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2013年上海市普通高中学业水平考试数学卷(答案)


2013 年 上 海 市 普 通 高 中 学 业 水 平 考 试
数学试卷(答案)
(考试时间:90 分钟,满分 120 分) 一、填空题 ? 3? ?12 ? 36? ? 1、 函数 y ? log 2 ? x ? 2 ? 的定义域是 2、 方程 2 x ? 8 的解是 3、 抛物线 y ? 8 x 的准线方程是
2

? ?2, ?? ?
x?3 x ? ?2

D A

C B

4、 函数 y ? 2sin x 的最小正周期是

2?
3 ? 4
D1 A1 B1

v v v v 5、已知向量 a ? ?1, k ? , b ? ?9, k ? 6 ? , 若 a P b ,则实数 k ?
6、函数 y ? 4sin x ? 3cos x 的最大值是 7、复数 2 ? 3i 的模是 5

C1

13

8、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 5, c ? 8, B ? 60 ,则 b ?
0

7

9、在如图所示的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 A1 B, B1C 所成角的大小为

600

10、从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动,选出的 3 人中男女同学都有的概率 为 (结果用数值表示) 0.8 11、若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则该数列的前 n 项和 S n ? _________
2 2

5 2 7 n ? n 6 6

12、36 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 36 ? 2 ? 3 ,所以 36 的所有正约数之和为

?1 ? 3 ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2
2 2

2

? 22 ? 3 ? 22 ? 32 ? ? ?1 ? 2 ? 22 ??1 ? 3 ? 32 ? ? 91 ,参照上述方法,

可求得 2000 的所有正约数之和为

?1 ? 2 ? 2

2

? 23 ? 24 ??1 ? 5 ? 52 ? 53 ? ? 4836

二、选择题 ? 3? ?12 ? 36? ? 13、展开式为 ad ? bc 的行列式是 A、 ( B ) ; C、

a b d c



B、

a c b d

a d b c



D、

b a d c
( B )

14、设 f A、 f
?1

?1

? x ? 为函数 f ? x ? ?
B、 f

x 的反函数,下列结论正确的是
?1

? 2? ? 2 ;

? 2? ? 4 ;

C、 f

?1

? 4? ? 2 ;

D、 f

?1

? 4? ? 4
1

15、直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是 A、 ? 2, ?3? ;
? 1

( D ) C、 ? ?3, 2 ? ; D、 ? 3, 2 ? ( A )
y y

B、 ? 2,3 ? ;

16、函数 f ? x ? ? x 2 的大致图像是
y y

0

A

x

0

B

x

0

C

x

0

D

x

17、如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是 A、

( D ) C、 ?ab ? ?a ;
2

1 1 ? ; a b

B、 ab ? b ;
2

D、 ?

1 1 ?? a b
( A )

18、若复数 z1 , z2 满足 z1 ? z2 ,则 z1 , z2 在复平面上对应的点 Z1 , Z 2 A、关于 x 轴对称;
10

B、关于 y 轴对称;

C、关于原点对称;

D、关于直线 y ? x 对称 ( C )

19、 ?1 ? x ? 的二项展开式中的一项是 A、 45x ; B、 90 x ;
2

C、 120 x ;

3

D、 252 x

4

20、既是偶函数又在区间 ? 0, ? ? 上单调递减的函数是 A、 y ? sin x ; B、 y ? cos x ; C、 y ? sin 2 x ; D、 y ? cos 2 x

( B )

21、若两个球的表面积之比为 1: 4 ,则这两个球的体积之比为 A、 1: 2 ; B、 1: 4 ; C、 1:8 ; 22、设全集 U ? R ,下列集合运算结果为 R 的是 A、 Z ? ? UN; B、 N ? ? UN ; C、 痧 U

( C ) D、 1:16 ( A ) D、 ? U ?0? ( D )

?
2

U

?? ;

2 23、已知 a, b, c ? R , “ b ? 4ac ? 0 ”是“函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像恒在 x 轴上方”的

A、充分不必要条件;

B、必要不充分条件;

C、充要条件;

D、非充分非必要条件

24、 已知 A, B 为平面内两定点, 过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线, 垂足为 N , 若 MN ? ? AN ? NB , 其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是 A、圆; B、椭圆; ( C ) C、抛物线; D、双典线

???? ?2

???? ??? ?

