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东北三省三校2015届高考数学一模试卷(文科)


东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中 学)2015 届高考数学一模试卷(文科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求. 2 1. (5 分)已知集合 A={0,b},B={x∈Z|x ﹣3x<0},若 A∩B≠?,则 b 等于() A.1 B. 2 C. 3 D.1 或 2 2. (5

分)复数 A.i =() B . ﹣i C . 2( +i) D.1+i

3. (5 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,则“a>b”是“cos2A<cos2B”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)向量 , 满足| |=1,| |= A.45° B.60°

, ( + )⊥(2 ﹣ ) ,则向量 与 的夹角为() C.90°
2

D.120°

5. (5 分)实数 m 是[0,6]上的随机数,则关于 x 的方程 x ﹣mx+4=0 有实根的概率为() A. B. C. D.

6. (5 分)已知三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)椭圆 取值范围是() A.[1,4]

两个焦点分别是 F1,F2,点 P 是椭圆上任意一点,则 B.[1,3] C.[﹣2,1] D.[﹣1,1]



8. (5 分) 半径为 1 的球面上有四个点 A, B, C, D, 球心为点 O, AB 过点 O, CA=CB, DA=DB, DC=1,则三棱锥 A﹣BCD 的体积为() A. B. C. D.

9. (5 分)已知数列{an}满足 A.e
26

?

?

?…? C. e
32

=

(n∈N ) ,则 a10=() D.e
35

*

B. e

29

10. (5 分)执行如图所示的程序框图,要使输出的 S 的值小于 1,则输入的 t 值不能是下面的 ()

A.8

B. 9
3 2

C.10

D.11

11. (5 分)若函数 f(x)=2x ﹣3mx +6x 在区间(2,+∞)上为增函数,则实数 m 的取值范 围是() A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,2] C.(﹣∞, ) D.(﹣∞, ]

12. (5 分)函数 f(x)=lg(|x|+1)﹣sin2x 的零点个数为() A.9 B.10 C.11

D.12

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分. ) 13. (5 分)若等差数列{an}中,满足 a4+a6+a2010+a2012=8,则 S2015=.

14. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

则 z=x+2y 的最小值为.

15. (5 分)已知双曲线 C:



=1,点 P 与双曲线 C 的焦点不重合,若点 P 关于双曲线

C 的上、下焦点的对称点分别为 A、B,点 Q 在双曲线 C 的上支上,点 P 关于点 Q 的对称点 P1,则|P1A|﹣|P1B|=. 16. (5 分)若函数 f(x)满足: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域是 R; (Ⅱ)对任意 x1,x2∈R,有 f(x1+x2)+f(x1﹣x2)=2f(x1)f(x2) ; (Ⅲ)f(1)= ,则下列命题正确的是(只写出所有 正确命题的序号) ①函数 f(x)是奇函数; ②函数 f(x)是偶函数; ③对任意 n1,n2∈N,若 n1<n2,则 f(n1)<f(n2) ; ④对任意 x∈R,有 f(x)≥﹣1.

三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知△ ABC 的面积为 2,且满足 0< (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ)=2sin (
2

?

≤4,设



的夹角为 θ.

+θ)﹣

cos2θ 的取值范围.

18. (12 分)空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大 气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境 3 的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m )为 0~50 时, 空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别 为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级,空气 质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量状 况属于中度污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于 重度污染;当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污 染.1 月某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 3 (单位:μg/m ) [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] 监测点个数 15 40 y 10 (Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图; (Ⅱ)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良.从中任意选 取 2 个监测点,事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?

19. (12 分)如图,多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是菱形,∠BCD=60°,四边形 BDEF 是 正方形且 DE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:CF∥平面 ADE; (Ⅱ)若 AE= ,求多面体 ABCDEF 的体积 V.

