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2013-2014学年江苏省无锡市江阴市高一(上)期中数学试卷


2013-2014 学年江苏省无锡市江阴市高一(上)期 中数学试卷

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2013-2014 学年江苏省无锡市江阴市高一(上)期 中数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. (5 分)设集合 A={1,2,3},B={2,4,5}

,则 A∪B= 2. (5 分)幂函数 f(x)图象过点 _________ . _________ .

,则 f(4)的值为

3. (5 分)函数

的定义域是

_________ .

4. (5 分)设函数 f(x)=

则 f[f(﹣1)]的值为 _________ .

5. (5 分)已知函数 f(2x﹣3)=2x+1,则函数 f(x)= _________ . 6. (5 分)函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0 且 a≠1)必过定点 _________ . 7. (5 分)方程 log3x+x=3 的解在区间(n,n+1)内,n∈N*,则 n= 8. (5 分)函数 的单调增区间是 _________ . _________ .

9. (5 分)已知函数 f(x)=x2+(a2﹣1)x+(a﹣2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,则实数 a 的取值范围 _________ . 10. (5 分)若 f(x)=﹣x2+2ax 与 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的值范围是 _________ .

11. (5 分)已知函数

的定义域为[﹣3,2],则该函数的值域为 _________ .

12. (5 分)若函数 y=x2﹣2x+2 的定义域和值域均为区间[a,b],其中 a,b∈Z,则 a+b= _________ . 13. (5 分)若 f(x)为 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(﹣3)=0,则(x﹣1)f(x)<0 的解集 为 _________ . 14. (5 分)已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足:对任意 x∈(0,+∞) ,恒有 f(2x)=2f(x)成立;当 x∈ (1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论: ①对任意 m∈Z,有 f(2m)=0; ②函数 f(x)的值域为[0,+∞) ; n ③存在 n∈Z,使得 f(2 +1)=9; ④“若 k∈Z,若(a,b)?(2k,2k+1)”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减” 其中所有正确结论的序号是 _________ .
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www.jyeoo.com 二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤) 15. (14 分)已知集合 A={x|x2+6x+5<0},B={x|﹣1≤x<1}, (1)求 A∩B; (2)若全集 U={x||x|<5},求?U(A∪B) ; (3)若 C={x|x<a},且 B∩C=B,求 a 的取值范围. 16. (14 分)计算下列各式的值: (1) (2)log21﹣lg3?log32﹣lg5. 17. (14 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品 x(百台) , 其总成本为 G(x) (万元) ,其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本 +生产成本) .销售收入 R(x) (万元)满足 生产的产品都能卖掉) ,根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数 y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本) ; (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多? ,假定该产品产销平衡(即 ;

18. (16 分)设函数

是实数集 R 上的奇函数.

(1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)在 R 上的单调性并加以证明; (3)求函数 f(x)的值域. 19. (16 分)已知 f(x)=loga (a>0,a≠1) .

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)试判别函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)求使 f(x)<0 的 x 的取值范围. 20. (16 分) (2008?嘉定区一模)已知函数 f(x)=ax2﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (3)设 ,若函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

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2013-2014 学年江苏省无锡市江阴市高一(上)期 中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. (5 分)设集合 A={1,2,3},B={2,4,5},则 A∪B=

{1,2,3,4,5} .

考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 集合 A 与集合 B 的所有元素合并到一起,构成集合 A∪B,由此利用集合 A={1,2,3},B={2,4,5},能 求出 A∪B. 解答: 解:∵ 集合 A={1,2,3},B={2,4,5}, ∴ A∪B={1,2,3,4,5}. 故答案为:{1,2,3,4,5}. 点评: 本题考查集合的并集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
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2. (5 分)幂函数 f(x)图象过点 考点: 专题: 分析: 解答:

,则 f(4)的值为

2 .

幂函数的图像. 计算题. 先由已知条件求幂函数的解析式,再求 f(4)
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解:设幂函数 f(x)=xa∵ f(x)的图象过点(2, ∴ 2a= ∴ a= ∴ f(x)= ∴ f(4)= =



故答案为:2 点评: 本题考查求幂函数的解析式和函数值,要注意根式与指数幂的互化.属简单题 (﹣∞,﹣3)∪(﹣3,2] .

3. (5 分)函数

的定义域是

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 根据函数解析式的特征可得不等式组
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的解集即为所求.

解答:

解:∵ 函数 ∴

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www.jyeoo.com ∴ x≤2 且 x≠﹣3 ∴ 函数 的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(﹣3,2]

点评: 本题主要考查了函数定义域的求解,属常考题,较易.解题的关键是根据函数的解析式得出不等式组 的解集即为所求的定义域!

