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2014年全国名校数学试题分类解析汇编 F单元 平面向量1


F 单元 目录

平面向量

F 单元 平面向量 ........................................................................................................................... 1 F1 平面向量的概念及其线性运算............................................................................................... 1 F2 平面向量基本定理及向量坐标运算....................................................................................... 4 F3 平面向量的数量积及应用..................................................................................................... 10 F4 单元综合 ................................................................................................................................ 22

F1

平面向量的概念及其线性运算

【数学 (理) 卷· 2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 (201408) 】

F19.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两
个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示 的正六角星是以原点 O 为中心﹐其中 x ﹐ y 分别为原点 O 到两 个顶点的向量﹒若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量﹐都写成 为 a x ? b y 的形式﹐则 a ? b 的最大值为( ) 。

A.2 B.3 C.4 D.5 【知识点】向量的表示;分类讨论. 【答案解析】D解析 :解: 因为若求 a ? b 的最大值﹐所以考虑右图中的 6 个顶点之向量即可﹒ 讨论如下﹕ (1) 若 OA ? x ﹐故 ? a, b? ? ?1,0? ﹒ (2) 若 OB ? OF ? FB ? y ? 3 x ﹐故 ? a, b? ? ?3,1? ﹒ (3) 若 OC ? OF ? FC ? y ? 2 x ﹐故 ? a, b? ? ? 2,1? ﹒ (4) 若 OD ? OF ? FE ? ED ? y ? x ? OC ? y ? x ? ? y ? 2 x ? ? 2 y ? 3 x ﹐ 故 ? a, b? ? ?3,2? ﹒ (5) 若 OE ? OF ? FE ? y ? x ﹐故 ? a, b ? ? ?1,1? ﹒

? ?

? ?

(6) 若 OF ? y ﹐故 ? a, b? ? ? 0,1? ﹒ 因此﹐ a ? b 的最大值为 3 ? 2 ? 5 ﹒故选 D﹒ 【思路点拨】根据题意分类讨论即可.

【数学文卷·2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试(201407) 】F16.设点 M 是 线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 4 , AB ? AC ? AB ? AC ,则 AM =( ) A.8 B.4 C.2 【知识点】向量的线性运算性质及几何意义.

D.1

【答案解析】C 解析 :解:由 BC ? 4 ,∵ AB ? AC ? AB ? AC = BC , 而 AB + AC = 2 AM ∴ AM ? 2,故选 C.

【思路点拨】先由 BC ? 4 ,又 AB ? AC ? AB ? AC = BC = 2 AM =4,可得答案.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F18.在 ?ABC 中, 点 P 是 BC 上的点, BP ? 2 PC , AP ? ? AB ? ? AC ,则( )

A.? ? 2,? ? 1 1 2 C.? ? ,? ? 3 3

B.? ? 1,? ? 2 2 1 D.? ? ,? ? 3 3

【知识点】向 量 的 共 线 定 理 及 运 算 法 则 ; 向 量 相 等 的 条 件 . 【答案解析】C 解析 :解:如 图 所 示 ,

2 2 BC , ∵ B C = A C- A B , \ BP = 3 3 2 1 2 AC - AB = AB + AC . ∴ AP = AB + BP = AB + 3 3 3 1 2 ∴ l = , m = . 故 选 C. 3 3
∵ BP = 2 PC ,\ BP =

(

AC -

A. B

)

(

)

【思路点拨】由 BP = 2 PC , 可 得 B P = 即可得出.

2 B C; 利 用 向 量 的 运 算 法 则 以 及 向 量 相 等 3

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F15、下列说法正 确的是( ) A.方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量是 0 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量 【知识点】平 面 向 量 的 基 本 定 义 ; 相 等 向 量 与 相 反 向 量 ; 平 行 向 量 与 共 线 向 量 . 【答案解析】 B解析 : 解: 因为方 向 相 同 或 相 反 的 非 零 向 量 叫 做 共 线 向 量 ,故 A 错 误 ; 因 为 零向量的表示方法是 0 ,故B正确; 因为方 向 相 同 , 模相等的向量是相等向量, ∴长度相等的向量不一定是相等向量, 故 C错 误 ; 因 为 方 向 相 同 或 相 反 的 非 零 向 量 叫 做 共 线 向 量 , 故 D错 误 . 【思路点拨】根 据 平 面 向 量 的 定 义 , 判 定 每 个 命 题 是 否 正 确 , 从 而 得 出 答 案 .

【 数 学 卷 · 2016 届 四 川 省 成 都 七 中 高 一 下 学 期 期 末 考 试 ( 201407 ) 】 F18. 如 果 将

OA = 琪 琪 ,
A. 琪 -

骣3 1 , 绕原点 O 逆时针方向旋转 1200 得到 OB ,则 OB 的坐标是( 桫2 2
B. 琪



骣1 3 琪 2, 2 桫

骣3 1 琪2 , - 2 桫

C.

(

- 1, 3

)

D. 琪 -

骣 3 1 琪 2 ,2 桫

【知识点】向量间的关系;点的对称性. 【答案解析】D解析 :解: 因 为 OA = 琪

骣3 1 0 所在直线的倾斜角为 30 ,绕原点 O 逆时 琪2 , 2 桫
0

针方向旋转 120 得到 OB 所在直线的倾斜角为 150 ,所以 A, B 两点关于 y 轴对称,由此可 知 B 点坐标为 琪 -

0

骣 3 1 骣 3 1 ,故 OB 的坐标是 琪 , , ,故选D. 琪 2 2 琪 2 2 桫 桫 骣3 1 0 绕原点 O 逆时针方向旋转 120 得到 OB 后可得 A, B 两点关 琪2 , 2 , 桫

【思路点拨】将 OA = 琪

于 y 轴对称,据此可得结果.

