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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用课件 文


第二章 函数概念与基本初等函数 I

§2.9 函数模型及其应用

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 答题模板系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型

函数模型 一次函数模型

函数解析式 f(x)=ax+b (a,b 为常数且 a≠0)

k 反比例函数模型 f(x)= +b (k,b 为常数且 k≠0) x

二次函数模型

f(x)=ax2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0) f(x)=bax+c (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=blogax+c (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=axn+b (a,b为常数,a≠0)

指数函数模型

对数函数模型 幂函数模型

(2)三种函数模型的性质

函数
性质 在(0,+∞)

y=ax(a>1) 单调_____ 递增 越来越快

y=logax(a>1) 递增 单调_____ 越来越慢

y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳

上的增减性
增长速度 图象的变化 值的比较

随x的增大逐渐表 随x的增大逐渐表现 随n值变化而 y轴 平行 为与____ x轴 平行 现为与____
各有不同

存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
答案

2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学

模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,

利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;

(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.

以上过程用框图表示如下:

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 若按九折出售,则每件还能获利.( √ ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( × )
x n ? log a x0 . ( × ) (3)不存在x0,使 a ? x0
0

(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加25%出售,后因库存积压降价,

(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大 于y=xa(a>0)的增长速度.( √ )

答案

(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a· bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度
越来越快的形象比喻.( × )

(6)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实
际问题.( √ )

答案

2

考点自测
1.(2015· 北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相 邻两次加油时的情况.

加油时间
2015年5月1日

加油量(升)
12

加油时的累计里程(千米)
35 000

2015年5月15日

48

35 600

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为______升.
1 2 3 4 5
解析答案

2. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如 图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料 上截取矩形铁片 ( 如图中阴影部分 ) 备用,当截取

15,12 的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为______. 24-y x 解析 由三角形相似得 = , 24-8 20 5 得 x=4(24-y), 5 ∴S=xy=- (y-12)2+180, 4
∴当y=12时,S有最大值,此时x=15.
1 2 3 4 5
解析答案

3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率

?p+1??q+1?-1 为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为_________________.
解析 设年平均增长率为x, 则(1+x)2=(1+p)(1+q),

∴x= ?1+p??1+q?-1.

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4.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积 3 最大,则隔墙的长度为___. 解析 设隔墙的长度为x(0<x<6),矩形面积为y,

24-4x 则 y=x× =2x(6-x)=-2(x-3)2+18, 2
∴当x=3时,y最大.

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5.(2015· 四川)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足 函数关系y=ekx+b(e=2.718?为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在 0℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃ 24 小时. 的保鲜时间是____
b ? e ? =192, 由题意得? 22k+b ? =48, ?e

解析
22k

48 1 1 11k ∴e =192=4,∴e =2,

∴x=33 时,y=e

33k+b

=(e ) · e
11k 3

b

?1? 1 ? ?3 b =?2? · e =8×192=24. ? ?

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题型分类 深度剖析

题型一

用函数图象刻画变化过程
(1)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段

例1

时间,后为了赶时间加快速度行驶 . 与以上事件吻合得最好的图象是 ________(填序号).

解析答案

(2)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定 菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间 T内 完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所 示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是____(填 序号).

思维升华

解析答案

跟踪训练1
已知正方形 ABCD 的边长为 4,动点 P从 B点开始沿折线 BCDA向 A 点运动 .设 ④ 填序号). 点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是___(

解析 依题意知当0≤x≤4时,f(x)=2x;

当4<x≤8时,f(x)=8;
当8<x≤12时,f(x)=24-2x,观察四个图象知,④正确.
解析答案

题型二

已知函数模型的实际问题
候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的

例2

专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v Q =a+blog3 (其中a、b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量 10 为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a、b的值; 解 由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为 30个单位,

30 故有 a+blog310=0,
即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,

90 故 a+blog3 =1,整理得 a+2b=1. 10
? ? ?a+b=0, ?a=-1, 解方程组? 得? ? ? ?a+2b=1, ?b=1.
解析答案

(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少
要多少个单位?



Q 由(1)知,v=-1+log310.

所以要使飞行速度不低于2 m/s,

Q 则有 v≥2,即-1+log310≥2, Q 即 log310≥3,解得 Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s, 则其耗氧量至少要270个单位.
思维升华 解析答案

跟踪训练2
某般空公司规定,乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次
19 函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为____kg. 解析 由图象可求得一次函数的解析式

为y=30x-570, 令30x-570=0,解得x=19.

解析答案

题型三

构造函数模型的实际问题

命题点1 构建二次函数模型
例3 某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售
利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2

=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌
的汽车,则能获得的最大利润是_____万元.

解析答案

命题点2 构建指数函数、对数函数模型
例4 (1) 世界人口在过去 40 年翻了一番,则每年人口平均增长率约是 _____( 1.7% 参考数据:lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017). 解析 设每年人口平均增长率为x, 则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数, 则40 lg(1+x)=lg 2,

lg 2 所以 lg(1+x)= 40 ≈0.007 5, 所以100.007 5=1+x,得1+x≈1.017,
所以x≈1.7%.
解析答案

(2)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经 历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股 ② 民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为____. ①略有盈利 ②略有亏损 ③没有盈利也没有亏损 ④无法判断盈亏情况 解析 设该股民购进这支股票的价格为a元, 则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元, 经 历 n 次 跌 停 后 的 价 格 为 a×1.1n×(1 - 10%)n = a×1.1n×0.9n = a×(1.1×0.9)n=0.99n· a<a, 故该股民这支股票略有亏损.
解析答案

命题点3 构建分段函数模型
例5 某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元 收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油 9 km. 附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了__ 解析 设出租车行驶x km时,付费y元,

? ?9,0<x≤3, ? 则 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8, ? ? ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8, 由y=22.6,解得x=9.

