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山东省临沂市某中学2016届高三上学期开学摸底考试数学(文)试题


2015-2016 学年上期第一次摸底考试

高三数学(文)试题
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求。 )

-x ,集合 N= y |

y=e x , x ? R (e 是自然对数的底数) 1.已知集合 M= x | y= 1 ,则
M∩N =
A. ?x | 0<x≤ 1? B.

?

?

?

?

?x | 0<x<1?

C. ? x | x> 1?

D. ?

2.己知 a ? R ,则“ a = ? 1”是“ a2-+ 1 (a- 1) i 为纯虚数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3.若 sin a tan a>0 ,且 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

cos a <0 ,则角 α 是 tan a
C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 4.下列命题中正确的是
2

1<0 ”的否定是“ ?x ? R ,均有 x ? 1>0 ”; A.命题“ ?x ? R ,使得 x -
2

B.命题“若 cos x= cos y ,则 x=y”的逆否命题是真命题:
2 2 C.命题“若 x=3,则 x -2 x-3=0 ”的否命题是“若 x ? 3 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”;

D.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题.
1 5.设 a=40.1, b=log4 0.1, c= ,则 0.40.

A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a 6.一个几何体的三视图如图所示,其侧视图 是等边三角形,则该几何体的体积等于 A. 4 3 C. 2 3 B. 3 3 D. 3
?

7.若向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a = 1, b =2 , C=a +b,则有 A .c ? b B.c ? a C.c∥b D.c∥a 8.执行如图所示的程序框图,若输出的 n=5,则输入整

数 p 的最大值是 A.7 C.15

B.8 D.16

9.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y 2 ? 4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若 PF =4 ,则 ? POF 的面积为 A. 2 C.2 B. 3 D. 3

10.己知函数 f ( x) ? x2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的 切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,若数列 ? A.

? 1 ? ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2014 的值为 ? f (n) ?

2014 2015

B.

2012 2013

C.

2013 2014

D.

2015 2016

11.己知 e 是自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x- 2 的零点为 b,则下列不等式中成立的 A. f (1)<f (a)<f (b) C. f (a)<f (1)<f (b) B. f (a)<f (b)<f (1) D. f (b)<f (1)<f (a)

+ 2 =- ) f (x ) 12 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x , 当 x ? ?- 1, 3 ? 时,
2 ? x ? 1-x ,x ? ?- 1,?1 ,其中 t>0,若方程 f ( x) ? 恰有 3 个不同的实数根, f ( x)=? 3 ? ?t (1- x-2 ), x ? ?1,3?

则 f 的取值范围为 A. (0, )

4 3

B. ( , 2)

2 3

C. ( ,3)

4 3

D. ( , ??)

2 3

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

? x+y≥1 ? 2 2 13.已知实数 x,y 满足 ? x-y≥-1 ,则 z=x +y 的最小值是__________ ? 2 x-y≤2 ?
14.若直线 y=kx-1 与圆 x ? y = 1 相交于 P、Q 两点,且 ? POQ =120 (其中 O 为原
2 2
?

点) ,则 k 的值为______________. 15.定义行列式运算

a1 a2 b1 b2

=a1b2-a2b1 ,将函数 f ( x)=

3 sin 2 x 的图象向左平移 cos 2 x 1

t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 t 的最小值为___________. 16.在 ? ABC 中, ?A ? 60? , BC ? 10 ,D 是 AB 边上的一点, CD ? 积为 1,则 AC 边的长为______________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x(? 0) , f ( x ) 的图象的两条相 邻对称轴间的距离等于

2 ,△ CBD 的面

? , 在 ? ABC 中, 角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c, 若a ? 3 , 2

1 ,求 ? ABC 的面积. b+c=3, f ( A)=
18. (本小题满分 12 分) 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到 这 M 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图如下:

(Ⅰ)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (Ⅱ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一 人参加社区服务次数在区间 ? 20,25? 内的概率 19. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,D,E 分别是 AB, BB1 的 中点 (Ⅰ)证明: BC1∥ACD ; 1 (Ⅱ)设 AA =AC=CB=2, AB=2 2 ,求三棱锥 D ? ACE 1 1 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1=2, an?1-an= 3 ? 22n?1 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn=nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 21. (本小题满分 12 分) 己知函数 f ( x)=

a ( x ? 1) ,其中 a>0 x2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若直线 x-y-l=0 是曲线 y= f ( x ) 的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 g ( x)=x ln x-x 2 f ( x) ,求 g(x)在区间 ?1, e? 上的最大值(其中 e 为自然对数的 底数)

【选做题】 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 在 ? ABC 中,D 是 AB 边上一点, ? ACD 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2BE (Ⅰ)求证:BC= 2BD; (Ⅱ)若 CD 平分 ? ACB,且 AC=2,EC=1,求 BD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 己知圆 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴 y ? sin ? ?

为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos(? ?

?
4

).

(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1 , C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数, f ( x)= x ? a (Ⅰ)当 a=2,解不等式, f ( x)≥5- x- 1;

1 的解集为 ?0,2? , (Ⅱ)若 f ( x)≤

1 1 + =a (m>0, n>0) ,求证: m+2n≥4 . m 2n

2015-2016 学年上期第一次摸底考试

高三数学(文)试题
(参考答案) 一.选择题.ABDCC

DBCBA
14. ? 3

CB
15.

二.填空题.13. 三.解答题. 17.解:

1 2

? 6

16.

2 3 3

π f ( x) ? cos 2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin(2? x ? ), 6
………………3 分

?? ? 0, ∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ?
由题意得:

2π π ? , 2? ?

T π π = ,即 T ? =π, 解得: ? =1 ………………5 分 2 2 ? π ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , 6 ? π 1 π π 13π ? 5? ), ? 2 A ? ? ? f ( A) ? 1 ,? sin(2 A ? ) ? ,? 2 A ? ? ( , ,即 A = . 3 6 2 6 6 6 6 6
………………7 分

? a ? 3, ∴由余弦定理得: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 即 b2 ? c2 ? bc ? 3

①,

………………9 分

?b ? c ? 3,?(b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 9
则 S△ABC ?

②,联立①②,解得: bc ? 2 ,

1 3 bc sin A ? . 2 2

………………12 分

10 ? 0.25 ,所以 M ? 40 M ………………2 分 3 3 因为频数之和为 40 ,所以 10 ? 25 ? m ? 2 ? 40 , m ? 3 . p ? . ………………4 分 ? M 40 25 因为 a 是对应分组 [15,20) 的频率与组距的商,所以 a ? ………………6 分 ? 0.125 40 ? 5 (Ⅱ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 3 ? 2 ? 5 人, 为 设在区间 [20, 25) 内的人为 ?a1, a2 , a3 ,? ,在区间 [25,30) 内的人
18.解: (Ⅰ)由分组 [10,15) 内的频数是 10 ,频率是 0.25 知,

?b1, b2? .

则任选 2 人共有

(a1 , a2 ),(a1 , a3 ),(a1 , b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(b1, b2 ) 10 种情

况, 而两人都在 [20, 25) 内共有 (a1 , a2 ),(a1 , a3 ),(a2 , a3 ) 3 种, 至多一人参加社区服务次数在区间 [20, 25) 内的概率 p ? 1 ? 19.(Ⅰ)连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点, 又 D 是 AB 的中点,连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF ? 平面 A1CD, BC1 ? 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD (Ⅱ)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥平面 ABC, 因为 CD ? 平面 ABC, 所以 AA1⊥CD, ………………6 分

………………8 分 ………………10 分

3 7 ? . 10 10

………………12 分

………………2 分 ………………4 分 ………………5 分

由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB,………………7 分 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1, 由 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 得 ∠ACB=90° ,CD= 2 ,A1D= 6 ,DE= 3 ,A1E=3, ………………8 分

故 A1D2+DE2=A1E2,DE⊥A1D, 所以 VD ? A1CE ? VC ? A1DE ?

1 1 ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1. 3 2

………………12 分

20.解: (1)由已知 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3? 22n?1 得,

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?(a2 ? a1 ) ? a1
2 n? 3 n 2? 5 ?3( 2 ? 2 ???

………………2 分 ………………4 分

2 ?)

