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例谈向量法解立体几何题的三大“歪招”


?

3 4?  

中学数 学研 究 

2 0 1 4年 第 4期 



令  (  ) : (   一2 )  

+2, 则 

综上, 实数口的 取值范围是l 一。 。 ,   1   I .  
、  J 

>
关 于“已知含参 a的不等 式g (  )≥0 ( 或 ≤) (  

(  )=  

>o , 所以  (   ) 在( o , +∞) 上是 

≥0 ) 恒成立, 求实数a 的取值范围”的问题, 全国卷 
从2 0 0 6年 开 始 至今 ,已经 连 续 考 了 8年 了 ( 另 见  2 0 0 9年全 国卷 Ⅱ 第 2 l题 , 2 0 1 2年 全 国卷 ( 大纲版 )   理2 0题 ) , 尽管近 几年 的考题 较前 几年 变化 较大 , 但  解题 思路 和 方 法 基 本 不 变 , 2 0 1 4年 还 考 这 类题 吗?   如果 考 , 又有什 么新 的变化? 我们期 待着 , 关 注着.  
参考 文献 
[ 1 ] 范 淑芬. 一类高考导数压轴题 的突破策 略—— 逆否转 化  [ J ] . 中学数学教学 , 2 0 1 1 , 6 .   [ 2 ] 张润平. 高等数学背景下一类压轴题 的简解 [ J ] . 中学 数 
学, 2 0 1 1 , 2 .  

增 函数 , 所以h ( x )>  ( 0 ) =0 , 故g   (  )>0 , 从而 

g ( x ) 在( O , + ∞) 上是增 函数, 所 以g (   )>g ( O )=  
l i m  : l i m  :  

(  

一1 )  

=   , 所 以口≤ 了 1( 充分性)
.  

又根 据定理 2 , 由对所 有 的  ≥0 都 有 F(  )≤0  

成立   存在p  >0 , 使得任意   ∈[ O , p   )时, F   (   )  
≤o , 即e 一一  
出 口≤   1


≤o ( 此 时由 F   ( o )≤0得不 

必须再用 一次定 理 2 )   存在p : ( 0 <P :  

[ 3 ] 曹军 , 孙芸. 一个 错误命题 与一类 问题 简解 [ J ] . 中学 数  学杂志 , 2 0 1 1 , 5 .  

< p 2 ) , 使 得 任 意   ∈ [ 0 , p : ) 时 , 【 e 一 一  
≤  +   ≤ o   。
n ≤ 

】  

. 

1( 必 

例 谈 向量 法解 立体 几 何题 的 三大 “ 歪招"  
浙江省 象山县第二 中学  ( 3 1 5 7 3 1 )   吕增锋 
众所周知, 传统的综合法在立体几何 中应用体 
现 的是 一种 思 维链 问 的严 密整 合 , 优 点是 自然 、 流  畅、 高效 , 缺 点是 需要花 时 间去理解 解决 问题 的理论  不 可否认 , 向量 法虽好 , 若教 学不 当也会 出现 一  些 副作用. 例如 , 引入 向量 法后 , 部 分 学 生 不 能 摆脱  综合 法 思维 的束 缚 , 对 向量 法 的核 心 思想 却 迟 迟 无 

基础 , 因此门槛较 高; 向量 法体现 的是 一种“ 数字  
化”概念 , 优 点是 所 有 问题 可 以量 化 、 公 式化 , 通 过 

法领悟; 更有相 当数量 的学生唯向量法是用, 传统的  
综合 法被 抛弃殆 尽 , 即使 最基 本 的平 行 、 垂直 关 系的 

计算解决, 入 门容易, 缺点是运算烦琐, 一步错, 全盘   输. 作为解 决立体 几何 问题 的两个 视 角 , 两种 方 法 ,   尽管它们各有千秋 , 但 由于向量法的低门槛, 操作机  械, 显然更容易被学生接受, 并且从现代数学的发展  来看 , 综合法让位于向量法也是大势所趋. 吴文俊先   生就 曾指 出: “ 对 于研 究 空间形 式, 你 要真正 的腾  飞, 不通过数量关系, 我想不 出有什么好 办法. 当然  
欧几 里得 几何里 漂亮 的定 理 有 的是 , 漂亮 的证 明有 