20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知动圆过点(2,0) ,且被 y 轴所截得的弦长为 4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C1 的方程; (Ⅱ) 过点 P(1,2)分别作斜率为 k1,k2 的两条直线 l1,l2,交 C1 于 A,B 两点(点 A, B 异于点 P) ,若 k1+k2=0,且直线 AB 与圆 C2: (x﹣2) +y = 相切,求△ PAB 的面积.
2 2 2

21. (12 分)已知 a 是实常数,函数 f(x)=xlnx+ax . (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线过点 A(0,﹣2) ,求实数 a 的值; (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) , ①求证:﹣ <a<0; ②求证:f(x2)>f(x1)>﹣ .

二、请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】

22. (10 分)如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边上的中点,连接 OD 交圆 O 与点 M. (1)求证:DE 是圆 O 的切线; (2)求证:DE?BC=DM?AC+DM?AB.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正

半轴,建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是

(t 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)设点 P(m,0) ,若直线 L 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|?|PB|=1,求实数 m 的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ)解不等式 f(x)>0; (Ⅱ)若?x0∈R,使得 f(x0)+2m <4m,求实数 m 的取值范围.
2

东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省 实验中学)2015 届高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求. 2 1. (5 分)已知集合 A={0,b},B={x∈Z|x ﹣3x<0},若 A∩B≠?,则 b 等于() A.1 B. 2 C. 3 D.1 或 2 考点: 交集及其运算. 专题: 集合.

分析: 解不等式求出集合 B,进而根据 A∩B≠?,可得 b 值. 解答: 解:∵集合 B={x∈Z|x ﹣3x<0}={1,2},集合 A={0,b}, 若 A∩B≠?,则 b=1 或 b=2, 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题. 2. (5 分)复数 A.i =() B . ﹣i C . 2( +i) D.1+i
2

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:复数 = =i,

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 3. (5 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,则“a>b”是“cos2A<cos2B”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 在三角形中,结合正弦定理,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 2 2 解:在三角形中,cos2A<cos2B 等价为 1﹣2sin A<1﹣2sin B,即 sinA>sinB. ,得 sinA>sinB.充分性成立. ,得 a>b,必要性成立.

若 a>b,由正弦定理 若 sinA>sinB,则正弦定理

所以,“a>b”是“sinA>sinB”的充要条件. 即 a>b 是 cos2A<cos2B 成立的充要条件, 故选 C. 点评: 本题主要考查了充分条件和必要条件的应用,利用正弦定理确定边角关系,注意三 角形中大边对大角的关系的应用.

4. (5 分)向量 , 满足| |=1,| |= A.45° B.60°

, ( + )⊥(2 ﹣ ) ,则向量 与 的夹角为() C.90° D.120°

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 设向量 与 的夹角为 θ.利用( + )⊥(2 ﹣ ) ,可得( + )?(2 ﹣ ) = + =0,即可解出.

解答: 解:设向量 与 的夹角为 θ. ∵( + )⊥(2 ﹣ ) , ∴( + )?(2 ﹣ )= + = =0,

化为 cosθ=0, ∵θ∈[0,π],∴θ=90°. 故选:C. 点评: 本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 5. (5 分)实数 m 是[0,6]上的随机数,则关于 x 的方程 x ﹣mx+4=0 有实根的概率为() A. B. C. D.
2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据几何概型计算公式,首先求出方程有实根的 m 的范围,然后用符合题意的基本 事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度,即可得到所求的概率. 2 解答: 解:∵方程 x ﹣mx+4=0 有实根, 2 ∴判别式△ =m ﹣16≥0, ∴m≤﹣4 或 m≥4 时方程有实根, ∵实数 m 是[0,6]上的随机数,区间长度为 6,[4,6]的区间长度为 2, ∴所求的概率为 P= = . 故选:B. 点评: 本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识,给出在区间上取数的事件,求 相应的概率值.关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积. 6. (5 分)已知三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积是()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,AB=BC=CA=2,点 P 在侧面 ABC 的射影为 O,OP=2 .利用三棱锥的 体积计算公式即可得出. 解答: 解:如图所示,AB=BC=CA=2,点 P 在侧面 ABC 的射影为 O,OP=2 . ∴该三棱锥的体积 V= 故选:B. = = .