2

2 ? 2 2 n ?3 ? 4 ? 3? ? 2 ? 22 n ?1 1? 4

………………6 分

(Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1 .① 从而 22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ?? n ? 22n?1 .② ①-②得

(1 ? 22 ) Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? n ? 22 n ?1 =

2 ? 22 n ?1 ? 4 ? n ? 22 n ?1 . 1? 4
………………10 分

1 [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] . ………………12 分 9 a(2 ? x) 21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? , (x ? 0) , ………………1 分 x3 在区间 ( ??, 0) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x ) 的单调递减区间是 ( ??, 0) 和 (2, ??) ,单调递增区间是 (0, 2) .……………3 分 a ( x0 ? 1) ? ? y0 ? x 2 0 ? ? (Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ? a (2 ? x ) 0 ? ?1 3 x ? 0 ? 解得 x0 ? 1 ,a ? 1 . ………………6 分 (Ⅲ) g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) ,则 g ?( x) ? ln x ? 1? a , ………………7
即 Sn ? 分 解 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e 当e
a ?1 a ?1

, ………………8 分 ………………9 分

? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数, 所以 g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae . a ?1 当 e ? e ,即 a ? 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数, 所以 g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 .
当1 < e
a ?1

< e ,即 1 ? a ? 2 时, g ( x) 的最大值为 g (e) 和 g (1) 中较大者; e g (e) ? g (1) ? a ? e ? ae ? 0 ,解得 a ? , e ?1

所以, 1 ? a ?

e 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , e ?1

e ? a ? 2 时, g ( x) 最大值为 g (1) ? 0 . ………………11 分 e ?1 e 综上所述,当 0 ? a ? 时, g ( x) 最大值为 g (e) ? e ? a ? ae , e ?1 e 当a ? 时, g ( x) 的最大值为 g (1) ? 0 . ………………12 分 e ?1 22. (I)根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC …………2 分 因为 AB ? 2 BE ,所以 BC ? 2 BD ………………4 分 BE BD ? (II)由 BD ? BA ? BE ? BC 得 A , AB BC BE ED ? ,………6 分 又 ?DBE ? ?CBA ? ?DBE ∽ ?CBA ,知 AB AC D C 又 AB ? 2 BE ,∴ AC ? 2 DE , ∵ AC ? 2 ,∴ DE ? 1 , E 而 CD 是 ?ACB 的平分线∴ DA ? 1 , ………………8 分 B 设 BD ? x ,由 BD ? BA ? BE ? BC 1 ?1 ? 得 x ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? ,解得 x ? 1 ,即 BD ? 1 ………………10 分 2 ?2 ? ? x ? cos ? 2 2 23.(Ⅰ)由 ? 得 x ? y ? 1, ………………2 分 ? y ? sin ? ?? ? 又? ? ? 2 2 cos ? ? ? ? ? 2cos ? ? 2sin ? , ? ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? . 4? ?

? x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0, 即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2,
2 2

………………5 分

(Ⅱ)圆心距 d ?

? 0 ? 1? ? ? 0 ?1?
2

2

? 2 ? ( 2 ? 1, 2 ? 1), 得两圆相交,…………6 分
…………7 分

? x2 ? y 2 ? 1 ? 由? 2 得直线 AB 的方程为 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, 2 ? ?x ? y ? 2x ? 2 y ? 0
所以,点 O 到直线 AB 的距离为

| 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 1| 2 ? . 4 2 2

…………8 分 …………10 分

? | AB |? 2 1 ? (

2 2 14 ) ? 4 2

24.(I)由已知可得,原不等式可化为 |x ? 1| ? | x ? 2 |? 5

等价于 ?

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 或? 或? ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 5
………………5 分

解得 x ? 4 或 x ?? 或 x ? ?1 ? 原不等式的解集为 (??, ?1] ? [4, ??) (II)依题可知 | x ? a |? 1 ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ,所以 a ? 1 ,即

1 1 ? ? 1 …………7 分 m 2n

1 1 2n m ? )=2 ? ? ?4 m 2n m 2n 1 1 2n m 当且仅当 ? ,即 m ? 2, n ? 1 时取等号 ? 1, ? m 2n m 2n m ? 2n ? (m ? 2n)(

…………9 分 ………………10 分


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