【数学卷·2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试(201407) 】F19、已知 D,E,F 分 别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( A. BD ? BE ? FC ? 0 C. AD ? CE ? CF ? 0 )

B. BD ? CF ? DF ? 0 D. AD ? BE ? CF ? 0

【知识点】利用平行四边形法则、三角形法则计算向量的和与差. 【答案解析】D解析 :解:根据题意画图如下:

A

F D

B

E

C

+ EB + CF = 因 为 BD- BE- FC= BD

ED + CF 2 =

CFA错误; ,故

因为 BD - CF + DF = BD + FC + DF = BF + FC = BC ,故B错误; 因为 AD +CE - CF = AD + CE + FC = AD + FE = 2 AD ,故C错误; 因为 AD + BE +CF = DB + BE +CF = DE +CF = 0 ,故D正确; 故 选 D. 【思路点拨】根据平行四边形法则、三角形法则依次计算每个选项的向量的和与差,然后做 出判断即可.

F2

平面向量基本定理及向量坐标运算
r r

【数学(文)卷·2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试(201408) 】F215.设
x, y ? R ,a ? ( x , 1) ,b ? (1 , y) ,c ? (2 , ?4) , 且 a ? c ,b ∥ c , 则 (a-2b ) c ? =____

r

r

r

r

r

r r

【知识点】向量的运算;向量的坐标表示. 【答案解析】?20 解析 :解:因为 a ? ( x , 1), b ? (1 , y) , c ? (2 , ?4) ,又因为 a ? c ,

r

r

r

r

r

所以 2 x ? 4 ? 0 ,即 x ? 2 ,故 a ? (2 ,1 ) ;又因为 b / / c ,所以 1? ? ?4? ? 2 y ? 0 ,即 y ? ?2 ,
(a - 2b) ?c ? ? 故 b ? (1, ?2) ,则 ?? 2,1? ? 2(1, ?2) ? ? ? ? 2, ?4 ? ? ?20 ,故答案为 ?20 .

【思路点拨】先利用 a ? c , b ∥ c 解出 x, y 的值,再进行坐标运算即可.

r

r

r

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F2F318、 (本小题 满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 2 ,

e1 =

AB AB

, e2 =

AD AD

, AB 与 AD 的夹角为

? . 3

(1)若 AC ? xe1 ? y e2 ,求 x 、 y 的值; (2)求 AC ? BD 的值; (3)求 AC 与 BD 的夹角的余弦值.

【知识点】平 面 向 量 基 本 定 理 ; 模 长 及 夹 角 ; 平 面 向 量 的 数 量 积 运 算 . 【答案解析】(1) x = 3, y = 2 (2)

p 5 133 (3) 3 133

解析 :解:( 1 ) ∵ AB ? 3 , BC ? 2 , e1 =

AB AB

, e2 =

AD AD



∴ AC = AB + BC = 3e1 + 2e2 = xe1 + ye2 , ∴ x = 3, y = 2. ( 2 ) 由 向 量 的 运 算 法 则 知 , BD = AD - AB = 2e2 - 3e1 , ∴ AC ? BD

(

2e2 + 3e1

)(

2e2 - 3e1 = 4e2 - 9e1 = - 5 .
p p , ∴ e1 与 e2 的 夹 角 为 , 又 | e1 | = | e2 | = 1 , 3 3

)

2

2

( 3 ) ∵ AB 与 AD 的 夹 角 为

∴ | AC | = | AD + AB | = | 2e2 +3e1 | =

4e2 + 9e1 +12e1 ?e2

2

2

19 ,

∴ | BD | = | AD - AB | = | 2e2 - 3e1 | =

4e2 + 9e1 - 12e1 ?e2
AC ? BD AC ×BD =

2

2

7,

设 AC 与 BD 的 夹 角 为 θ , 可 得 cosθ =

5 5 133 , =133 19 ? 7

∴ AC 与 BD 的 夹 角 的 余 弦 值 为 -

5 133 . 133

【思路点拨】 ( 1 )由 平 行 四 边 形 法 则 得 AC = AB ,而 e1 , e2 分 别 是 AB , AD + BC 方 向 上 的 单 位 向 量 ,再 结 合 数 乘 运 算 、平 面 向 量 基 本 定 理 中 的“ 唯 一 性 ”不 难 求 出 x , y; ( 2 ) 由 题 意 可 以 AB , AC 为 基 底 , 将 AC 及 BD 用 基 底 表 示 , 再 利 用 内 积 的 定 义 及 运 算 可 求 得 AC× BD 的值; ( 3) 直 接 套 用 夹 角 公 式 c o s q=

A C× B D A C× B D

计算.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F2F316、 (本小题 满分 12 分)已知 a ? (1,2), b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,

(1)k a ? b 与 a - 3b 垂直? (2)k a ? b 与 a - 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?
【知识点】 向 量 的 坐 标 运 算 ;向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ;向 量 的 坐 标 形 式 的 数 量 积 公 式 ; 向量共线的坐标形式的充要条件. 【答案解析】(1) (2) 解析 :解: ka + b =k (1, 2) + (- 3,= 2) (k - 3, 2k + 2)

a - 3b = (1, 2) - 3( - 3, 2) = (10, - 4)
( 1 ) (

ka +b

)