证明也依赖于 向量法; 还有学生拿 到题 目只会“ 建  系 — — 求坐标 — — 运 算” , 解 题 思 路僵 化 , 不 会 灵 
活变通 ……. 如何减 少或 者避 免这 些 副作 用 的产 生 

呢? 这就 涉及到 向量法的教 学策略 问题. 有句话叫   “ 歪打正着” , 下面笔者就借助 三个贬义 的成语, 谈 
谈 向量法教 学 的三 大“ 歪招” .   1 . “ 歪招 ”一 : 朝三 暮 四 

“ 朝三暮四, 源于庄周《 庄子 ? 齐物论》原指玩 
弄手法欺骗人. 后用来比喻常常变卦, 反复无常. ”  

的是 ,可是 就 算 你 陷在 里 面, 你 也 跑 不 了多远   可见计算在立体几何 中的重要性, 而向量   法正好满足 了立体几何的计算要求, 因此, 向量法顺  
… …

”- 】 J



我们知道, 新课改后高 中阶段立体几何 内容其  实是被分成了两部分, 分别在两个阶段进行教学. 以   人教A版为例 , 立体几何 的第一部分被安排在必修2  
的第一章“ 空间几何体” 和第二章“ 点、 直线、 平面之 

理 成章地 成为解 决立 体 几何 问题 的主 流方 法 , 深受   师生 的推 崇.  

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间 的位 置 关 系” , 一般是 在 高 一进行 教 学 , 主要 向学  生传授 立体 几何 的传 统方 法 , 即综合 法 ; 第 二部分 被 

“ 建 系— — 求坐标 — — 运 算”是 向量法解 立体  几 何 问题 的基本操 作 流 程 , 这 种 方 法通 常 被称 为 坐  标 法. 如果说 向量 法是 解立体 几何 问题 的“ 主 流”方  法, 那 么坐 标 法 称 得 上是 “ 主 流 中的主 流 ” . 纵 观 各 

安排在选修 2 一l 的第三章“ 空间向量与立体几何” ,  


般是 在高 二进 行教 学 , 才 是 详 细 介 绍 向量 法在 立 

体 几何 中的应用. 很 多教 师 一进 入 第 二 阶段 就迫 不  及 待地 把综 合 法“ 打入 冷 宫” , 从此“ 独 宠” 向量 法.  
他 们 的理 由当然很充 足 —— 向量 法“ 功 能 强大 ”有 

地高考立体几何的标 准解答 , 也基本上是 坐标 法的   天 下. 正 因为 坐标 法举足 轻 重的地位 和作用 , 很 多教 
师在 向量 法 的教 学 中也 是 唯 坐标 法是 教 , 唯坐 标 法 

利 于 应试. 殊不 知如 此做 法是 有 违教 学规 律 的 , 是 一 
种 短视 行 为.  

是用, 而对于 向量法中的其它方法却视而不见. 但是 
坐标 法 并不是 万 能 的, 倘 若遇 到不 易建 系的几何 体 ,  

首先, 学生从综合法学习的结束到 向量法学 习  
的开 始 至少 应该 有 一个 自然适 应 的过 程 , 让 学生明   白为 什 么要引入 向量 法 ; 至少 应 该 有 一个 比较分 析 
的过 程 , 向量 法有什 么优 点可 以取 代 综 合 法. 其次 ,  

恐怕就要“ 失灵”了; 运算繁琐, 容易 出错也是 坐标  法天生的缺陷. 因此, 不能让学生在坐标法一棵树上 
吊死 , 教授 多种方 法才是 上上 之策.   坐标 法 程序 化、 机 械 化 的特 点可 以使 学 生更 快  的上手操 作 , 确实是 个 好东西 , 但 一旦 让 学生先 尝到 

