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2.1.2数列的概念与简单表示方法


2.1.2 数列的概念与简单表示法

赵曲中学---李如心

复习:

1、数列的定义;
2、数列的通项公式; 3、数列的实质;

4、数列通项公式的求法等。

课前复习

写出下列数列的一个通项公式:
(1) 1,-1,1,-1; (2) 2,0,2,0;

(3) 9,99,999,9999;
(4)0.9,0.99,0.999,0.9999。
答案: (1) an ? ?? 1?
n n ?1 n ?1

(2) an ? 1 ? ?? 1? (3) an ? 10 ? 1
?n a ? 1 ? 10 (4) n

数列的表示方法:
? 1、通项公式法: ? 第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示。

an ? n ?1(n ? N )
*

an ? 1 (n ? N ,1 ? n ? 3)
*

1 * an ? ( n ? N ) n

数列的表示方法:
? 2、图象法: ? 数列的图象是一系列以(n,an)为坐标的孤立的 点。

如:数列(1):4,5,6,7,8,9,10。

1 数列(2) : an ? (n ? N * ) n

数列(1):4, 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 10
9 用图象表示: 8 7 6 5 4

an

哇!图象也 可以是一些 点呀!

3 2 1

O

1

2

3

4

5

6

7

n

an
1

数列(2)用图象表示
1 数列 (2) : an ? (n ? N * ) n

1 2

1 4 1 8

O

1

2

3

4

5

6

7

n

数列的表示方法:
? 3、递推公式法:
观察右图钢管堆放示意 图,寻找规律,建立数 学模型:

? ? ? ? ? ? ? ? ?

模型一:自上而下: 第1层钢管数为4;即:1 → 4=1+3 第2层钢管数为5;即:2 → 5=2+3 第3层钢管数为6;即:3 → 6=3+3 第4层钢管数为7;即:4 → 7=4+3 第5层钢管数为8;即:5 → 8=5+3 第6层钢管数为9;即:6 → 9=6+3 第7层钢管数为10;即:7 → 10=7+3 若用表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢 管数为一数列,且 an ? n ? 3 (1≤n≤7) ? 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立 了数列模型,运用这一关系,会很快捷地求出每一 层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

? 模型二:上下层之间的关系 ? 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即a1 ? 4, a2 ? 5 ? 4 ? 1 ? a1 ? 1, a3 ? 6 ? 5 ? 1 ? a2 ? 1, 依此类推: an ? an ?1 ? 1(2 ? n ? 7).

? a1 ? 4, ?? ? an ? an ?1 ? 1, ( 2 ? n ? 7)

?a1 ? 1 ? 例 1 设数列 {an } 满足 ? , 1 ?a n ? 1 ? a (n ? 1) n ?1 ?
写出这个数列的前五项。
解:据题意可知:

1 1 2 a1 ? 1, a2 ? 1 ? ? 2, a3 ? 1 ? ? , a1 a2 3 1 5 8 a4 ? 1 ? ? , a5 ? 。 a3 3 5

例 2 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 3 项,并猜想 an 。
解法一: a1 ? 2
n

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2

a3 ? 2 ? 22 ? 23 ,

观察可得 an ? 2 。
解法二:由 an?1 ? 2an ∴ an ? 2an?1

an 即 ? 2, a n ?1

an an?1 an?2 a2 ∴ ? ? ? ??? ? 2 n?1 , an?1 an?2 an?3 a1
∴ an ? a1 ? 2
n?1

? 2n 。

例 3:设 {an } 是首项为 1 的正项数列, 且 (n ? 1)an?1 ? nan , 求数列的通项公式 an 。
1 an ? n

1、根据各个数列的首项和递推公式,

补充练习

写出它的前五项,并归纳出通项公式: a = (n – 1) 2 n (1) a1 = 0, a n ?1 = an + (2n – 1) (n ∈N) ;

2 2a n (2) a1 = 1, a n ?1 = (n ∈N) ; an = n ?1 an ? 2
(3) a1 = 3, a n ?1 = 3 an – 2 (n ∈N) 。

an =

1+2· 3

n ?1

2:设数列 {an } 首项的为 a1 =1, 且 an?1 ? an ? 3 , 求数列的通项公式 an 。

课本P31 练习2。

思考题:
2、数列2,4,8,16· · · 的通项 公式一定是

an ? 2

n

吗?

小结:
本节课学习的主要内容有: 1、数列的定义; 2、数列的通项公式; 3、数列的实质; 4、数列通项公式的求法等。

作业:
P33 习题2.1 A组的第4、6题。


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