(

a - 3b

)





( ka + b )?( a - 3b ) =10 k - 3 - 4 k + 2 = 2k - 38 = 0 , 解 得 k = 19 . ( 2 ) ( ka + b ) ∥ ( a - 3b ) , 得 - 4 k - 3 = 1 0 k2 +

(

) (

)

(

)

(

2 k = - , 此 时 k a+ ), 3

1

b=

骣 10 4 1 =琪 - , = - (10, - 4) , 所 以 方 向 相 反 . 琪 3 桫 3 3

【思路点拨】(1)先 求 出 ka + b 与 a - 3b 的 坐 标 , ( 1) 利 用 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 : 数 量 积 为 0 , 列 出 方 程 求 出 k . ( 2) 利用向量共线的坐标形式的充要条件: 坐标交叉相乘相等, 列出方程求出 k , 将 k 代入两向量的坐标,判断出方向相反.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F210.若 ? , ? 是一 组基底,向量 ? ? x? ? y ? ( x, y ? R ), 则称 ( x, y ) 为向量 ? 在基底 ? , ? 下的坐标,现已知向 量 a 在 基 底 p ? (1,?1), q ? (2,1) 下 的 坐 标 为 (-2,2) , 则 向 量 a 在 另 一 组 基 底

m ? (?1,1), n ? (1,2) 下的坐标为(
A.(2,0) B.(0,?2)



C.(?2,0)

D.(0,2)

【知识点】平 面 向 量 的 基 本 定 理 及 其 意 义 . 【答案解析】D 解析 :解:由 条 件 可 得 a = - 2 p +2 q = -2, 2 + 4, 2 = 2, . 4 设 a = l m + mn = l - 1,1 + m 1, 2 = - l + m, l + 2m , 则 由 - l + m =2, l +2 m = 4 , 解 得 l = 0, m = 2. ∴ 向量 a 在另一组基底 m ? (?1,1), n ? (1,2) 下的坐标为 0,2 , 故 选 D. 【思路点拨】利 用 向 量 基 底 的 定 义 及 向 量 的 坐 标 运 算 求 出 a ,设 出 a 在 另 一 组 基 底 下的坐标,利用坐标运算求出 a 的坐标,列出方程求出.

(

) ( ) ( )

(

)

( ) (

)

( )

【数学卷·2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试(201407) 】F2E510.如图,在直角 梯形 ABCD 中, DA = AB = 1, BC = 2 点 P 在阴影区域(含边界)中运动,则有 PA BD 的 取值范围是( )

A. 犏 - ,1

轾1 犏 臌2

B. 犏 - 1,

轾 1 犏 臌 2

C. - 1,1

[

]

D. - 1,0

[

]

【知识点】向量的坐标表示;简单的线性规划. 【答案解析】C解析 :解:以 BC 所在的直线为 x 轴,以 BA 所在的直线为 y 轴建立坐标 系,如下图:

可得 B 0,0 , C 2,0 , A 0,1 , D 1,1 ,设 P x, y ,所以 PA BD = - x - y +1 ,令

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

z = - x - y +1 ,由几何意义可知z表示y轴上的负截距,可知过 B ( 0,0) 时有最大值1,与DC
重合时有最小值 - 1 ,故答案为 - 1,1 . 【思路点拨】建立坐标系后用坐标表示出 PA BD 后再借助于线性规划求得最值.

[

]

【数学卷·2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试(201407) 】F26.平面上 A, B, C 三 点不共线, O 是不同于 A, B, C 的任意一点,若 OB - OC

(

) ( AB + AC) = 0 ,则 DABC 的

形状是( ) A.等腰 D B.Rt D C.等腰直角 D D.等边 D 【知识点】向量的基本运算;中垂线定理. ABC ,设BC中点为E点, O 是不同于 【答案解析】A解析 :解:根据题意画出图形为 D

A, B, C 的任意一点, OB - OC

(

) ( AB + AC) = 0 ,即 CB?2 AE

0 ,所以 AE 是 BC 的中

ABC 是等腰 D ,故选A. 垂线,所以 AB = AC ,故 D

A

B

E

C

【思路点拨】画出图形后利用已知条件得到 CB?2 AE

0 ,然后再利用中垂线的性质即可.

【数学卷·2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试(201407) 】F22.已知 A,B,C 是 直线 l 上三点,M 是直线 l 外一点,若 MA = xMB + yMC, 则 x , y 满足的关系是( A. x + y 0 B. x + y >1 C. x + y < 1 D. x + y = 1 )

【知识点】向量共线的基本定理. 【答案解析】D解析 :解:因为 A,B,C是直线 l 上三点,所以A,B,C三点共线,则有

AB = k BC ,又因为 AB = MB - MA, BC = MC - MB ,由以上三个式子联立可以得到:
MB - MA = k MC - MB ,整理可得 MA = (1 + k ) MB +( - k ) MC ,而已知条件当中有

(

)

MA = xMB + yMC, 由此可得 x = 1 + k , y = - k ,故 x + y = 1 ,故选D.
【思路点拨】先借助于A,B,C三点共线,则有 AB = k BC ,然后用 k 表示出 MA 进而比 较可得 x + y = 1 .

【 数 学 卷 · 2016 届 四 川 省 成 都 七 中 高 一 下 学 期 期 末 考 试 ( 201407 ) 】 F21. 已 知

骣 1 琪 ca a = ( 1, s i a n ) b, = 琪 os , 且a , / / b ,则锐角 a 等于( 2 桫
0 A. 30 0 B. 45 0 C. 65

).