点评: 本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式,属于基础题.

7. (5 分)椭圆 取值范围是() A.[1,4]

两个焦点分别是 F1,F2,点 P 是椭圆上任意一点,则 B.[1,3] C.[﹣2,1] D.[﹣1,1]



考点: 直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆的焦点坐标,设 P(2cosθ,sinθ) (θ∈∈[0,2π) ) .利用向量的数量积运算 和余弦函数的单调性即可得出. 解答: 解:椭圆的焦点坐标 F1( ,0) ,F2( 设 P(2cosθ,sinθ) (θ∈∈[0,2π) ) . ∴ ═(﹣ ﹣2cosθ,﹣sinθ)?( ,0) .
2 2 2

﹣2cosθ,﹣sinθ)=4cos θ﹣3+sin θ=3cos θ

﹣2, 2 ∵0≤cos θ≤1, 2 ∴﹣2≤3cos θ﹣2≤1. 即 的最大值与最小值分别是 1,﹣2.

故选:C. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程与性质、向量的数量积运算、余弦函数的单调性等基础 知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 8. (5 分) 半径为 1 的球面上有四个点 A, B, C, D, 球心为点 O, AB 过点 O, CA=CB, DA=DB, DC=1,则三棱锥 A﹣BCD 的体积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出图形,连结 OD,OC 判断棱锥的特征,求解体积即可. 解答: 解:由题意可知图形如图:AB 过点 O,CA=CB,DA=DB,三角形 ABD 与 ACB 都 是等腰直角三角形, 半径为 1 的球面上有四个点 A,B,C,D,球心为点 O, ∴AD=BD=AC=BC= , DC=1,OD=0C=1,AB⊥OD,AB⊥OC,几何体的体积为: × S△ OCD?(AO+OB) = =

故选:A. 点评: 本题考查球的内接体知识,几何体的体积的求法,空间想象能力以及计算能力.

9. (5 分)已知数列{an}满足 A.e
26

?

?

?…? C. e
32

=

(n∈N ) ,则 a10=() D.e
35

*

B. e

29

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用已知条件,得到通项公式,然后求解 a10. 解答: 解:数列{an}满足 ? ? ?…? = (n∈N ) ,
*

可知

?

?

?…?

=



两式作商可得:

=

=



可得 lnan=3n+2.

a10=e . 故选:C. 点评: 本题考查数列递推关系式的应用,数列的通项公式的求法,考查计算能力. 10. (5 分)执行如图所示的程序框图,要使输出的 S 的值小于 1,则输入的 t 值不能是下面的 ()

32

A.8

B. 9

C.10

D.11

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图, 可得程序框图的功能是计算并输出 S=sin k∈Z 的值,观察规律可得 sin sin +sin +…+sin 的值以 6 为周期,且 =0,依次验证选项即可得解. +sin +…+sin ,

解答: 解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 S=sin ∵sin +sin +…+sin ,k∈Z 的值, +sin =sin +sin +sin =sin +…+sin +sin +sin = +sin =0, >1,故 A 符合要求; +sin = <1,故

的值以 6 为周期,且 sin +sin +sin +…+sin +…+sin

∴当 t=8 时,S=sin 当 t=9 时,S=sin B 不符合要求;

当 t=10 时, S=sin +sin +…+sin +sin +sin =sin +sin +sin +sin +sin =0<

1,故 C 不符合要求; 当 t=11 时, S=sin +sin +…+sin +sin +sin +sin =0<1, 故 D 不符合要求;

