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四川省成都市石室中学2013届高三一诊模拟试题 数学理


石室中学高 2013 级“一诊模拟”考试试题 理科数学(第一卷)
一、选择题:只有唯一正确答案,每小题 5 分,共 50 分 1、集合 P ? {1, 2}, Q ? {x | x ? 2} ,则集合 P ? Q 为 ( (A) {1, 2} 2、复数 (B) {1} ) (C) 1 (D) i (C) {2} (D) {0,1} )

i?2 的虚部是( 1 ? 2i (A) 0 (B) 5i

3、已知 sin ? ? cos ? ? ? (A)

7? 5 ) 的值为( ,则 cos(2? ? 2 3
(C) ?



4 9

(B)

2 9

2 9

(D) ?

4 9

4、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 ( ) (A)8 (B)18 (C)26 (D)80 5、设 a 、b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是( (A)若 a ⊥b, a ⊥ ? ,则 b∥ ? (C)若 a ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 (B)若 a ∥ ? , ? ⊥ ? ,则 a ⊥ ? (D)若 a ⊥b, a ⊥ ? ,b⊥ ? ,则 ? ⊥ ? )

)

a ∥?

6、函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则此函数的解析式为( (A) f ( x) ? 2sin(

?
3

x? ) 3

?

(B) f ( x) ? 2sin( (D) f ( x) ? 2sin(

?

(C) f ( x) ? 2sin( x ?

?

3

)

?

6

x ? 1)
2

y

x? ) 6 6
O 1 4

?

x

-2

7、对一切实数 x,不等式 x ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
2



(A) (??,?2)

(B) [?2,??)

(C) [?2,2]

(D) [0,??)

8、已知 O 为平面上的定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三点,若 (OB ? OC ? 2OA) ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ? (OB ? OC) ? 0 ,则?ABC 是(



(A)以 AB 为底边的等腰三角形 (B)以 BC 为底边的等腰三角形 (C)以 AB 为斜边的直角三角形 (D)以 BC 为斜边的直角三角形 9、反复抛掷一枚质地均匀的骰子,每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数,当记录有三个不同点数 时即停止抛掷,则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是( ) (A) 360 种 (B) 840 种 (C) 600 种 (D) 1680 种 10、已知关于 x 的方程 ?2 x 2 ? bx ? c ? 0 ,若 b、c??0 1 2 3 4? ,记“该方程有实数根 x1、x2 且满足 ,, ,,

?1 ? x1 ? x2 ? 2 ” 为事件 A,则事件 A 发生的概率为(
(A)

) (D)

5 16

(B)

12 25

(C)

14 25

16 25


二、填空题:每小题 5 分,共 25 分 11、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3 ? 3? 2n ,则 an ?

12、 (1 ? 2 x)n 的展开式中 x3 的系数等于 x 2 的系数的 4 倍,则 n 等于



13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图, 视图、 侧视图所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角形, 对应的四边形为正方形,那么这个几何体的体积 为 .

如果主 俯视图 主视图 侧视图

14、设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (2,1) ,

a ? 2b ? (4, ,则 cos ? 等于 5)

. 俯视图

15 、 定 义 在 (? 1, 1) 的 函 数 f (x) 满 足 : 对 任 意 上

x? y ) 恒成立.有下列结论:① f (0) ? 0 ;②函数 f ( x) 为 (?1,1) x, y ? (? 1, 1) f ( x) ? f ( y ) ? f ( , 1 ? xy
上的奇函数; ③函数 f ( x ) 是定义域内的增函数; ④若 an ?1 ? 则数列 ? f (an )? 为等比数列.

2 an 且 1 ) 01 , ( n ? N? ) , an ? (?,0 (?) 2 1 ? an



其中你认为正确的所有结论的序号是



石室中学高 2013 级“一诊模拟”考试(一)试题 理科数学(第二卷)
11、 12、 三、解答题:总分 75 分 13、 14、 15、

16、 (本题满分 12 分)已知 ?ABC 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 3, 且AB ? BC ? 6 , AB与BC 的 夹角为 ? . (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos2 ? 的最大值.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

17、 (本题满分 12 分)三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC , ?ACB ? 90? , AC ? CB ? 2 . (Ⅰ)求证:平面 PAB ? 平面 ABC ; (Ⅱ)若 CB ? 2 AD ,且异面直线 PC 与 AD 的夹角为 60? 时,求二面角 P ? CD ? A 的余弦值.
P

??? ?

??? ?

B

A

C

18、 (本题满分 12 分) 设函数 y ? f ?x ? 满足:对任意的实数 x ? R, 有 f ?sin x? ? ? cos2 x ? cos2 x ? 2 sin x ? 3. (Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若方程 f ?x ? ? 2a x ?

1 有解,求实数 a 的取值范围. 2

19、 (本题满分 12 分)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产一千件,需要另 投入 2.7 万元.设该公司年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完, 每千件的销售收入为 R ( x) 万元,

1 2 ? ?10.8 ? 30 x , 0 ? x ? 10 ? 且 R( x) ? ? . ?108 ? 1000 , x ? 10 ? x 3x 2 ?
(I)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数关系式; (Ⅱ)年生产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

20、 (本题满分 13 分)设数列 ?an ? 为单调递增的等差数列 , a1 ? 1, 且 a3 , a6 , a12 依次成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)若 bn ?

?2 ? ? 3 ? 2
an 2

2an

an

?2

, 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn ;

(Ⅲ)若 cn ?

n 2an ? 1 1 ,求证: ? ci ? n ? . an 2 ?1 3 i ?2

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(Ⅰ)函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x ) ?

k 恒成立,求整数 k 的最大值; x ?1

(Ⅲ)试证明: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ??? (1 ? n(n ? 1)) ? e2n?3 .


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