0 D. 75

【知识点】向 量 共 线 定 理 的 坐 标 运 算 . 【答案解析】B 解析 :解:∵ a / / b , ∴ 1? ∵ a 是 锐 角 , ∴ 2a ?
0 0

1 2
0

sin a c oa s=
0

0 , 化 为 sin2α = 1 . ,

180 ) . ∴ 2a = 9 0 , 解 得 a = 45 . 故 选 : B. (0 ,

【思路点拨】利 用 向 量 共 线 定 理 的 坐 标 运 算 即 可 得 出 .

F3

平面向量的数量积及应用

【数学(文)卷·2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408) 】F3C214.在△ABC → → 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC= 【知识点】向 量 的 数 量 积 ; 余 弦 定 理 的 运 用 . → → 【答案解析】 3 解析 :解:设 AB, BC 的夹角为 θ , BC = a , ∵ AB=2,AB· BC=1,
2 a coq s ,∴ a = 3, ∴ a = 3 , ∴ 2acosq = 1 ,又 由 余 弦 定 理 可 得 : 9 = 4+ a + 4



2

故答案为:

3

【思路点拨】利 用 向 量 的 数 量 积 , 及 余 弦 定 理 , 即 可 求 得 BC 的 值 .

【数学理卷·2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试(201405) 】F39. 在 ?ABC 中,

?BAC ? 60o , AB ? 2, AC ? 1, E , F 为边 BC 的三等分点,则 AE ? AF ?
( A. )

5 3

B.

5 4

C.

10 9

D.

15 8

【知识点】向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 【答案解析】A 解析 :解: ∵在 ?ABC 中, ? BAC ∴根据余弦定理可知 BC = 3 由 AB = 2, AC = 1 , BC = 3 满足勾股定理可知 ? BCA

60o , AB = 2, AC = 1,

90

以 C 为坐标原点,CA、CB 方向为 x,y 轴正方向建立坐标系 ∵ AC = 1,BC = 3 ,则 C(0,0) ,A(1,0) ,B(0, 又∵E,F 分别是 Rt△ABC 中 BC 上的两个三等分点, )

则 E(0,

2 3 3 ) ,F(0, )则 3 3

=(﹣1,

2 3 ) , 3

=(﹣1,

3 ) 3

∴ AE ? AF ? 1 +

2 5 = ,故选A. 3 3
, 向量的坐标,代

【思路点拨】先判定三角形形状,然后建立直角坐标系,分别求出 入向量数量积的运算公式,即可求出答案.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试(201407) 】F3C318. (本小题满 分 12 分) 已知向量 a ? (sin x, sin x) , b ? (cosx, sin x)(x ? R) ,若函数 f ( x) ? a ? b . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 x ? [0,

?
2

] ,求 f ( x) 的最大值及相应的 x 值;

(3)若 x ? [0, ? ] ,求 f ( x) 的单调递减区间. 【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 ; 正 弦 函 数 的 单 调 性 . 【答案解析】(1) p ( 2 )

2 +1 3p 7p , ] ( 3) [ 8 8 2
1 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

2 解析 :解: f ( x) ? a ? b ? sin x cos x ? sin x ?

= (1)

2 ? 1 (sin 2 x ? ) ? 2 4 2
f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 p ;

, ]时 , 2x ( 2) 当 x ? [ 0 sin(2x -

p 2

p p 3p p p 3p ? [ , ], ∴ 当 2x - = , 即 x= 时, 8 4 4 4 4 2

p )=1 , f ( x) 取 得 最 大 值 4

2 +1 ; 2

p p 7p ? [ , ], 4 4 4 p 3p kp ]k ( Z 上 ) 单调递减, 由 y = sinx 的 图 象 知 , 在 区 间 [ + 2kp , + 2 2 2 3p 7p p 7p p 3p p 3p ] k ? Z) [ , ] , 解 得 x ? [ , ] . 而 [- , ] [ + 2kp , + 2kp( 8 8 4 4 2 2 2 2 3p 7p , ]. ∴ f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 [ 8 8
( 3) 当 x ? [ 0 ,p ]时 , 2x 【思路点拨】( 1 ) 根 据 向 量 的 数 量 积 和 三 角 函 数 的 恒 等 变 形 即 可 化 为

f ( x) =

2 p 1 sin(2x - ) + , 再 根 据 求 周 期 的 公 式 即 可 求 出 ; 2 4 2
p p 的 范 围 ,求 出 使 sin(2x - ) 取 得 最 大 值 的 x 的 4 4

( 2 )根 据 x 的 取 值 范 围 求 出 2x -

值 , 即 使 函 数 f ( x) 取 得 最 大 值 的 x 的 值 ; ( 3) 根 据 函 数 y = s i n x 的图象知,在区间 [ 只 要 把 f ( x ) 中 的 2x -

p 3p + 2kp , + 2 kp ]k ( 2 2

Z 上 ) 单调递减,

p 看做一个整体求出即可. 4

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试(201407) 】A2F311. 下列命题正 确的个数是 ( )
2 ①命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 3x0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 3x ”;

②函数 f ( x) ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? 错误!未找到引用源。”是“ a ? 1 ”的必要 不充分条件;
2 ③ x ? 2 x ? ax 在 x ??1, 2? 上恒成立 ? ( x 2 ? 2x)min ? (ax)max 在 x ??1, 2? 上恒成立;