故选:A. 点评: 本题主要考察了循环结构的程序框图,考查了正弦函数的周期性,模拟执行程序框 图正确得到程序框图的功能是解题的关键,属于基本知识的考查. 11. (5 分)若函数 f(x)=2x ﹣3mx +6x 在区间(2,+∞)上为增函数,则实数 m 的取值范 围是() A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,2] C.(﹣∞, ) D.(﹣∞, ]
3 2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 先求 f′(x)=6x ﹣6mx+6,根据题意可知 f′(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立,可设 g 2 (x)=6x ﹣6mx+6,所以讨论△ 的取值,从而判断 g(x)≥0 是否在(2,+∞)上恒成立:△ ≤0 时,容易求出﹣2≤m≤2,显然满足 g(x)≥0;△ <0 时,m 需要满足 m 的范围,和前面求出的 m 范围求并集即可. 2 解答: 解:f′(x)=6x ﹣6mx+6; 由已知条件知 x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0 恒成立; 设 g(x)=6x ﹣6mx+6,则 g(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立; 2 ∴(1)若△ =36(m ﹣4)≤0,即﹣2≤m≤2,满足 g(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立; (2)若△ =36(m ﹣4)>0,即 m<﹣2,或 m>2,则需: 解得 ∴ ∴综上得 ; ; ;
2 2 2

,这样求出



∴实数 m 的取值范围是(﹣∞, ]. 故选 D. 点评: 考查函数单调性和函数导数符号的关系,熟练掌握二次函数的图象,以及判别式△ 的取值情况和二次函数取值的关系. 12. (5 分)函数 f(x)=lg(|x|+1)﹣sin2x 的零点个数为() A.9 B.10 C.11

D.12

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=lg(|x|+1)﹣sin2x 的零点个数即 y=lg(|x|+1)与 y=sin2x 的图象的交点 的个数,作图并利用三角函数的图象特征求解. 解答: 解:函数 f(x)=lg(|x|+1)﹣sin2x 的零点个数即 y=lg(|x|+1)与 y=sin2x 的图象的交点的个数, 作函数 y=lg(|x|+1)与 y=sin2x 的图象如下,

结合图象及三角函数的最值知, 图象在 y 轴左侧有 6 个交点, 在 y 轴右侧有 5 个交点,在 y 轴上有一个交点; 故选 D. 点评: 本题考查了函数的图象的应用及函数的零点的个数的判断,属于基础题. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分. ) 13. (5 分)若等差数列{an}中,满足 a4+a6+a2010+a2012=8,则 S2015=4030. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式性质及其前 n 项和公式即可得出 解答: 解:∵a2012+a4=a6+a2010=a1+a2015, a4+a6+a2010+a2012=8, ∴2(a1+a2015)=8, ∴a1+a2015=4, ∴S2015= =4030.

故答案为:4030. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式性质及其前 n 项和公式,属于基础题.

14. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

则 z=x+2y 的最小值为﹣6.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,把目标函数 z=x+2y 变化为 y=﹣ x+ ,当直线沿着 y 轴向上移动时,z 的值随着增大,当直线过 A 点时, z 取到最小值,求出两条直线的交点坐标,代入目标函数得到最小值. 解答: 解:在坐标系中画出约束条件的可行域, 得到的图形是一个平行四边形, 目标函数 z=x+2y, 变化为 y=﹣ x+ , 当直线沿着 y 轴向上移动时,z 的值随着增大, 当直线过 A 点时,z 取到最小值, 由 y=x﹣9 与 2x+y=3 的交点得到 A(4,﹣5) ∴z=4+2(﹣5)=﹣6 故答案为:﹣6.

点评: 本题考查线性规划问题,考查根据不等式组画出可行域,在可行域中,找出满足条 件的点,把点的坐标代入,求出最值.

15. (5 分)已知双曲线 C:



=1,点 P 与双曲线 C 的焦点不重合,若点 P 关于双曲线

C 的上、下焦点的对称点分别为 A、B,点 Q 在双曲线 C 的上支上,点 P 关于点 Q 的对称点 P1,则|P1A|﹣|P1B|=﹣16. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设双曲线的上下焦点分别为 F,F',连接 QF,QF'.运用对称和三角形的中位线定理, 结合双曲线的定义,即可得到结论. 解答: 解:设双曲线的上下焦点分别为 F,F',连接 QF,QF'.

