 AB 上是否存在点 E , 使得 DE // 平面 PAC ? 若存在, 指出点 E 的位置, 并 加以证明;若不存在, 请说明理由; (2)求证: PA ? BC .

P

·
C
A
图2

D

B

数学学业水平测试 第 3 页 (共 11 页)

18. (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a3 ? 10 , S4 ? 24 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 Tn ?

3 1 1 1 ? ? ? ? ,求证: Tn ? . 4 S1 S2 Sn

19. (本小题满分 14 分)已知圆 C 的圆心坐标为 ?1, 2 ? , 直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与圆 C 相交于

M 、 N 两点, MN ? 2 .
(1)求圆 C 的方程; (2)若 t ? 1 , 过点 A ? t ,0 ? 作圆 C 的切线, 切点为 B ,记 d1 ? AB , 点 A 到直线 l 的距离 为 d2 , 求

d1 ? 1 的取值范围. d2

20. (本小题满分 14 分)已知

1 ? a ? 1 , 若函数 f ? x ? ? ax2 ? 2x 在 ?1, 3? 上的最大值为 3

M ? a ? ,最小值为 N ? a ? , 令 g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? .
(1)求 g ? a ? 的表达式; (2)若关于 a 的方程 g ? a ? ? t ? 0 有解, 求实数 t 的取值范围.

数学学业水平测试 第 4 页 (共 11 页)

2011 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题号 答案

1 A

2 B

3 B

4 A

5 D

6 B

7 D

8 C

9 C

10 A

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

12.

? ?1, 2, ?3?

13.

72

14. 3 ? 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.本小题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据处理能力.满分 12 分. (1) 解:频率分布表: 得分区间 频数 频率

?0,10?

3

?10,20?
?20,30?
合计

5
4 12

1 4 5 12 1 3 1.00
???4 分

(2)解: 得分在区间 ?10,20? 内的运动员的编号为 A2 , A3 , A4 , A8 , A11 .从中随机抽取 2 人,所有 可能的抽取结果有: ? A2 , A3? ,

? A2 , A4 ? , ? A2 , A8 ? , ? A2 , A11? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A8 ? , ? A3 , A11? ,
???7 分

? A4 , A8 ? , ? A4 , A11? , ? A8 , A11? ,共10 种.

“从得分在区间 ?10,20? 内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 25 ”(记为事件

B )的所有可能结果有: ? A2 , A4 ? , ? A2 , A11? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A8 ? , ? A3 , A11? , ? A4 , A8 ? ,

? A4 , A11? , ? A8 , A11? ,共 8 种.
所以 P ? B ? ?

???10 分

8 ? 0.8 . 10
数学学业水平测试 第 5 页 (共 11 页)

答: 从得分在区间 ?10,20? 内的运动员中随机抽取 2 人, 这 2 人得分之和大于 25 的概率为

0.8 .

???12 分

16.本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力.满分 12 分. (1)解:∵ 0 ? A ? ? , cos A ? ∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

1 , 3
???2 分

2 2 . 3

由正弦定理得:

a b ? , sin A sin B

???4 分

∴ sin B ?

b sin A ? a

2?

2 2 3 ?4 2. 3 9
1 , 3

???6 分

(2)解:∵ a ? 3, b ? 2, cos A ?



b2 ? c2 ? a 2 1 ? . 2bc 3

???8 分



22 ? c 2 ? 32 1 ? , 2 ? 2c 3
???12 分

解得 c ? 3 .