④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a ? b ? 0 ”. A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 ; 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 . 【答案解析】B 解析 :解:( 1 ) 根 据 特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 , ∴ ( 1 ) 正 确 ; ( 2 ) f ( x ) =cos2ax , 最 小 正 周 期 是

2p = p ? a= ± 1 , ∴ ( 2 ) 正 确 ; 2a
2

2 ( 3 )例 a=2 时 , x ? 2 x ? a x在 x ??1, 2? 上 恒 成 立 ,而 (x + 2x) 2xmax = 4 , min = 3<

∴ ( 3) 不 正 确 ; ( 4 ) ∵ a ? b | a | | b | cos <

>, a,b <

> a,b = p 时 a ×b<0 , ∴ ( 4 ) 错 误 .

故选 B 【思路点拨】( 1 ) 根 据 特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 来 判 断 是 否 正 确 ; ( 2) 化 简 三 角 函 数 , 利 用 三 角 函 数 的 最 小 正 周 期 判 断 ; ( 3) 用 特 例 法 验 证 ( 3) 是 否 正 确 ; ( 4) 根 据 向 量 夹 角 为 π 时 , 向 量 的 数 量 积 小 于 0, 来 判 断 ( 4) 是 否 正 确 .

【数学文卷·2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试(201407) 】F3H1H820.设

F1 , F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左,右焦点. 4
5 ,求 P 点坐标;(5 分) 4

(1)若 P 是椭圆在第一象限上一点,且 PF1 ? PF2

(2)设过定点(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同两点 A, B ,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为 原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.(7 分) 【知识点】平面向量数量积的运算;直线的斜率;直线与圆锥曲线的综合问题.

? ? ? 3? 3? ?; ??? 3, ? (2) ? ? 2, ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? 解析 :解:(1)由已知 F1 ? 3 ,0 , F2 3 ,0
【答案解析】(1) ? 1,

? ? 设 P ? x , y ? , x , ? 0, y , ? 0 , PF ? ??
0 0 0 0
1

? ? ?

?

?

3 ? x 0 ,? y 0 , PF2 ?

?

?

3 ? x 0 ,? y 0

?

2分

PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x 0 x0 ? y0 ? 3 ?
2 2

?

??

3 ? x0 ? y0 ? ?

?

2

5 4

4分

2

2

5 ?0 4



x0 ? 1 ?
∴ P ? 1,

x0 7 3 2 3 3 ? ? 0 ? x 0 ? , x 0 ? 0 ? x 0 ? 1, y 0 ? 4 4 4 4 2
5分

? ? ?

3? ? 2 ? ?

(2)直线 l 的方程为: y ? kx ? 2 联立 ?

?x2 ? 4y2 ? 4 ? 1 ? 4k 2 x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 y ? kx ? 2 ?

?

?

7分

? ? ?16k ? ? 4 ? 12 ? 1 ? 4k 2 ? 0 ? k 2 ?
2

?

?

3 4

?AOB 为锐角等价于 OA ? OB ? 0
设 A? x 1 , y1 ?, B ? x 2 , y 2 ? , OA?OB

x1x2 + y1 y2 = x1x2 +( kx1 + 2)( kx2 + 2)
骣- 16k 12 + 2k 琪 +4 > 0 琪 2 1 + 4k 1 + 4k 2 桫

= 1 + k 2 x1 x2 + 2k ( x1 + x2 ) + 4 = (1 + k 2 )

(

)

? k 2 ? 4 ,综上

3 ? k2 ? 4 4

11 分

?2?k ??

? ? ? 3 3 3? ? ? ? 3 ,2 ? 或 ? k ? 2 ? k ?? ? 2 , ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? 2 ?

【思路点拨】(Ⅰ)求出椭圆的 a,b,c,P 是第一象限内该椭圆上的一点设为 P x 0 , y 0 , 利用 PF1 ? PF2

?

?

-

5 ,以及 P 在椭圆上,求点 P 的坐标; 4

(Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l方程为y=kx+2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,与椭圆联立,

D >0 且∠AOB为锐角 注意到交于不同的两点A、 B, (其中O为作标原点) , 就是 OA ? OB ? 0
利用韦达定理,代入化简,求直线l的斜率k的取值范围.

【数学文卷· 2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试( 201407 )】 F310 .在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有两个动点 P , Q . E ?3,0 ? 为定点, EP ? EQ , 则 EP ? QP 的最小值为 36 9
( )

A.6

B. 3 ?

3

C.9

D. 12 ? 6 3

【知识点】向 量 在 几 何 中 的 应 用 . 【答案解析】A 解析 :解:设 P x, y , 则 ∵ EP ? EQ , ∴ E P? Q P
2 而 EP = x - 3

( )

x2 x2 y2 ? ? 1 , 即 y2 = 9 4 36 9
EP =Q
2

EP 仔 Qc Po s

E P ,

3 ( x - 4)2 + 6 , ∵ - 6 #x 6 4 3 2 2 2 2 ∴ 当 x = 4 时 , EP = ( x - 3) + y = ( x - 4 ) + 6 有 最 小 值 6, 故 选 A. 4

(

)

2

+ y2 =

【思路点拨】根 据 EP ? EQ , 和 向 量 的 数 量 积 的 几 何 意 义 , 得 ∴

EP ?QP
2

EP 仔 QP cos EPQ = EP 2 ,设 出 点 P 的 坐 标 ,利 用 两 点 间 距 离 公 式 求 出

EP ,根 据 点 P 在 椭 圆 上 , 代 入 消 去 y, 转 化 为 二 次 函 数 求 最 值 问 题 , 即 可 解 得 结 果 . 【典型总结】此 题 考 查 了 向 量 在 几 何 中 的 应 用 , 以 及 向 量 数 量 积 的 几 何 意 义 , 和椭圆的有界性,二次函数求最值等基础知识,注意椭圆的有界性,考查学生 灵活应用知识分析解决问题的能力.