4. (5 分)设函数 f(x)=

则 f[f(﹣1)]的值为 4 .

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由函数 f(x)=
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,知 f(﹣1)=(﹣1)2+1=2,所以 f[f(﹣1)]=f(2) ,由此能求出结果.

解答: 解:∵ 函数 f(x)= ,

∴ f(﹣1)=(﹣1)2+1=2, ∴ f[f(﹣1)]=f(2)=22+2﹣2=4, 故答案为:4. 点评: 本题考查分段函数的函数值的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 5. (5 分)已知函数 f(2x﹣3)=2x+1,则函数 f(x)= x+4 . 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用换元法可求得 f(x) . 解答: 解:令 t=2x﹣3,则 x= , 则 f(t)=2× +1=t+4,

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∴ f(x)=x+4, 故答案为:x+4. 点评: 本题考查函数解析式的求法,属基础题,熟记常见的几种类型的函数解析式求法是解决问题的基础. 6. (5 分)函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0 且 a≠1)必过定点 (0,2) . 考点: 专题: 分析: 解答: 对数函数的单调性与特殊点. 计算题.

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根据函数 y=logax 过定点(1,0) ,得函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0 且 a≠1)必过定点(0,2) . 解:由于函数 y=logax 过定点(1,0) ,故函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0 且 a≠1)必过定点(0,2) . 故答案为 (0,2) . 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于基础题. 7. (5 分)方程 log3x+x=3 的解在区间(n,n+1)内,n∈N*,则 n= 2 .

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www.jyeoo.com 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题. 分析: 根据 log3x+x=3 得 log3x=3﹣x,再将方程 log3x+x=3 的解的问题转化为函数图象的交点问题解决,分别画出 相应的函数的图象,观察两个函数图象交点的横坐标所在的区间即可得到结果. 解答: 解:∵ 求函数 f(x)=log3x+x﹣3 的零点, 即求方程 log3x+x﹣3=0 的解, 移项得 log3x+x=3,有 log3x=3﹣x. 分别画出等式:log3x=3﹣x 两边对应的函数图象, 由图知:它们的交点 x 在区间(2,3)内, ∵ 在区间(n,n+1)内,n∈N*, ∴ n=2
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故答案为:2

点评: 本题考查方程根的存在性及根的个数的判断问题,解决方程根的范围问题常用根的存在性定理判断,也可 转化为两个基本函数图象的交点问题,本题解题的关键是利用数形结合来解决.

8. (5 分)函数

的单调增区间是 (﹣∞,﹣1) , (﹣1,+∞) .

考点: 函数的单调性及单调区间. 专题: 计算题. 分析: 可利用 f′(x)= >0 即可求得 f(x)的单调增区间.
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解答:

解:∵ f(x)=1﹣ ∴ f′(x)=



>0,又 x+1≠0,

∴ x<﹣1 或 x>﹣1, 函数 的单调增区间是(﹣∞,﹣1) , (﹣1,+∞) .

故答案为: (﹣∞,﹣1) , (﹣1,+∞) . 点评: 本题考查函数的单调性及单调区间, 关键在于用导数解决, 易错点在于所求的单调区间中间必须用“, ”隔开, 属于中档题. 9. (5 分) 已知函数 f (x) =x2+ (a2﹣1) x+ (a﹣2) 的一个零点比 1 大, 一个零点比 1 小, 则实数 a 的取值范围 (﹣ 2,1) .
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www.jyeoo.com 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 根据函数 f(x)=x2+(a2﹣1)x+(a﹣2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,可得 f(1)<0,从而可 建立不等式,即可求出实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵ 函数 f(x)=x2+(a2﹣1)x+(a﹣2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小 ∴ f(1)<0
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∴ 1+a2﹣1+a﹣2<0 ∴ a2+a﹣2<0 ∴ ﹣2<a<1 ∴ 实数 a 的取值范围为(﹣2,1) 故答案为: (﹣2,1) 点评: 本题考查函数的零点,考查方程根的问题,解题的关键是建立不等式,属于基础题. 10. (5 分)若 f(x)=﹣x2+2ax 与

在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的值范围是

(0,1] .