思维升华

解析答案

跟踪训练3
(1)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停
止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25% 的速度减少,为了保障交通

安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得
超过0.09 mg/mL,那么,此人至少经过 5 ____小时才能开车.(精确到1小时)

解析 设经过x小时才能开车.
由题意得0.3(1-25%)x≤0.09,

∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.
∴x最小为5.
解析答案

(2)某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元, 此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老 该企业需要更新设备的年数为____.

化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,

解析答案

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答题模板系列

答题模板系列

2.函数应用问题

典例

(14 分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为

40 万美元,每生产 1 万部还需另投入 16 万美元.设公司一年内共生产该 款手机 x 万部并全部销售完,每万部的销售收入为 R(x)万美元,且 R(x)
?400-6x,0<x≤40, ? =?7 400 40 000 ? - , x >40. 2 x ? x

(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式;

解析答案

(2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?
并求出最大利润.

思维点拨

根据题意,要利用分段函数求最大利润 .列出解析式后,比

较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.

思维点拨

温馨提醒

答题模板

解析答案

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础. 2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函 数的单调性、基本不等式等求得最值. 3.解函数应用题的五个步骤:①审题;②建模;③解模;④还原;⑤反思.

失误与防范

1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,要正确理解题意,选择适

当的函数模型.
2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.

3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的
合理性.

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练出高分

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1.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm) ② 与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为____.

解析 根据题意得解析式为h=20-5t(0≤t≤4),其图象为②.

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2. 某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售 ( 即优惠 10%) ,仍可获利 10%(相对进货价),则该家具的进货价是_____ 108 元. 解析 设进货价为a元, 由题意知132×(1-10%)-a=10%· a, 解得a=108.

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3.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来 越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时 ① 间t(年)的函数关系图象正确的是_____.

解析 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有① ③图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故①正确.
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4.将出货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,已知这种 商品每涨价 1 元,其销售量就要减少 20 个,为了赚得最大利润,每个售 价应定为___ 95 元. 解析 设每个售价定为x元, 则利润y=(x-80)· [400-(x-90)·20]=-20[(x-95)2-225]. ∴当x=95时,y最大.

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5.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加 税.已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶; 若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%),则每年销售量将减少 10x万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于 112万元, 则x的最小值为________.

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6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为___m. 20 设内接矩形另一边长为y, x 40-y 则由相似三角形性质可得40= 40 , 解得y=40-x, 解析 所以面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),

当x=20时,Smax=400.

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7.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速 漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还 16 有一半的沙子,则再经过____min ,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 1 -8b 解析 当t=0时,y=a,当t=8时, y=ae = a, 2 1 -8b ∴e = ,容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 2 1 1 -bt -bt 即 y=ae =8a,e =8=(e-8b)3=e-24b, 则t=24,所以再经过16 min.

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8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可
获得的总利润f(x)(万元)与机器运转时间x(x∈N*)(年)的函数关系式为f(x)

=-x2+18x-25,则每台机器运转____年时,年平均利润最大,为____
万元.

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9.某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿千瓦时 . 本年度计划将电价 调至0.55元~0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用 电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反比例.又当x=0.65时,y=0.8. (1)求y与x之间的函数关系式;

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(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部 门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)] 1 解 根据题意,得(1+ )· (x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%). 5x-2 整理,得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5,x2=0.6.

经检验x1=0.5,x2=0.6都是所列方程的根.
∵x的取值范围是0.55~0.75,

故x=0.5不符合题意,应舍去.∴x=0.6.
∴当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
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10.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监 测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如 图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);

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(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有 效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.
?t>1, ? ? ?0≤t≤1, ? 解 由 y≥0.25 得? 或?? ?1?t-3 ? ?? ? ≥0.25, ?4t≥0.25 ??2?

1 解得16≤t≤5.
1 79 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5-16=16(小时).

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11.有浓度为90%的溶液100 g,从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操 作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg 2 =0.301 0,lg 3=0.477 1)___. 21
?9? ?n+1 时的浓度为? , ? ? ?10?

解析

操作次数为 n

?9? ?n+1 由? <10% ,得 ? ? ?10?

-1 -1 n+1> = ≈21.8, 9 2lg 3-1 lg 10

∴n≥21.

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12.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均 8
80 件. 到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品____ 解析 设每件产品的平均费用为y元,由题意得
800 x · = 20. x 8

800 x y= x +8≥2

800 x 当且仅当 x =8(x>0),即 x=80 时“=”成立.
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13.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其 中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=_____ 2ln 2 ,经 1 024 个. 过5小时,1个病毒能繁殖为______ 解析 当t=0.5时,y=2,
1 k 2

? 2=e ,
∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,
当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.

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14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最 低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c =a+x(b-a).这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使 得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得,最佳乐观系数 x的值等 于________.

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15.已知一家公司生产某品牌服装有年固定成本为 10 万元,每生产 1 千 件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销
? ?10.8- 1 x2?0<x≤10?, 30 ? 售完, 每千件的销售收入为 R(x)万元, 且 R(x)=? ?108 1 000 - 3x2 ?x>10?. ? ? x

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式;

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(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润 最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)

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