【数学文卷· 2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试( 201405 ) 】 F38 、已知

? ? ? ? ? ? a ? (2,1), b ? (2,?3), 若 ka ? b 与 a ? 2b 垂直,则 k ? (
A. 2 B.

) D.

25 4
? ?

C.

27 4

25 3
, =4﹣3=1,

【知识点】平面向量数量积的运算. 【答案解析】D 解析 :解: ∵ a ? (2,1), b ? (2,?3), ∴| |= ∵ ka ? b 与 a ? 2b 垂直,∴( ka ? b )?( a ? 2b )=0, ∴k +(1﹣2k) =0,∴5k﹣26+1﹣2k=0,∴k= .故选 D. ,| |=

?

?

?

?

?

?

?

?

【思路点拨】由向量垂直的条件:数量积为0,列出方程,求出k即可.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F3C6B320、 (本小 题满分 14 分)其中第(1) (2)问文理科学生都要做,第(3)问按题目要求分文理来做。 已知 O 为坐标原点,向量 OA ? (sin ? ,1) , OB ? (cos ? ,0), OC ? (? sin ? ,2), 点 P 是直线

AB 上的一点,且 AB ? BP .
(1)求点 P 的坐标(用 ? 表示) ; (2)若 O, P, C 三点共线,求以线段 OA, OB 为邻边的平行四边形的对角线长; (3)(文科生做)记函数 f (? ) ? BP ? CA ,且 f ( ) ? (3)(理科生做)记函数 f (? ) ? BP ? CA , ? ? ( ?

? 2

3 2 sin 2? 的值。 5 ,求

? ?

, ), 讨论函数 f (? ) 的单调性,并求 8 2

其值域. 【知识点】向量的数量积公式;向量的坐标表示;二倍角公式;函数的单调性与值域. 【答案解析】(1) 2cos a - sin a , - 1 (2)

(

)

74 26 , (3) a ? 5 5

骣p p 琪 琪 , , 函数单调 桫8 8

递增; a ? 琪 琪,

骣 p p , 函数单调递减. 值域为 - 1, 2 ù ú. ? 8 2 桫

(

解析 : 解: (1) 设点 P 的坐标为 x, y , 则 AB = c o s as i n , 1a -

( )

(

) ,BP = ( x - cosa , y) ,

AB = BP ,\ cos a - sin a = x - cos a , y = - 1

\ x = 2cos a - sin a , y = - 1 ,\ 点 P 的坐标为 ( 2cos a - sin a , - 1)
(2)由 O, P, C 三点共线知: OP / /OC ,\

( - 1)( - sin a ) = 2? ( 2cos a

sin a ) ,

\ tan a =

sin a 4 2sin a cos a 2 tan a 24 = ,\ 2sin a cos a = = = , 2 2 2 cos a 3 sin a + cos a tan a +1 25

\ OA + OB =

( sin a + cos a )
( sin a - cos a )

2

+1 = 2sin a cos a + 2 =

74 5
26 , 5
74 26 , . 5 5

\ OA - OB =

2

+1 = 2 - 2sin a cos a =

所以以线段 OA, OB 为邻边的平行四边形的对角线长分别为 (3) (文科)

BP = ( cos a - sin a , - 1) , CA = ( 2sin a , - 1) ,

骣 p f ( a ) = 2sin a ( cos a - sin a ) +1 = sin 2a + cos 2a = 2 sin 琪 2a + 琪 4 桫
又f琪 琪

骣 q 3 2 = ,\ 2 5 桫

骣 p 骣 p 3 2 3 2 sin 琪 q+ = ,\ sin 琪 q+ = 琪 琪 5 5 桫 4 桫 4 =7 25

轾 骣 骣 p 骣 p p sin 2q = - cos 琪 q+ =- 犏 1 - 2sin 2 琪 q+ 琪 + 2q = - cos 2 琪 琪 琪 犏 2 桫 桫 4 桫 4 臌
(3) (理科)

BP = ( cos a - sin a , - 1) , CA = ( 2sin a , - 1) ,

骣 p f ( a ) = 2sin a ( cos a - sin a ) +1 = sin 2a + cos 2a = 2 sin 琪 2a + 琪 4 桫
骣p p p a? 琪 琪 , ,\ 2a + 4 桫8 2
\ 2a + p 4 p 4 骣p ,即 a ? 琪 0, 琪 桫 2 骣 p 5p 即a ? 琪 琪, 2 4 桫

骣 5p , 琪 0, 琪 桫 4 骣p p 琪 琪 , , 函数单调递增; 桫8 8
骣 p p 琪 , 函数单调递减. 琪, 8 2 桫

\ 2a +

且 sin 琪 2a + 琪

骣 桫

纟 2 骣 p p ú, 2 sin 琪 ?? ,1 2a + ? 琪 ? 2 ú 4 4 桫 棼

(

1, 2 ù ú ?,

f ( a ) 的值域为 - 1, 2 ù ú ?
【思路点拨】(1)设点 P 的坐标为 x, y ,然后利用 AB = BP 可得点 P 的坐标;

(

( )

(2)由 O, P, C 三点共线 OP / /OC ,得到 tan a 后在计算出 OA + OB 以及 OA - OB 即可.