考点: 函数单调性的性质;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: f(x)是开口向下的二次函数,所以在对称轴右侧为减函数,又因为 f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以 区间[1,2]为函减区间的子区间,通过比较函数的单调减区间与区间[1,2]的端点的大小,可求出 a 的一个 范围,因为 g(x)是反比例函数通过左右平移得到的,所以当 a 大于 0 时,在(﹣∞,﹣1)和(﹣1,+∞) 都为减函数,当 a 小于 0 时,在(﹣∞,﹣1)和(﹣1,+∞)都为增函数,这样,有得到 a 的一个范围, 两个范围求公共部分,即得 a 的值范围. 解答: 解:∵ 函数 f(x)=﹣x2+2ax 的对称轴为 x=a,开口向下, ∴ 单调间区间为[a,+∞) 又∵ f(x)在区间[1,2]上是减函数, ∴ a≤1
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在区间[1,2]上是减函数,

∴ a>0 综上得 0<a≤1 故答案为(0,1] 点评: 本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断,以及根据所给函数单调区间,求参数的范围.

11. (5 分)已知函数

的定义域为[﹣3,2],则该函数的值域为 [

] .

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 计算题. 分析: 由于 x∈[﹣3,2],可得 ≤ 性质求出它的最值. 解答: 解:由于 x∈[﹣3,2],∴ 则有 y=t2﹣t+1= ≤

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≤8,令 t=

,有 y=t2﹣t+1=

+ ,再利用二次函数的

≤8,令 t= + ,



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www.jyeoo.com 故当 t= 时,y 有最小值为 ,当 t=8 时,y 有最大值为 57, 故答案为[ ].

点评: 本题主要考查指数型函数的性质以及应用,求二次函数在闭区间上的最值,属于中档题. 12. (5 分)若函数 y=x2﹣2x+2 的定义域和值域均为区间[a,b],其中 a,b∈Z,则 a+b= 3 . 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 分析: 求出函数的值域,以及取得最小值时的 x 值,确定 a 的值,然后求出 x=b 时函数的值也是 b,求出 b,即可 得到 a+b. 解答: 解:函数 y=x2﹣2x+2,当 x=1 时函数取得最小值 f(1)=1,所以函数的值域是[1,+∞) ,
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由题意可知 a=1,当 x=b 时 y=b,即 b=b2﹣2b+2,解得 b=2,或 b=1(舍去) , 所以 a+b=3. 故答案为:3. 点评: 本题是中档题,考查二次函数的定义域与值域的关系,考查函数的特征,一般情况下需要分类讨论,考查 计算能力. 13. (5 分)若 f(x)为 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(﹣3)=0,则(x﹣1)f(x)<0 的解集 为 (﹣3,1)∪(1,3) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 分析: 由(x﹣1)?f(x)<0 对 x﹣1>0 或 x﹣1<0 进行讨论,把不等式(x﹣1)?f(x)<0 转化为 f(x)>0 或 f(x)<0 的问题解决,根据 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(﹣3)=0,把函数值 不等式转化为自变量不等式,求得结果. 解答: 解:∵ f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数, ∴ 在(﹣∞,0)内 f(x)也是增函数, 又∵ f(﹣3)=0, ∴ f(3)=0 ∴ 当 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3)时,f(x)<0; 当 x∈(﹣3,0)∪(3,+∞)时,f(x)>0; ∵ (x﹣1)?f(x)<0
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解可得﹣3<x<1 或 1<x<3 ∴ 不等式的解集是(﹣3,1)∪(1,3) 故答案为: (﹣3,1)∪(1,3) . 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和单调性解不等式,体现了分类讨论的思想方法,属基础题. 14. (5 分)已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足:对任意 x∈(0,+∞) ,恒有 f(2x)=2f(x)成立;当 x∈ (1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论: ①对任意 m∈Z,有 f(2m)=0; ②函数 f(x)的值域为[0,+∞) ; n ③存在 n∈Z,使得 f(2 +1)=9; ④“若 k∈Z,若(a,b)?(2k,2k+1)”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”
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www.jyeoo.com 其中所有正确结论的序号是 ①②④ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 探究型. 分析: 依据题中条件注意研究每个选项的正确性,连续利用题中第(1)个条件得到①正确;利用反证法及 2x 变 化如下:2,4,8,16,32,判断②命题错误;连续利用题中第③个条件得到③正确;据①③的正确性 可得④是正确的. 解答: 解:∵ x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.∴ f(2)=0.f(1)= .
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∵ f(2x)=2f(x) ,∴ f(2kx)=2kf(x) . ﹣ m m﹣1 m﹣1 ①f(2 )=f(2?2 )=2f(2 )=…=2m 1f(2)=0,∴ ①正确. ②设 x∈(2,4]时,则 若 x∈(4,8]时,则 … 一般地当 x∈(2m,2m+1) , 则 ∈(1,2],f(x)=2m+1﹣x≥0, ,∴ f(x)=2f( )=4﹣x≥0. ∈(2,4],∴ f(x)=2f( )=8﹣x≥0.