这两种方法尽管分析 问题的视 角不 同, 但还是存在  着内在 的联 系. 比如, 向量法 中的建 系、 求点的坐标  
就 离不开 综合 法 的帮助 , 并且 综 合 法 功 底 的强 弱 可 

坐标 “ 甜头” , 就会产生先入为主的负面影 响, 其  它方法的教学就不好开展 了 . 因此, 在 向量法的教学   中应该做到“ 避 重就轻” , 好 的东西并不一定 急于 向   学 生展 示 , 应 该 先 从 非建 系 的 
向量  。   案例 2 (   2 0 1 3湖 南理 理  )  曰 。  

以直接影响向量法的运用和发挥. 因此, 我们不能人  为地把 两种方法进行“ 种族 隔离” , 至少在进入第二  
阶段 的初 期 , 要“ 宠 爱” 向量 P  
法, 但 不 能“ 冷 落” 了综合 法 ,  

要 做到 “ 朝 三暮 四” .  
案例 . 1 ( 2 0 1 3辽 宁理 )   如图1 , A B是 圆 的直径 , P A垂 
C 

如图2 ,在 直 棱 柱 A B C D—  

A l B 1 C 1 D l 中, A D∥ B C , L B A D  
图 1  

直 圆所在 的平面 , c是 圆上的  
点.  

( 1 )求证 : 平面 P A C上平 面 P B C;   ( 2 )若 A B =2 , A C :1 , P A =1 , 求二 面角 C—  
P B —A 的余 弦值.  

解析 : 类似本题第 1问平行、 垂直关系的证 明问  
题 还是 应该 坚 守综合 法. 因为一旦 进入 向量法 后 , 学 

生就会少 了很 多训练空间想象 能力和逻辑推理能力  
的机 会 , 恰 当地 应 用 综合 法 在 一 定 程度 上 可 以减 缓 

这两种能力的过度退化; 类似本题 第 2问空间角比  
较 容 易作 出的题 目, 尽量做 到 综合 法和 向量 法兼 顾.  

可以先用综合法解决 , 然后再尝试用向量法. 通过 一  
题 多解 的形 式 , 让 学 生 经 历 比较 、 判断、 决 策 的思 维 

过程, 使学生逐步 了解向量法的特点和优势 , 从而 自  
然 而 然 的进 入 向量 法 的广 阔天地.  
2 . “ 歪招 ”二 : 避 重就轻 

“ 避重就轻 , 源 自宋 ? 刘 挚《 侍 御史黄 君墓 志  

铭》 , 指 回避重 的责任, 只拣轻 的来承担. 也指 回避 
要点, 只谈无关紧要的事情. ”  

?

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图形 , 寻找合 适 的基底 , 然后把 其 它 向量用基 底来 表  示, 最后再进 行运 算. 不 仅 如此 , 从 对 图形 的依 赖 度  来看 , 传统 的综合 法完 全依赖 于对具 体 的 图形分 析 ;   非建 系 的 向量 法 由于 涉及 到 向量 的表 示与 转 化 , 也 

P B ” , 既然跟垂 直 相 关 , 一般 非 传 统 的综合 法 莫属.  
但 若走综 合法这 条路 , 最 后是 很 难 求 出 P A 的长 , 而 

求 出P A长的最 快捷 的方法 却是 向量 法 , 并且 是非建 
系的方法 , 具体过 程如 下 :  

离不开对 图形的观察 , 但依赖度 显然没有综合 法那  
么高 ; 坐标 法对 图形 的依 赖度 最低 , 除 了建 系 、 求 坐 
— — —

因2 a — - - r … =÷( A P+ A —’ C ) , P - — _   B …=P A+ A B, NA - - F 一  
二 
.  

标外 , 基本 可 以摆 脱 图形 的 限制.由此可 见 , 非 建 系  向量 法 的思维 层次要 高 于 坐标 法 , 更加 有利 学 生 空  

?