17.本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识,考查空间想象能力、推理论证能 力和运算求解能力.满分 14 分. (1)解:在线段 AB 上存在点 E , 使得 DE // 平面 PAC , 点 E 是线段 AB 的中点. ?2 分 下面证明 DE // 平面 PAC : 取线段 AB 的中点 E , 连接 DE , ???3 分 P ∵点 D 是线段 PB 的中点, ∴ DE 是△ PAB 的中位线. ???4 分 D ∴ DE // PA . ???6 分 ∵ PA ? 平面 PAC , DE ? 平面 PAC , ∴ DE // 平面 PAC . ???8 分 C (2)证明:∵ AB ? 5, BC ? 4, AC ? 3 ,

B

A

E

数学学业水平测试 第 6 页 (共 11 页)

∴ AB ? BC ? AC .
2 2 2

∴ AC ? BC . ???10 分 ∵平面 PAC ? 平面 ABC ,且平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , BC ? 平面 ABC , ∴ BC ? 平面 PAC . ∵ PA ? 平面 PAC , ∴ PA ? BC . ???12 分 ???14 分

18.本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理 论证能力.满分 14 分. (1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d , ∵ a1 ? a3 ? 10 , S4 ? 24 ,

?2a1 ? 2d ? 10, ? ∴? 4?3 4a1 ? d ? 24. ? ? 2
解得 a1 ? 3 , d ? 2 . ∴ an ? 3 ? 2 ? ? n ?1? ? 2n ?1. (2)证明:由(1)得 Sn ?

???2 分

???4 分 ???6 分

n ? a1 ? an ? n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? n ? n ? 2? , 2 2

???8 分

∴ Tn ?

1 1 1 ? ??? S1 S2 Sn

?

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ? n ? 2?

?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??
???10 分

1? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ?

数学学业水平测试 第 7 页 (共 11 页)

?
?

3 1? 1 1 ? ? ? ? ? 4 2 ? n ?1 n ? 2 ?
3 . 4

???12 分

???14 分

(本资料由广州市中数网:maths.guangztr.edu.cn/和数学驿站:www.maths168.com 首发) 19.本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识,考查运算求解能力及推理论证 能力.满分 14 分. (1)解: 设圆 C 的半径为 r ,圆 C 的圆心 ?1, 2 ? 到直线 l 的距离 d ?

1 ? 2 ?1 12 ? 12

? 2.
???2 分

∵ MN ? 2 , ∴ 2 r2 ? d 2 ? 2. ∴ 2 r ?
2

???3 分 ???4 分 ???5 分
2 2

? 2?

2

?2.

解得 r ? 3 . ∴ 所求的圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 3 . (2) 解:∵圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 3 的圆心 C ?1, 2 ? ,半径 r ?
2 2

???6 分

3,
2

∴ d1 ? AB ?

AC ? r 2 ?

2

? t ? 1? ? ? 0 ? 2 ?
2

2

?

? 3?

2

?

? t ? 1?

?1 .
???8 分

又点 A ? t ,0 ? 到直线 l 的距离 d2 ?

t ? 0 ?1 12 ? 12

?
2

t ?1 2

.

???9 分

d ?1 ? ∴ 1 d2

? t ? 1?

2

?1 ?1

t ?1 2

? 2?

? t ? 1?

?1 ?1

t ?1

.

???10 分



? t ? 1?

2

? 1 ? m ,则 t ? 1 ? m 2 ? 1 ,

???11 分

∵ t ? 1 ,∴ m ? 1 . ∴

d1 ? 1 m ?1 2 m ?1 . ? 2? ? 2? 1? ? 2? m ?1 m ?1 d2 m2 ? 1
数学学业水平测试 第 8 页 (共 11 页)

???12 分

∵ m ? 1, ∴ m ? 1 ? 2 .

2 ? 1. m ?1 2 ? 1. ∴ 0 ? 1? m ?1
∴0 ? ∴0 ?

???13 分

2? 1 ?

2 ? 2. m ?1



d1 ? 1 的取值范围是 0, 2 . d2

?

?

???14 分

(本资料由广州市中数网:maths.guangztr.edu.cn/和数学驿站:www.maths168.com 首发) 20.本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识,考查运算求解能力,以及分类讨 论的数学思想方法.满分 14 分.

