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高中数学同步检测:2.1.3《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》(人教A版必修2)


2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
基 础 达 标 1.已知两条相交直线 a,b,a∥平面 α ,b 与 α 的位置关系是( A.b∥α C.b? α B.b 与 α 相交 D.b∥α 或 b 与 α 相交 )

解析:b?α ,否则 a 与 b 异面或平行. 答案:D

2.直线 a 在平面 γ 外,则( A

.a∥γ B.a 与 γ 至少有一个公共点 C.a∩γ =A D.a 与 γ 至多有一个公共点

)

解析:a 在平面 γ 外,包括两种情况:一是直线 a 与平面 γ 相交,二是直线 a 与平面 γ 平行,故 至多有一个公共点. 答案:D

3.若两个平面平行,则分别在这两个平行平面内的直线( A.平行 C.相交 B.异面 D.平行或异面

)

答案:D

4.直线与平面平行是指(

)

A.直线与平面内的无数条直线都无公共点 B.直线上两点到平面的距离相等 C.直线与平面无公共点 D.直线不在平面内

答案:C

5.若不在同一直线上的三点 A,B,C 到平面 α 的距离相等,且 A?α ,则( A.α ∥平面 ABC B.△ABC 中至少有一条边平行于 α C.△ABC 中至少有两条边平行于 α D.△ABC 中只可能有一条边与 α 相交

)

解析:由题意,△ABC 所在平面与平面 α 只可能为相交或平行的关系,若相交,则只有一边与 α 平 行;若平行,则三边与 α 均平行. 答案:B

6.直线 a∥平面 α ,直线 b∥平面 α ,则 a 与 b 的位置关系为( A.相交 C.异面 B.平行 D.平行或异面或相交

)

解析:∵a∥平面 α ,∴a 与 α 无公共点. 又∵b∥α ,∴b 与 α 也无公共点, ∴a∥b 或 a 与 b 异面或 a 与 b 相交. 答案:D

巩 固 提 升 7.已知 a,b,c 为三条不重合的直线,α ,β 为两个不重合的平面. ①a∥c,b∥c? a∥b;②a∥β ,b∥β ? a∥b; ③a∥c,c∥α ? a∥α ;④a∥β ,a∥α ? α ∥β ; ⑤a?α ,b? α ,a∥b? a∥α . 其中正确的命题是( A.①⑤ B.①② ) C.②④ D.③⑤

解析:由公理 4 知①正确;由直线与平面平行的位置关系知⑤正确.从而选 A.其中②是错误的,因

为平行于同一平面的两条直线可能平行、可能相交,也可能异面.③是错误的,因为当 a∥c,c∥α 时, 可能 a∥α ,也可能 a? α .对于④,α ,β 可能平行,也可能相交. 答案:A

8.证明:如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线和平面相交.

证明:原题可化为已知:A∈α ,A∈a,B?α ,B∈a. 求证:直线 a 与平面 α 相交. 证明:假设直线 a 和平面 α 不相交,即 a∥α 或 a? α . 假设 a∥α ,就与 A∈a,A∈α 矛盾. 假设 a? α ,就与 B∈a,B?α 矛盾. ∴假设不成立. ∴直线 a 和平面 α 相交.

9.如图 1 是一个正方体(如图 2)的表面展开图的示意图,MN 和 PQ 是两个面的对角线,请在正方体中 将 MN 和 PQ 画出来,并就这个正方体解答下列问题:

(1)求 MN 和 PQ 所成角的大小;

解析:MN 与 PQ 是异面直线,如图,

在正方体中,PQ∥NC,∠MNC 为 MN 与 PQ 所成角. ∵MN=NC=MC, ∴∠MNC=60°.

(2)求四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比.

解析:设正方体的棱长为 a,则正方体的体积 V=a . 而三棱锥 MNPQ 的体积与三棱锥 NPQM 的体积相等,且 NP⊥面 MPQ. 1 1 1 3 ∴VNPQM= × MP·MQ·NP= a , 3 2 6 即四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比为 1 : 6.

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