解:以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 AB ? 2a, M ? x, y ? ,则 N ? x, 0 ?

uuu v uuu v uuu v A ? ?a, 0 ? , B ? a, 0 ? , MN ? ? 0, ? y ? , AN ? ? x ? a, 0 ? , NB ? ? a ? x, 0 ? ,
故 MN ? ? AN ? NB ? y ? ? a ? x
2 2

???? ?2

???? ??? ?

?

2

? ? ?x

2

? y 2 ? ?a2

2

三、解答题 ? 7? ? 2 ? 8? ? 13? ? 2 ? 48? ? 25、如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 6 ,异面直线 BC1 , AA1 所成角的大小为 的体积 解: V ? 6 ?
2? ? 3 ? 2 3 ? ? 18 3 ? 4 ?

? ,求该三棱柱 6
C1

A1

?

?

A
B1

B

C

A

C

B

26、如图,某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地,其中 ?B 为直角, AB ? 40m, BC ? 50m 。现欲在 此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且 B 为矩形的一个顶点,求健身房的最大占地面积 解:设健身房的长为 xm ,宽 ym ,由相似三角形知识有

4 ? 50 ? x ? y 50 ? x ? ?y? , x ? ? 0,50 ? 40 50 5

故S ?

4 ? 50 ? x ? x 5

?S ??

4 2 ? x ? 25? ? 500, x ? ? 0,50 ? ,当 x ? 25 时, Smax ? 500 ? m2 ? 5
a

27、已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ? ?n 2 ? n ,数列 ?bn ? 满足 bn ? 2 n ,求 lim ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
n ??

?1? 2 1? n 2 a 解: Sn ? ?n ? n ? an ? 2 ?1 ? n ? ,又 bn ? 2 n ? bn ? 2 ? ? ? bn ? ? ? ?4?
于是 lim ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?
n ??

n ?1

1 1? 1 4

?

4 3

28、已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? ,短轴的两个端点分别为 B1 , B2 (1)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴为 2,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,且 F1 P ? F1Q ,求直线 l 的方程

????

????

? 2 4 a ? 2 2 2 ? ? ? a ? b ? 3b 3x 2 ?c ? 3b ? 3 解: (1) ?F1 B1 B2 为等边三角形,则 ? ?? 2 ?? ?C: ? 3y2 ? 1 2 4 ? ? a ?b ?1 ? c ?1 ? b2 ? 1 ? 3 ?

3

(2)容易求得椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1。 2

当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 。

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 y1 ), Q( x2, y2 ) , 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2(k ? 1) ? 0 。设 P( x1, 2 ? ? y ?1 ?2
则 x1 ? x2 ?

???? 4k 2 2(k 2 ? 1) ???? , x x ? , F P ? ( x ? 1 , y ) , F1Q ? ( x2 ? 1, y2 ) 1 2 1 1 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

因为 F1 P ? F1Q ,所以 F1 P ? F1Q ? 0 , 即 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

????

????

???? ????

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1 ?

7k 2 ? 1 7 1 ? 0 ,解得 k 2 ? ,即 k ? ? 2 7 2k ? 1 7

故直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 1 ? 0 或 x ? 7 y ? 1 ? 0

29、在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴的正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,且 ? xn ? 是首项
* 为 1、公比为 2 的等比数列,记 ?P n AP n ?1 ? ? n , n ? N

y
A

(1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

(2)若点 A 的坐标为 0,8 2 ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值
O P1 P2 P3 P4

?

?

???????????????

x

解: (1)设 A ? 0, b ? , b ? 0 ,则 tan ?OAPn ?

xn 2 ? b b

n ?1

8 4 ? 1 1 1 b b ? 1 ? b ? 4?8 故 ?3 ? arctan ? tan ?3 ? ? tan ? ?OAP ? ? OAP ? ? ? 4 3 32 3 3 3 1? 2 3 b
即 A ? 0, 4 ? ? A ? 0,8 ?
9 n? n? 2n ?1 ?4.5 (2) A 0,8 2 ? tan ?OAPn ? ? 2 2 ,设 t ? 2 2 ? 2 8 2

?

?

9

4

故 tan ? n ? tan ? ?OAPn ?1 ? ?OAPn ? ?

2

n?

7 2

?2
7 n? 2

n?

9 2

1? 2
当且仅当 t ?

2

9 n? 2

?

2t ? t 1 1 2 ? ? ? 2 1 2 2 1 ? 2t 4 2t ? t

9 n? 1 1 ?2 2 ? ? n ? 4 时取等号 2 2

所以 ? n 的最大值是 arctan

2 ,相应的 n ? 4 4

5


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