P  =÷ ( A P+ A c ) ? ( P A+ A B )=÷ ( 一 A   + A C  
二  二 
———   _ ———  — —’ —— ’  

}  



——  



 

— — 



}  



— ——  

—— —  

间想象能力、 逻辑推理能力培养. 由此可见, 非建 系  
向量 法更加 有利 于实 现 综合 法到 向量 法 、 向量 法 到 

?

A B )=÷ ( 一 A P  + I   A C   l   l A B   l   C O 8  B A C )=0 ,  
二 

坐标法的过渡, 学好 了非建系向量法, 向量法的精髓 
也就 领 悟 了.  
3 . “ 歪招 ”三 : 见 风使舵 

解得 l   A P   I=2√ 3 .   本题 第 2问求 二面 角 的 大 小 , 习惯 上 采用 向量 

法. 通过建立空间直角坐标 系, 利用坐标法的确能求  
出正确 的答案. 但 涉及 到 求 空 间 点 的坐标 和 两 个平  面的法 向量 , 运 算量 显然 比较 大. 若 注意到本 题 图形  的特 殊 性 , 采用传 统 的综 合法就 快捷 多 了 .  
由于 A A B F和 △ A D , 全 

“ 见风使舵 , 源于宋 ? 释普济《 五灯会元》 , 原指  看风 向转发动 舵柄. 比喻看 势 头 或看 别 人 的 眼色 行 
事. ”  

综合 法适 用于平 行 、 垂直 等 空间关 系的证 明 , 向  

量法适用于空问角度、 距离的求解. 这是很 多教师向   学生传授的解题心得或者说是技巧. 当然, 通常情况 
下是 正确 的, 但 不 能 把 它教 条 化 , 否 则 容 易 固步 自  

等, 过 点B作 A F的垂 线 , 垂足  为G , 然后连 结 DG, 如 图 4所  示, 显然 DG上 A F, 则  Bc D   就是 所求 二面 角的平 面 角 , 而 

封. 根据题 目的具体条件, 学会“ 见风使舵”才是 明   智 的做 法.  
案例 3 ( 2 0 1 3重庆 理 ) P  

在A B D G中利用余 弦定理 就  
很容 易求 出它的大 小.   本题 的解 法颠 覆 了对 立  体 几何解 法 的一般认 识 : 综 合  图4  

C 

如 图3 , 四棱锥 P—A B C D 中,  
上底面A B C D, B C =C D=  
2, A C = 4,   A C B = AAC D =  

法看 似对 路却不 能用 , 向量 法看 似 快便 却 不 如 几何  法. 由此 可见 , 教 会 学 生灵 活 变 通是 多 么的 重要. 教 



F为P C  寺  , A F   L   P B .  
( 1 )求 P A 的长 ;   ( 2 )求 二面角 B—A F—D  

C 

师在 向量法的教学 中也要反复强化这种意识, 最后   才能实现融会贯通, 灵活应用的目的.  

B  
图3  

参 考 文献 
[ 1 ] 吴文俊. 数学教育现代 化问题 [ J ] . 数 学通报 , 1 9 9 5 ( 2 ) : 1  


的正 弦值.  

分析 : 本 题 的第 l问“ 求  
P A 的长 ”到底 用什 么方法 ? 根 据题 目的条件  A ,上  

4.  



类 空 间轨迹 问题 的若 干性 质 及 其 应 用 
浙江省衢 州第二 中学  ( 3 2 4 0 0 0 )   傅建红 

空间轨迹问题是立体几何 中的重要题型, 也是 
令 许 多 学生感 到 困惑 、 迷茫 的 问题. 由于 此类 问题视 

到 难 以应 对 , 不 知 从何 处 找 到 思 维 的突破 口 .事 实 

上, 此类问题 的求解具 有相 当的规律 性( 通常有定 
性分析( 几何法)和定量解析( 代数法) 两种思路) ,  

角独特 、 构思新颖, 且“ 动”感十足 , 因此学生常常感 


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