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高中数学必修2圆与方程典型例题


第二节:圆与圆的方程典型例题
一、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 二、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ?

b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F ? ?
2 2

?

2

2?

2

? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
当D
2
2

2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x2 ? y 2 ? 2(m ? 1) x ? 2(2m ? 3) y ? 5m2 ? 10m ? 6 ? 0 . (1)此方程表示的图形是否一定是一个圆?请说明理由; (2)若方程表示的图形是是一个圆,当 m 变化时,它的圆心和半径有什么规律?请说明理由. 答案:(1)方程表示的图形是一个圆; (2)圆心在直线 y=2x+5 上,半径为 2. 练习: 1.方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 6 ? 0 表示的图形是(
2 2



, A.以 (1 ? 2) 为圆心, 11 为半径的圆

, B.以 (1 2) 为圆心, 11 为半径的圆
, D.以 (?1 2) 为圆心, 11 为半径的圆
).

, C.以 (?1 ? 2) 为圆心, 11 为半径的圆

2.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4

, 3.点 (11) 在圆 ( x ? a) ? ( y ? a) ? 4 的内部,则 a 的取值范围是(
2 2

) D. a ? ?1

A. ? 1 ? a ? 1
2 2

B. 0 ? a ? 1

C. a ? ?1 或 a ? 1

4.若 x ? y ? (? ?1) x ? 2? y ? ? ? 0 表示圆,则 ? 的取值范围是 5.若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M(5,-7),则圆 C 的半径为 6.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 . 7.以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 .
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.

8.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0). 9.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程. 10.求经过点(8,3),并且和直线 x=6 与 x=10 都相切的圆的方程. 三、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: ( 1 ) 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 , 圆 心 C ?a, b ? 到 l 的 距 离 为
d? Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半 径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 例2 已知圆 M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,Q 是 x 轴上的动点,QA、QB 分别切圆 M 于 A,B 两点 (1)若点 Q 的坐标为(1,0),求切线 QA、QB 的方程; (答:切线 QA、QB 的方程分别为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 和 x ? 1 ) (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值; (答? SMAQB ? MA ? QA ? QA ? MQ2 ? MA2 ? MQ2 ? 1 ? MO2 ? 1 ? 3 )

(3)若 AB ?

4 2 ,求直线 MQ 的方程. 3
(答: 直线 MQ 的方程为 2x ? 5 y ? 2 5 ? 0 或 2x ? 5 y ? 2 5 ? 0 )

练习: 1.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( ). 2 2 2 A.(x-3) +(y+4) =16 B.(x+3) +(y-4)2=16 C.(x-3)2+(y+4)2=9 D.(x+3)2+(y-4)2=19 2.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( ). A.0 或 2 B.2
2 2

C. 2

D.无解 )

( 0) 3.直线 l 过点 ? 2, , l 与圆 x ? y ? 2 x 有两个交点时,斜率 k 的取值范围是(

2 A (? 2 2, 2)
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B (? 2,2)
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C (?
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2 2 , ) 4 4

D ( ? ,)
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1 1 8 8

4.设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是 5. 圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是 。



2 2 6. P 为圆 x ? y ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为_______

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7.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 8.圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切的圆的方程为 9.求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶ 两部分的圆的方程. 2
2

. .

2 12. (本小题 15 分)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两

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点. (1) 当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2) 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长. 13(本小题 15 分)已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8,0)的距离的一半, 动点 M 的轨迹方程; (2)若 N 为线段 AM 的中点,试求点 N 的轨迹. 求: (1)

四、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 例 4 已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,相互垂直的两条直线 l1 、 l2 都过点 A(a, 0) . (Ⅰ)若 l1 、 l2 都和圆 C 相切,求直线 l1 、 l2 的方程; (Ⅱ)当 a ? 2 时,若圆心为 M (1, m) 的圆和圆 C 外切且与直线 l1 、 l2 都相切,求圆 M 的方程; (Ⅲ)当 a ? ?1 时,求 l1 、 l2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值. 答案: (1) l1 、 l 2 的方程分别为 l1 : y ? x ? 2 2 ? 2 与 l 2 : y ? ? x ? 2 2 ? 2 或 l1 : y ? x ? 2 2 ? 2 与 l2 : y ? ?x ? 2 2 ? 2 (2)圆 M 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 7 ) 2 ? 4 (3)即 l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 2 14 1.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系为( ). A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 2 2 2 2 2.圆 x +y -2x-5=0 与圆 x +y +2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 ( ). A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 3.圆 x2+y2-2x=0 和圆 x2+y2+4y=0 的公切线有且仅有( ). A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 2 2 2 2 14.两圆 x +y =1 和(x+4) +(y-a) =25 相切,试确定常数 a 的值 . 6. 两圆 x ? y ? 9 和 x ? y ? 8x ? 6 y ? 9 ? 0 的位置关系是(
2 2 2 2



A

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相离
2 2

B

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相交

C

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内切
2 2

D

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外切

7. 圆: x ? y ? 4x ? 6 y ? 0 和圆: x ? y ? 6x ? 0 交于 A, B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是 8.两圆 x ? y ? 1和 ( x ? 4) ? ( y ? a) ? 25 相切,则实数 a 的值为
2 2 2 2

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五、求圆的轨迹方程
1、 点 P ( x0 , y0 ) 是圆 x2 ? y2 ? 4 上的动点,点 M 为 OP(O 为原点)中点,求动

点 M 的轨迹方程。 2、 已知两定点 A(-2,0)、B(1,0),若动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 轨

迹方程所包围的图形面积等于 3、 等腰三角形 ABC 底边一个端点 B(1,-3),顶点 A(0,6),求另一个端点 C 的

轨迹方程。 4、 5、 已知 BC 是圆 x2 ? y 2 ? 25 的动弦,且|BC|=6,求 BC 中点轨迹方程。 已知点 M 与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)的距离的比为 1 ,求点 M 的轨
2

迹方程。

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