由点 P 关于双曲线 C 的上、下焦点的对称点分别为 A、B, 则 F 为 PA 的中点,F'为 PB 的中点, 由点 Q 在双曲线 C 的上支上,点 P 关于点 Q 的对称点 P1, 则 Q 为 PP1 的中点, 由中位线定理可得,|P1A|=2|QF|, |P1B|=2|QF'|, 由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8, 则|P1A|﹣|P1B|=2(|QF|﹣|QF'|)=﹣2×8=﹣16. 故答案为:﹣16.

点评: 本题考查双曲线的定义,考查三角形的中位线定理的运用,考查运算能力,属于基 础题. 16. (5 分)若函数 f(x)满足: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域是 R; (Ⅱ)对任意 x1,x2∈R,有 f(x1+x2)+f(x1﹣x2)=2f(x1)f(x2) ; (Ⅲ)f(1)= ,则下列命题正确的是②③④(只 写出所有正确命题的序号) ①函数 f(x)是奇函数; ②函数 f(x)是偶函数; ③对任意 n1,n2∈N,若 n1<n2,则 f(n1)<f(n2) ; ④对任意 x∈R,有 f(x)≥﹣1. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据抽象函数的定义和关系式结合函数奇偶性的定义即可判断①②,利用赋值法可 以判断③④. 解答: 解:令 x1=1,x2=0,f(1+0)+f(1﹣0)=2f(1)f(0) , 即 2f(1)=2f(1)f(0) , ∵f(1)= ,∴f(0)=1. 令 x1=0,x2=x,

则 f(x)+f(﹣x)=2f(0)f(x)=2f(x) , 则 f(﹣x)=f(x) , 故函数 f(x)为偶函数,故②正确,①错误. ∵f(1)= , ∴f(1+1)+f(1﹣1)=2f(1)f(1) , 即 f(2)=2f (1)﹣f(0)=2×( ) ﹣1= , f(2+1)+f(1)=2f(1)f(2) , 即 f(3)=2f(1)f(2)﹣f(1)=2× × ﹣ = 同理 f(4)= , ,
2 2

由归纳推理得对任意 n1,n2∈N,若 n1<n2,则 f(n1)<f(n2)正确;故③正确, 令 x1=x2=x,则由 f(x1+x2)+f(x1﹣x2)=2f(x1)f(x2) 2 得 f(2x)+f(0)=2f(x)f(x)=2f (x) , 2 即 f(2x)+1=2f (x)≥0, ∴f(2x)+1≥0,即 f(2x)≥﹣1. ∴对任意 x∈R,有 f(x)≥﹣1.故④正确. 点评: 本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关 键.综合性较强,有一定的难度. 三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知△ ABC 的面积为 2,且满足 0< (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ)=2sin (
2

?

≤4,设



的夹角为 θ.

+θ)﹣

cos2θ 的取值范围.

考点: 两角和与差的正弦函数;数量积表示两个向量的夹角;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由数量积和三角形的面积公式可得 tanθ 的范围,进而可得 θ 的取值范围; (2)化简可得 f(θ)=1+2sin(2θ﹣ 解答: 解: (1)由题意可得 ? ) ,由 θ 的范围和三角函数公式可得. =cbcosθ,