从而 f(x)∈[0,+∞) ,∴ ②正确 ③由②知当 x∈(2m,2m+1) ,f(x)=2m+1﹣x≥0, ∴ f(2n+1)=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1,假设存在 n 使 f(2n+1)=9, 即 2n﹣1=9,∴ 2n=10, ∵ n∈Z,∴ 2n=10 不成立,∴ ③错误; ④由②知当 x?(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x 单调递减,为减函数, ∴ 若(a,b)?(2k,2k+1)”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”. ∴ ④正确. 故答案为:①②④. 点评: 本题主要考查抽象函数的性质,考查了函数的单调性,以及学生的综合分析能力. 二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤) 15. (14 分)已知集合 A={x|x2+6x+5<0},B={x|﹣1≤x<1}, (1)求 A∩B; (2)若全集 U={x||x|<5},求?U(A∪B) ; (3)若 C={x|x<a},且 B∩C=B,求 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (1)根据题意,解 x2+6x+5<0 可得集合 A,由集合的交集的意义,可得 A∩B, (2)根据题意,由集合 A、B 可得 A∪B,解|x|<5 可得全集 U,由补集的意义,计算可得答案; (3)若 B∪C=B,由并集的性质,可得 B?C,由集合 C、B,分析可得答案. 解答: 解: (1)根据题意,x2+6x+5<0?﹣5<x<﹣1, 则集合 A={x|﹣5<x<﹣1}, 则 A∩B=?, (2)由(1)可得,集合 A={x|﹣5<x<﹣1}, 则 A∪B={x|﹣5<x<1}, 又由全集 U={x||x|<5}={x|﹣5<x<5} 则?U(A∪B)={x|1≤x<5};
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www.jyeoo.com (3)若 B∩C=B,则有 B?C, 又由 C={x|x<a},B={x|﹣1≤x<1}, 则有 a≥1, a 的取值范围为 a≥1. 点评: 本题考查集合的混合运算,关键是掌握集合的交集、并集、补集的含义与计算方法. 16. (14 分)计算下列各式的值: (1) (2)log21﹣lg3?log32﹣lg5. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)根据分数指数幂运算法则进行化简即可. (2)利用对数的运算法则进行计算即可. 解答:
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解: (1)原式= (2)log21﹣lg3?log32﹣lg5=0﹣

=3﹣3+

= .

=﹣lg2﹣lg5=﹣(lg2+lg5)=﹣lg(2×5)=﹣lg10=﹣1.

点评: 本题主要考查分数指数幂和对数的运算,要求熟练掌握分数指数幂和对数的运算法则. 17. (14 分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品 x(百台) , 其总成本为 G(x) (万元) ,其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本 +生产成本) .销售收入 R(x) (万元)满足 生产的产品都能卖掉) ,根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数 y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本) ; (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多? 考点: 根据实际问题选择函数类型;分段函数的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)由题意得 G(x)=2.8+x.由 ,假定该产品产销平衡(即

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,f(x)=R(x)﹣G(x) ,能

写出利润函数 y=f(x)的解析式. (2)当 x>5 时,由函数 f(x)递减,知 f(x)<f(5)=3.2(万元) .当 0≤x≤5 时,函数 f(x)=﹣0.4(x 2 ﹣4) +3.6,当 x=4 时,f(x)有最大值为 3.6(万元) .由此能求出工厂生产多少台产品时,可使盈利最多. 解答: 解: (1)由题意得 G(x)=2.8+x.…(2 分) ∵ ∴ f(x)=R(x)﹣G(x) = (2)当 x>5 时,
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.…(7 分)

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www.jyeoo.com ∵ 函数 f(x)递减, ∴ f(x)<f(5)=3.2(万元) .…(10 分) 当 0≤x≤5 时,函数 f(x)=﹣0.4(x﹣4)2+3.6, 当 x=4 时,f(x)有最大值为 3.6(万元) .…(14 分) 所以当工厂生产 4 百台时,可使赢利最大为 3.6 万元.…(15 分) 点评: 本题考查函数知识在生产实际中的具体应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件, 合理地进行等价转化.

18. (16 分)设函数

是实数集 R 上的奇函数.

