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重庆市万州分水中学高中数学《1.4生活中的优化问题举例》导学案1 新人教A版选修2-2


重庆市万州分水中学高中数学《1.4 生活中的优化问题举例》导学 案 1 新人教 A 版选修 2-2
学习目标 1.进一步理解导数的概念,会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题,并建 立它们的导数模型; 2.掌握用导数解决实际中简单的最优化问题,构建函数模型,求函数的最值. 学习过程 一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 3 2 复习 1:函数 y=2x -3x -12x+5 在[0,3]上的最小值是___________

复习 2:函数 f ( x) ? sin x ? x 在 [0, ] 上的最大值为_____;最小值为_______. 2

?

二、新课导学 学习 探究 探究任务一:优化问题 问题:张明准备购买一套住房,最初准备选择购房一年后一次性付清房款,且付款时需 加付年利率为 4.8%的利息, 这时正好某商业银行推出一种年利率低于 4.8% 的一年定期贷款业 务,贷款量与利率的平方成正比,比例系数为 k (k ? 0) ,因此他打算申请这种贷款在购房时付 清房款. (1)若贷款的利率为 x, x ? (0,0.048) ,写出贷款量 g ( x) 及他应支付的利息 h( x) ; (2) 贷款利息为多少时,张明获利最大?

新知: 生活中经常遇到求 、 等问题,这些问题通常称为优化问题.



试试:在边长为 60 cm 的 正方形铁片的四角切去边长都为 x 的小正方形,再把它的边沿 虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大 容积是多少?
x x 60 x x

反思:利用导数解

60

决优化问题的实质是

.

典型例题 例 1 班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的 海报,要求版心面积为 128dm2 ,上、下两边各空 2dm ,左、右两边各空 1dm .如何设计海报的 尺寸,才能使四周
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空白面积最小?

变式:如图用铁丝 弯成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面积为 a m2 ,为使所用 材料最省,底宽应为多少?

例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子的 半径,单位是厘米.已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子 的最大半径为 6 cm .问(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大 时,每瓶饮料的利润最小?

小结:⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,
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找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义.⑵根据 问题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此区间上只有一个极值点,那么这个极值就 是所求最值,不必再与端点值比较.⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 动手试试 练 1. 一条长为 100 cm 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积 和最小,两段铁丝的长度分别是多少?

练 2. 周长为 20 的矩形,绕一条边边旋转成一个圆柱,求圆柱体积的最大值.

三、总结提升 学习小结 1.解决最优化的问题 关键是建立函数模型,因此首先审清题意,明确常量与变量及其关 系,再写出实际问 题的函数关系式,对于实际问题来说,需要注明变量的取值范围. 2.实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点,那么它也是最值点. 知识拓展 牛顿和莱布尼兹是微积分的创立者. 学习 评价

当堂检测 (时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 某公司生产某种新产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产 品,成本增加 100 元,已 知总收益与年产量的关系是,则总利润最大时,每年生产的产品是( ) A.100 B.150 C.200 D.300 2. 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm ,要使其体积最大,则其高应为( ) 3 10 3 16 3 20 3 A. cm B. cm C. cm D. cm 3 3 3 3 3. 若一球的半径为 r , 则内接球的圆柱的侧面积最大为( ) 1 2 A. 2? r 2 B. ? r 2 C. 4? r 2 D. ? r 2 4. 球的直径为 d ,当其内接正四棱柱体积最大时的高为 . 5. 面积为 S 的矩形中,其周长最小的是 . 课后作业 1. 一边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都为 x 的小正方形,然后做成一个无

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盖方盒. (1)试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数.(2) x 多大时,方盒的容积 V 最大?

2 . 在半径为 r 的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其他三边为圆的弦,求梯形面积最 大时,梯形的上底长为多少?

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