∵△ABC 的面积为 2,∴ bcsinθ=2, 变形可得 cb= ∴ ? =cbcosθ= ? ≤4,可得 0< , = , ≤4

由 0<

解得 tanθ≥1,又∵0<θ<π, ∴向量夹角 θ 的范围为[ ,
2

) ; +θ)﹣ cos2θ

(2)化简可得 f(θ)=2sin (

=2× =1+sin2θ﹣



cos2θ ) ∈[﹣ , ) ,

cos2θ=1+2sin(2θ﹣ , ) ,∴2θ﹣

∵由(1)知 θ∈[ ∴sin(2θ﹣ ∴1+sin(2θ﹣

)∈[﹣ ,1], )∈[ ,2],

∴f(θ)的取值范围为:[ ,2] 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及向量的数量积和三角函数的值域,属中 档题. 18. (12 分)空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大 气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境 3 的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m )为 0~50 时, 空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别 为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级,空气 质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量状 况属于中度污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于 重度污染;当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污 染.1 月某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 3 (单位:μg/m ) [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] 监测点个数 15 40 y 10 (Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图; (Ⅱ)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良.从中任意选 取 2 个监测点,事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?

考点: 频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据频率分布直方图,利用频率= 各小进行对应的高,补全频率分布直方图; (Ⅱ)利用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据频率分布直方图,得; 0.003×50= ,∴x=100; ,求出 x、y 的值,计算直方图中

又∵15+40+y+10=100, ∴y=35;…(2 分) ∴直方图中(50,100]对应矩形的高为 (100,150]对应矩形的高为 (150,200]对应矩形的高为 补全频率分布直方图,如图所示; …(5 分) (Ⅱ)设 A 市空气质量状况属于轻度污染 3 个监测点为 1,2,3, 空气质量状况属于良的 2 个监测点为 4,5, 从中任取 2 个的基本事件分别为 (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 10 种,…(8 分) 其中事件 A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为 (1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 7 种,…(10 分) 所以事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是 P(A)= .…(12 分) =0.007, =0.002; =0.008,

点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率问题, 是基础题目. 19. (12 分)如图,多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是菱形,∠BCD=60°,四边形 BDEF 是 正方形且 DE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:CF∥平面 ADE; (Ⅱ)若 AE= ,求多面体 ABCDEF 的体积 V.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知得 AD∥BC,DE∥BF,从而平面 ADE∥平面 BCF,由此能证明 CF∥ 平面 ADE. (Ⅱ)连结 AC,交 BD 于 O,由线面垂直得 AC⊥DE,由菱形性质得 AC⊥BD,从而 AC⊥ 平面 BDEF,进而多面体 ABCDEF 的体积 V=2VA﹣BDEF,由此能求出多面体 ABCDEF 的体积 V. 解答: (Ⅰ)证明:∵底面 ABCD 是菱形,∴AD∥BC, ∵四边形 BDEF 是正方形,∴DE∥BF, ∵BF∩BC=B,∴平面 ADE∥平面 BCF, ∵CF?平面 BCF,∴CF∥平面 ADE. (Ⅱ)解:连结 AC,交 BD 于 O, ∵四边形 BDEF 是正方形且 DE⊥平面 ABCD. ∴DE⊥平面 ABCD,又 AC?平面 ABCD,∴AC⊥DE, ∵底面 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又 BD∩DE=D,∴AC⊥平面 BDEF,

∵AE=

,∠BCD=60°,∴AD=DE=BD=1, ,

∴AO=CO=

∴多面体 ABCDEF 的体积: V=2VA﹣BDEF=2× =2× = .

点评: 本题考查线面平行证明,考查多面体的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 20. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知动圆过点(2,0) ,且被 y 轴所截得的弦长为 4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C1 的方程; (Ⅱ) 过点 P(1,2)分别作斜率为 k1,k2 的两条直线 l1,l2,交 C1 于 A,B 两点(点 A, B 异于点 P) ,若 k1+k2=0,且直线 AB 与圆 C2: (x﹣2) +y = 相切,求△ PAB 的面积.
2 2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设动圆圆心坐标为(x,y) ,半径为 r,利用点(2,0)在圆上及被 y 轴所截 得的弦长为 4,计算即可; 2 (Ⅱ)设直线 l1 的斜率为 k,通过将点 P(1,2)代入抛物线 y =4x 并与直线 l1 联立,计算可 得直线 AB 的斜率,不妨设 lAB:y=﹣x+b,利用直线 AB 与圆 C 相切可得 b=3 或 1,分 b=3、 b=1 两种情况讨论即可. 解答: 解: (Ⅰ)设动圆圆心坐标为(x,y) ,半径为 r, 由题可知
2