(3) (文科)由 BP 与 CA 可化简 f a ,再结合 f 琪 琪

( ) ( )

骣 q 3 2 即可. = 2 5 桫

(3) (理科)由 BP 与 CA 可化简 f a ,即可求出单调性及值域

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F2F318、 (本小题 满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 2 ,

e1 =

AB AB

, e2 =

AD AD

, AB 与 AD 的夹角为

? . 3

(1)若 AC ? xe1 ? y e2 ,求 x 、 y 的值; (2)求 AC ? BD 的值; (3)求 AC 与 BD 的夹角的余弦值.

【知识点】平 面 向 量 基 本 定 理 ; 模 长 及 夹 角 ; 平 面 向 量 的 数 量 积 运 算 . 【答案解析】(1) x = 3, y = 2 (2)

p 5 133 (3) 3 133

解析 :解:( 1 ) ∵ AB ? 3 , BC ? 2 , e1 =

AB AB

, e2 =

AD AD



∴ AC = AB + BC = 3e1 + 2e2 = xe1 + ye2 , ∴ x = 3, y = 2. ( 2 ) 由 向 量 的 运 算 法 则 知 , BD = AD - AB = 2e2 - 3e1 , ∴ AC ? BD

( 2e +3e )( 2e - 3e ) = 4e
2 1 2 1

2

2

- 9e1 = - 5 .

2

( 3 ) ∵ AB 与 AD 的 夹 角 为

p p , ∴ e1 与 e2 的 夹 角 为 , 又 | e1 | = | e2 | = 1 , 3 3

∴ | AC | = | AD + AB | = | 2e2 +3e1 | = ∴ | BD | = | AD - AB | = | 2e2 - 3e1 | =

4e2 + 9e1 +12e1 ?e2 4e2 + 9e1 - 12e1 ?e2
AC ? BD AC ×BD =
2 2

2

2

19 , 7,

设 AC 与 BD 的 夹 角 为 θ , 可 得 cosθ =

5 5 133 , =133 19 ? 7

∴ AC 与 BD 的 夹 角 的 余 弦 值 为 -

5 133 . 133

【思路点拨】 ( 1 )由 平 行 四 边 形 法 则 得 AC = AB + BC ,而 e1 , e2 分 别 是 AB , AD 方 向 上 的 单 位 向 量 ,再 结 合 数 乘 运 算 、平 面 向 量 基 本 定 理 中 的“ 唯 一 性 ”不 难 求 出 x , y; ( 2 ) 由 题 意 可 以 AB , AC 为 基 底 , 将 AC 及 BD 用 基 底 表 示 , 再 利 用 内 积 的 定 义 及 运 算 可 求 得 AC× BD 的值; ( 3) 直 接 套 用 夹 角 公 式 c o s q=

A C× B D A C× B D

计算.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F2F316、 (本小题 满分 12 分)已知 a ? (1,2), b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,

(1)k a ? b 与 a - 3b 垂直? (2)k a ? b 与 a - 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?
【知识点】 向 量 的 坐 标 运 算 ;向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ;向 量 的 坐 标 形 式 的 数 量 积 公 式 ; 向量共线的坐标形式的充要条件. 【答案解析】(1) (2) 解析 :解: ka + b =k (1, 2) + (- 3,= 2) (k - 3, 2k + 2)

a - 3b = (1, 2) - 3( - 3, 2) = (10, - 4)
( 1 ) (

ka +b

)



(

a - 3b

)





( ka + b )?( a - 3b ) =10 k - 3 - 4 k + 2 = 2k - 38 = 0 , 解 得 k = 19 . ( 2 ) ( ka + b ) ∥ ( a - 3b ) , 得 - 4 k - 3 = 1 0 k2 +

(

) (

)

(

)

(

2 k = - , 此 时 k a+ ), 3

1

b=

骣 10 4 1 =琪 - , = - (10, - 4) , 所 以 方 向 相 反 . 琪 3 桫 3 3
【思路点拨】(1)先 求 出 ka + b 与 a - 3b 的 坐 标 , ( 1) 利 用 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 : 数 量 积 为 0 , 列 出 方 程 求 出 k . ( 2) 利用向量共线的坐标形式的充要条件: 坐标交叉相乘相等, 列出方程求出 k , 将 k 代入两向量的坐标,判断出方向相反.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F39.对于非零向量

a, b ,下列命题中正确的是(
A.a // b ? a 在 b 上的投影为 | a |



B.a ? b ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 D.a ? c ? b ? c ? a ? b

C.a ? b ? a ? b ? (a ? b) 2

【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 ; 平 面 向 量 的 基 本 定 理 及 其 意 义 ; 数 量 积 表 示 两个向量的夹角. 【答案解析】C 解析 :解:对 于 A , a 在 b 上的投影为

a ×b b

= a cos q , 当 a / / b 时 ,

cos q = 1 , ∴ a c o s q=

a ,∴命题 A 错误;

对 于 B , a, b 是 非 零 向 量 , 且 消 去 律 不 成 立 , ∴ 命 题 B 错 误 ; 对 于 C , a ^ b ? a ?b

0 ? a ?b

( )

a b .∴命题 C 正确;

2

对 于 D, ∵ 向 量 的 数 量 积 中 消 去 律 不 成 立 , ∴ 命 题 D 不 成 立 . 故 选 : C. 【思路点拨】利 用 平 面 向 量 的 投 影 公 式 、 运 算 律 、 垂 直 的 性 质 求 解 .