1? 1 ? (1) 解: f ? x ? ? ax ? 2x ? a ? x ? ? ? . a? a ?
2

2

???1 分

1 ? a ? 1, 3 1 ∴1 ? ? 3 . a 1 1 1 ① 当 1 ? ? 2 , 即 ? a ? 1 时 , 则 x ? 3 时 , 函数 f ? x ? 取得最大值 ; x ? 时 , 函数 a 2 a


f ? x ? 取得最小值.
∴ M ? a ? ? f ?3? ? 9a ? 6 , N ? a ? ? f ? ∴ g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? ? 9a ? ② 当2 ?

1 ?1? ??? . a ?a?
???3 分

1 ?6. a

1 1 1 1 ? 3 , 即 ? a ? 时 , 则 x ? 1 时 , 函数 f ? x ? 取得最大值 ; x ? 时 , 函数 a 3 2 a

f ? x ? 取得最小值.
∴ M ? a ? ? f ?1? ? a ? 2 , N ? a ? ? f ? ∴ g ? a? ? M ? a? ? N ? a? ? a ?

1 ?1? ??? . a ?a?
???5 分

1 ?2. a

数学学业水平测试 第 9 页 (共 11 页)

1 1 1 ? a ? ? 2, ?a? , ? ? a 3 2 综上,得 g ? a ? ? ? ?9a ? 1 ? 6, 1 ? a ? 1. ? a 2 ?
(2)解:任取 a1 , a2 ? ? ,

???6 分

?1 1 ? ? ,且 a1 ? a2 , ?3 2 ?

? ? ? ? 1 1 g ? a1 ? ? g ? a2 ? ? ? a1 ? ? 2 ? ? ? a2 ? ? 2 ? a1 a2 ? ? ? ?
?

? a1 ? a2 ?? a1a2 ?1? .
a1a2

???7 分

∵ a1 , a2 ? ? ,

?1 1 ? ? ,且 a1 ? a2 , ?3 2 ?

∴ a1 ? a2 ? 0, a1a2 ? 0, a1a2 ?1 ? 0 . ∴

? a1 ? a2 ?? a1a2 ? 1?
a1a2

? 0 ,即 g ? a1 ? ? g ? a2 ? ? 0 .

∴ g ? a1 ? ? g ? a2 ? . ∴函数 g ? a ? 在 ? ,

?1 1 ? ? 上单调递减. ?3 2 ?

???8 分

任取 a3 , a4 ? ? ,1? ,且 a3 ? a4 , ?2 ?

?1 ?

? ? ? ? 1 1 g ? a3 ? ? g ? a4 ? ? ? 9a3 ? ? 6 ? ? ? 9a4 ? ? 6 ? a3 a4 ? ? ? ?
?

? a3 ? a4 ?? 9a3 a4 ? 1? .
a3 a4

???9 分

∵ a3 , a4 ? ? ,1? ,且 a3 ? a4 , ?2 ? ∴ a3 ? a4 ? 0, a3 a4 ? 0,9a3 a4 ? 1 ? 0 . 数学学业水平测试 第 10 页 (共 11 页)

?1 ?



? a3 ? a4 ?? 9a3 a4 ? 1?
a3 a4

? 0 ,即 g ? a3 ? ? g ? a4 ? ? 0 .

∴ g ? a3 ? ? g ? a4 ? . ∴函数 g ? a ? 在 ? ,1? 上单调递增.

?1 ? ?2 ?

???10 分

当a ?

1 ?1? 1 时, g ? a ? 取得最小值,其值为 g ? ? ? , 2 ?2? 2 4 , g ?1? ? 4 . 3

???11 分

又g? ? ?

?1? ?3?

∴函数 g ? a ? 的值域为 ? , 4 ? . 2 ∵关于 a 的方程 g ? a ? ? t ? 0 有解等价于 t ? g ? a ? 有解, ∴实数 t 的取值范围为函数 g ? a ? 的值域. ∴实数 t 的取值范围为 ? , 4 ? . 2

?1 ?

? ?

???12 分

???13 分

?1 ?

? ?

???14 分

数学学业水平测试 第 11 页 (共 11 页)


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