∴动圆圆心的轨迹方程为:y =4x; (Ⅱ)设直线 l1 的斜率为 k,则 l1:y﹣2=k(x﹣1) ,l2:y﹣2=﹣k(x﹣1) , 2 点 P(1,2)在抛物线 y =4x 上, 联立 ,消去 x 得:ky ﹣4y+8﹣4k=0,
2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,△ >0 恒成立,即(k﹣1) >0,有 k≠1, ∴y1yP= ,∵yP=2,∴y1= ,

2

代入直线方程可得:

,同理可得:x2=





kAB=

=

=﹣1,

不妨设 lAB:y=﹣x+b, ∵直线 AB 与圆 C 相切,∴ = ,解得 b=3 或 1,

当 b=3 时,直线 AB 过点 P,舍去, 当 b=1 时,由 ,可得 x ﹣6x+1=0, =8, , =4 .
2

此时△ =32,∴|AB|= ∴P 到直线 AB 的距离 d= △ PAB 的面积为

点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分类讨论的思想, 注意解题方法的积累,属于中档题. 21. (12 分)已知 a 是实常数,函数 f(x)=xlnx+ax . (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线过点 A(0,﹣2) ,求实数 a 的值; (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) , ①求证:﹣ <a<0; ②求证:f(x2)>f(x1)>﹣ .
2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线方程,代 入点(0,﹣2) ,即可解得 a; (2)①依题意:f′(x)=0 有两个不等实根 x1,x2(x1<x2) ,设 g(x)=lnx+2ax+1,求出导 数,讨论当 a≥0 时,当 a<0 时,求得函数 g(x)的单调性,令极大值大于 0,解不等式即可 得证; ②由①知:f(x) ,f′(x) 变化,求得 f(x)的增区间,通过导数,判断 x1∈(0,1) ,设 h (x)= (xlnx﹣x) (0<x<1) ,求得 h(x)的单调性,即可得证. 解答: (1)解:由已知可得,f′(x)=lnx+1+2ax(x>0) ,切点 P(1,a) ,

f(x)在 x=1 处的切线斜率为 k=1+2a, 切线方程:y﹣a=(2a+1) (x﹣1) , 把(0,﹣2)代入得:a=1; (2)证明:①依题意:f′(x)=0 有两个不等实根 x1,x2(x1<x2) , 设 g(x)=lnx+2ax+1 则:g′(x)= +2a(x>0)

当 a≥0 时,有 g′(x)>0,所以 g(x)是增函数,不符合题意; 当 a<0 时:由 g′(x)=0 得:x=﹣ 列表如下: x g′(x) g(x) 依题意:g(﹣ (0,﹣ + ↗ )=ln(﹣ ) ﹣ 0 极大值 (﹣ ﹣ ↘ ,+∞) >0,

)>0,解得:﹣ <a<0,

综上可得,﹣ <a<0 得证; ②由①知:f(x) ,f′(x) x (0,x1) x1 f′(x) ﹣ 0 f(x) ↘ 变化如下: (x1,x2) + 0 ↗

x2 (x2,+∞) ﹣ ↘

由表可知:f(x) 在[x1,x2]上为增函数,所以:f(x2)>f(x1) 又 f′(1)=g(1)=1+2a>0,故 x1∈(0,1) , 由(1)知:ax1= ,f(x1)=x1lnx1+ax1 = (x1lnx1﹣x1) (0<x1<1)
2

设 h(x)= (xlnx﹣x) (0<x<1) ,则 h′(x)= lnx<0 成立,所以 h(x)单调递减, 故:h(x)>h(1)=﹣ ,也就是 f(x1)>﹣ 综上所证:f(x2)>f(x1)>﹣ 成立. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值,主要考查导数的几何意义和 分类讨论的思想方法,注意函数的单调性的运用,属于中档题. 二、请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边上的中点,连接 OD 交圆 O 与点 M. (1)求证:DE 是圆 O 的切线; (2)求证:DE?BC=DM?AC+DM?AB.