【 数学 卷· 2016 届 四川省 成都 七中 高一下 学期期 末考 试( 201407 ) 】 F319. 已知 向量

p1 = ( cos a ,sin a ) ,向量 p2 = ( cos b ,sin b ) .
(1)求 p1 在 p2 方向上的投影; (2)求 p1 + 2 p2 的最大值; (3)若 a - b =

p , l ? R , an = 轾 l p 犏 臌 1 3

( )

p2

n

, Sn = a1 + a2 +... + an ,求 Sn .

【知识点】向量的数量积公式; 向量的坐标表示; 分类讨论的思想方法;等比数列求和.

ì n, l = 2 ? ? 【答案解析】(1) cos(a - b ) (2)3(3) S n = í l (1 - ( 1 l ) n ) ? 2 ,l ? 2 ? 2- l ?
解析 :解: (1) p1在 p2方向上的投影为

p1 ? p2 | p2 |

= cos(? ? ? )

3分

(2) | p1 +2 p2 |2 =5+4cos(? ? ? ) ? 9 ?| p1 +2 p2 | ? 3 , 当 cos(? ? ? ) ? 1 ,即当 ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 时, | p1 + 2 p2 |max ? 3 ,
?an ? (? p1 ? p2 ) n ? (? cos(? ? ? )) n 1 ? (3) ? ? an ? ( ? ) n , ? 2 ?? ? ? ? 3 ?

7分

9分

1 1 Sn ? ( ? )1 ? ( ? ) 2 ? 2 2

1 ? ( ? )n , 2

ì n, l = 2 ? ?1 1 l (1 - ( l ) n ) ? ? 2 2 Sn = í , l 构 2且l 1 ? 1- l ? 2 ? ? ? 0,l =0

ì n, l = 2 ? ? 0 = í l (1 - ( 1 l ) n ) 12 分 ? 2 ,l ? 2 ? 2- l ?

【思路点拨】 (1) 利用向量的数量积公式的变形公式即可; (2) 用向量的坐标表示出 p1 + 2 p2 再求最大值即可; (3)利用分类讨论的思想方法求等比数列的前 n 项和即可.

【数学卷· 2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试( 201407 ) 】 F35 、已知向量

a ? (1 ,n), b ? (?1 ,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? (
A. 2 B. 2 C.1

) D.4

【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 ; 向 量 的 模 ; 两 个 平 面 向 量 的 垂 直 关 系 . 【答案解析】A 解析 :解:∵ a ? (1 ,n), b ? (?1 ,n) ,∴ 2a - b = 3, n , ∵ 2a ? b 与 b 垂直,∴ 3, n ? ∴ a = 2 ,故 选 A . 【思路点拨】根 据 题 意 , 易 得 2a - b = 3, n , 由 2a ? b 与 b 垂直可 得

( )

( )(

1, n) = - 3 + n2 \ n =

3,

( )

( 3, n) ?(

1, n) = - 3 + n2 , 进 而 解 出 n 的 值 , 最 后 可 得 答 案 .

【数学卷·2014 届江苏省南京市金陵中学高三第四次模拟考试(201405) 】F39.在平行四边

BE ? 1 , 则 AB 的长为 形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点.若 AC·
【知识点】向 量 的 运 算 法 则 ; 数 量 积 运 算 法 ; 一 元 二 次 方 程 的 解 法 . 【答案解析】

.

1 1 解析 :解:∵ AC = AB + AD, BE = BC + CE = AD - AB, 2 2

∴ AC ? BE
2

AD - AB 琪 ( AB + AD) 琪 2 桫



1

2 2 1 1 = AD + AD ? AB AB = 1 , 2 2

∴ AB - AD ? AB 解 得 AB =

0 , AB > 0 ,

1 1 .故答案为: . 2 2

【思路点拨】利 用 向 量 的 运 算 法 则 和 数 量 积 运 算 法 则 即 可 得 出 .

【数学(理)卷·2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试(201408) 】F39.已知向量

a, b 满足 a = 1, a 与 b 的夹角为
恒成立,则 b 的取值范围是( A. ê , +

p ,若对一切实数 x , xa + 2b ? a b 3
)。 C. 1, +

轹 1 ê 2 滕

÷ ÷

B. 琪 琪 ,+

骣 1 2 桫

[

)

D. 1, +

(

)
p 1 = b, 3 2

【知识点】向 量 模 的 计 算 公 式 ; 数 量 积 运 算 ; 恒 成 立 问 题 的 等 价 转 化 . 【答案解析】C解析 :解:因为 a = 1, a 与 b 的夹角为 把原式 x a + 2 b ? a
2

p ,所以 a ?b 3
2

b cos

b平方整理可得: x2 + 2 b x + 3 b - b - 1 0 恒成立,所以

D= 4 b - 4 3 b - b - 1

(

2

)

0 ,即 b - 1 2 b +1

( )(

)

0 ,即 b ? 1 ,故选C.

【思路点拨】 由 已 知 x a+ 2 b ?

a b,利 用 模 的 计 算 公 式 两 边 平 方 转 化 为 关 于 x 的 一

元二次不等式,由于对一切实数

x 原式恒成立,由 D 0 解之即可.

F4

单元综合


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