(1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)在 R 上的单调性并加以证明; (3)求函数 f(x)的值域. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)直接根据 f(﹣x)=﹣f(x) ,整理即可得到结论. (2)直接根据单调性的证明过程证明即可. (3)先对原函数分离常数,再借助于指数函数的最值即可得到结论. (也可以采用反函数的思想) . 解答: 解: (1)∵ f(x)是 R 上的奇函数 ∴ f(﹣x)=﹣f(x) ,
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即 即(a﹣1) (2x+1)=0 ∴ a=1

,即

(或者∵ f(x)是 R 上的奇函数∴ f(﹣0)=﹣f(0) ,∴ f(0)=0.∴ 验满足要求. ) (2)由(1)得

. ,解得 a=1,然后经检

设 x1<x2∈R,则 f(x1)﹣f(x2)=(1﹣

)﹣(1﹣



= ∵ x1<x2∴ ∴ f(x1)﹣f(x2)<0, 所以 f(x)在 R 上是增函数 (3) ,



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www.jyeoo.com ∵ 2x+1>1,∴ ∴ ∴ , ,

所以

的值域为(﹣1,1)

或者可以设

,从中解出 2x=

,所以

,所以值域为(﹣1,1)

点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、指数函数的性质等基础知识,考查运算求解能力 与化归与转化思想.属于中档题. 19. (16 分)已知 f(x)=loga (a>0,a≠1) .

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)试判别函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)求使 f(x)<0 的 x 的取值范围. 考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数奇偶性的判断;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: (1)由函数的解析式可得 >0,即 <0,即 (x+1) (x﹣1)<0,由此解得函数 f(x)的定义
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域. (2)由于函数 f(x)的定义域关于原点对称,且 f(﹣x)=﹣f(x) ,可得函数 f(x)是奇函数. (3)f(x)<0,即 loga <0,当 0<a<1 时,当 0<a<1 时,有 >1,即 <0,即 2x(x

﹣1)<0,由此求得的 x 的取值范围.

当 a>1 时,有 1>

>0,故

,由此求出 x 的取值范围.

解答:

解: (1)由 f(x)=loga

(a>0,a≠1)可得

>0,即

<0,即 (x+1) (x﹣1)<0,解得

﹣1<x<1, 故函数 f(x)的定义域为(﹣1,1) . (2)由于函数 f(x)的定义域关于原点对称,且 f(﹣x)=loga ﹣f(x) , 故函数 f(x)是奇函数. (3)f(x)<0,即 loga ﹣1<x<1. <0,当 0<a<1 时,有 >1,即 <0,即 2x(x﹣1)<0,解得 =loga =﹣loga =

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www.jyeoo.com >0,∴

当 a>1 时,有 1>

,即

,即

,解得﹣1<x<0.

综上可得,当 0<a<1 时,使 f(x)<0 的 x 的取值范围为(﹣1,1) ;当 a>1 时,使 f(x)<0 的 x 的取 值范围为(﹣1,0) . 点评: 本题主要考查对数函数的定义域和值域,对数函数的单调性和特殊点,求函数的奇偶性的方法和步骤,属 于中档题. 20. (16 分) (2008?嘉定区一模)已知函数 f(x)=ax2﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (3)设 ,若函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

考点: 函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义. 专题: 综合题;分类讨论. 分析: (1)由 a=1,将函数转化为分段函数,进而每一段转化为二次函数,用二次函数法求得每段的单调区间即 可. (2)受(1)的启发,用二次函数法求函数的最小值,要注意定义域,同时由于 a 不具体,要根据对称轴 分类讨论. (3)由“函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数”要转化为恒成立问题.可用单调性定义,也可用导数法. 解答:
1863356

解: (1)a=1,f(x)=x2﹣|x|+1=

(2 分)

∴ f(x)的单调增区间为( f(x)的单调减区间为(﹣ (2)由于 a>0,当 x∈[1,2]时, ①若 ②若 ③若 ,即 ,即 ,即

) , (﹣ ,0) ; ) , ( ) (4 分)

,则 f(x)在[1,2]为增函数 g(a)=f(1)=3a﹣2 , 时,f(x)在[1,2]上是减函数:

g(a)=f(2)=6a﹣3.

综上可得

(10 分)

(3)

在区间[1,2]上任取 x1、x2,

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= ∵ h(x)在[1,2]上是增函数 ∴ h(x2)﹣h(x1)>0 ∴ (*)可转化为 ax1x2﹣(2a﹣1)>0 对任意 x1、x2∈[1,2] 且 x1<x2 都成立,即 ax1x2>2a﹣1 ①当 a=0 时,上式显然成立 ②a>0, ③a<0, 所以实数 a 的取值范围是 ,由 1<x1x2<4 得 ,得 (16 分)

(*) (12 分)

,解得 0<a≤1

点评: 本题主要考查分段函数,考查求其单调区间,方法是一段一段地求出即可,考查求其最值,方法是每一段 求出其最值,各段中最大的为最大值,最小的为最小值,考查其单调性的应用,这类问题要转化为恒成立 问题,实质还是研究最值,这里就会涉及到构造新函数的问题.

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