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 专题: 推理和证明. 分析: (1)连接 BE, OE,由已知得∠ABC=90°=∠AEB, ∠A=∠A, 从而△ AEB∽△ABC, 进而∠ABE=∠C,进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°,由此能证明 DE 是圆 O 的切线. (2) DM=OD﹣OM= (AC﹣AB) , 从而 DM?AC+DM?AB= (AC﹣AB) ? (AC+AB) = BC , 由此能证明 DE?BC=DM?AC+DM?AB. 解答: 证明: (1)连接 BE,OE, ∵AB 是直径,∴∠AEB=90°, ∵∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,∴△AEB∽△ABC, ∴∠ABE=∠C, ∵BE⊥AC,D 为 BC 的中点,∴DE=BD=DC, ∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB, ∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°, ∴∠OEE=90°,∴DE 是圆 O 的切线. (2)证明:∵O、D 分别为 AB、BC 的中点, ∴DM=OD﹣OM= (AC﹣AB) , ∴DM?AC+DM?AB =DM?(AC+AB) = (AC﹣AB)?(AC+AB) = (AC ﹣AB ) = BC
2 2 2 2

=DE?BC. ∴DE?BC=DM?AC+DM?AB.

点评: 本题考查 DE 是圆 O 的切线的证明,考查 DE?BC=DM?AC+DM?AB 的证明,是中档 题,解题时要认真审题,注意弦切角定理的合理运用. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正

半轴,建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是

(t 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)设点 P(m,0) ,若直线 L 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|?|PB|=1,求实数 m 的值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,化为 ρ =2ρcosθ,利用
2

可得直角

坐标方程.直线 L 的参数方程是

(t 为参数) ,把 t=2y 代入

+m 消去参数 t

即可得出.
2 2 2

(2) 把

(t 为参数) , 代入方程: x +y =2x 化为:

+m ﹣2m=0,

由△ >0,得﹣1<m<3.利用|PA|?|PB|=t1t2,即可得出. 2 解答: 解: (1)曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cosθ,化为 ρ =2ρcosθ,可得直角坐标方程: 2 2 x +y =2x.

直线 L 的参数方程是

(t 为参数) ,消去参数 t 可得



(2) 把

(t 为参数) , 代入方程: x +y =2x 化为:

2

2

+m ﹣2m=0,

2

由△ >0,解得﹣1<m<3. 2 ∴t1t2=m ﹣2m. ∵|PA|?|PB|=1=t1t2, 2 ∴m ﹣2m=1, 解得 .又满足△ >0. ∴实数 m=1 . 点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ)解不等式 f(x)>0; 2 (Ⅱ)若?x0∈R,使得 f(x0)+2m <4m,求实数 m 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)不等式 f(x)>0,即|2x﹣1|>|x+2|,平方后解一元二次不等式求得它的解集. (Ⅱ)根据 f(x)的解析式,求出 f(x)的最小值为 f( ) ,再根据 f( )+2m <4m,求得 m 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 f(x)>0,即|2x﹣1|>|x+2|,即 4x ﹣4x+1>x +4x+4, 即 3x ﹣8x+3>0,求得它的解集为{x|x<﹣ ,或 x>3}.
2 2 2 2

(Ⅱ)f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|=

,故 f(x)的最小值为 f( )=﹣ ,

根据?x0∈R,使得 f(x0)+2m <4m,可得 4m﹣2m >﹣ ,即 4m ﹣8m﹣5<0, 求得﹣ <m< . 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,带有绝对会的函数,函数的能成立问题,体现 了等价转化和分类讨论的数学思想,属于中档题.

2

2

2


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