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广东省2014届普通高考名校联考试卷(六) 数学(理科)参考答案


广东省 2014 届普通高考名校联考试卷(六)参考答案 数学(理科)
1-8. CDAC ACDB

9. (??, ?2) ; 10. 2 ; 11. ?20 ; 12. 16; 13.

? x ? 4 cos? , 8 2 ,8 3 ; 14. ? ( ? 为参数) ; 15. 2 3 3 y ? 4 sin ? , ?

r />? ) 2
----------1 分

2 16. 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x ? 3 sin x sin( x ?

? sin 2 x ? 3 sin x cos x
?

1 ? cos 2 x 3 ----------3 分 ? sin 2 x 2 2 ? 1 3 1 1 ----------5 分 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 2 2 2 ? 1 所以 f ( ) ? . ----------6 分 12 2 ? ? ? 5? (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, ? ? 2 x ? ? . ----------8 分 2 6 6 6 ? ? 所以,当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时,函数 f ( x ) 取得最小值 0 ; ----------10 分 6 6 ? ? ? 3 当 2 x ? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x ) 取得最大值 . ----------12 分 6 2 3 2 17.解: (Ⅰ) 1 ? 10 ? (0.020 ? 0.025 ? 0.015 ? 0.005) ? 0.35 , 1 0? 0 0? . 3 5 , 3 5
即随机抽取的市民中年龄段在 [30, 40) 的人数为 35 . (Ⅱ) 100 ? 0.15 ? 15 , 100 ? 0.05 ? 5 ,所以 5 ? ----------2 分

8 ? 2, 20
----------4 分

即抽取的 8 人中 [50,60) 年龄段抽取的人数为 2 . (Ⅲ) X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 .----------5 分

P( X ? 0) ?

3 C6 5 ? ; 3 C8 14

P( X ? 1) ?

1 2 2 1 C2 C6 15 C2 C6 3 ; ? P ( X ? 2) ? ? .---------8 分 3 3 C8 28 C8 28

所 以 X 的 分 布 列 为

2 ---------10 分 3 28 5 15 3 3 X 的数学期望为 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . ---------12 分 14 28 28 4
----------1 分 ----------2 分

X P

0 5 14

1 15 28

18. 解:建立如图所示空间直角坐标系.

(1) DA ? ( 2,0,0), AE ? (0,1, ?1), A 1E ? (0,1,1)

广东省 2014 届普通高考名校联考试卷(六)数学(理科)----------1

且 ?A ? ?1 DA E ? DA ? 0,? A1 0, EA ? 1AE E ? AE ? 0,? 0, 1EA 且 ?A ? A1 ? EDA ? DA ,A E A1 ? EAE ? AE , , ----------4 分 1E 1, 又
A

z D B C

DA

AE ? A

----------5 分
E D1 A1 C1 y B1

? A1E ? 平面ADE . ----------6 分
(2)设 n1 ? (u, v, w) 是平面 A 1DE 的一个法向量,----------7 分

A1E ? (0,1,1), A1D ? (? 2,0,2)
? ?? 2u ? 2w ? 0 ?? ? ?v ? w ? 0

----------8 分 ----------9 分

x

解得 w ? 2u, v ? ?w ,不妨取 w ? 1 ,得 n1 ? ( 2, ?1,1)

----------10 分 ----------11 分

OC1 ? 平面AA1D ,? 平面AA1D 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0)
设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

n1 ? n2 1 ?? 2 | n1 || n2 |

----------12 分

设二面角 A ? A1D ? E 的平面角是 ?,

则 cos ? ? ?? =

?
3

1 , 又 ? ? ? 0,? ? 2
----------14 分

.

19. 解: (Ⅰ)设数列 {an} 的公差为 d ,----------1 分 由?

? a1 ? a2 ? 7 ? a1 ? a1 ? d ? 7 得? ? a1 ? 2d ? 8 ? a3 ? 8
∴ an ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1 ∵ bn ?

解得 a1 ? 2 , d ? 3 ----------4 分

----------3 分

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ----------5 分 an an?1 (3n ? 1)[3(n ? 1) ? 1] (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ?1 3n ? 2

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

? bn
1 ? ) 8 ? 1 1 1 ( ? ) 3 n ?3 1 n? 3 2
---------------7 分

1 1 1 1 1 ? ( ? )? ( ? 3 2 5 3 5

n 1 1 1 ? ( ? )? 3 2 3n ? 2 2(3 n? 2)

广东省 2014 届普通高考名校联考试卷(六)数学(理科)----------2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, T1 ?

m n 1 , Tm ? , Tn ? 10 2(3m ? 2) 2(3n ? 2)

假设存在正整数 m 、 n (1 ? m ? n) ,使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列,
2 则 Tm ? T1 ? Tn , 即 [

m 1 n ]2 ? ? 2(3m ? 2) 10 2(3n ? 2)

---------------9 分

经化简,得

m2 n ? 2 (3m ? 2) 5(3n ? 2)

∴ (3m ? 2)2 n ? 15m2 n ? 10m2

∴ (?3m2 ? 6m ? 2)n ? 5m2 (*) 当 m ? 2 时, (*)式可化为 2n ? 20 ,所以 n ? 10 当 m ? 3 时, ?3m ? 6m ? 2 ? ?3(m ?1) ? 5 ? ?7 ? 0
2 2

---------------11 分 ---------------12 分

5m2 ? 0 ,所以此时 n 无正整数解. 又∵ 5m ? 0 ,∴(*)式可化为 n ? ?3m2 ? 6m ? 2
2

综上可知,存在满足条件的正整数 m 、 n ,此时 m ? 2 , n ? 10 . 20. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ( x ? 1) ? e ? e ( x ? 2)
x x x

----------14 分 ------------------2 分 -----------------4 分

f (0) ? 1 , f ?(0) ? 2
∴曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为

y ? 1 ? 2( x ? 0) , 即 2 x ? y ? 1 ? 0 .
(Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 (x<0)得 x ? ?2 , 当 x 在 (??,0) 内变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下表:

-----------------6 分 -----------------8 分

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ?2)

?2

(?2,0)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增 -----------------11 分 -----------------12 分

∴ f ( x ) 在 (??, ?2) 上递减,在 (?2,0) 上递增 ∴ f ( x ) 在 (??,0) 上的最小值是 f (?2) ? ?e
?2

?x ? (??,0), f ( x) ? k

∴ ?e

?2

? k ,即 k ? ?e?2

∴ k 的取值范围是 (??, ?e ) . --------14 分

?2

广东省 2014 届普通高考名校联考试卷(六)数学(理科)----------3

21. (1)依题意不妨设 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) ,则 FB1 ? (?1, ?b) , FB2 ? (?1, b) .----------2 分 由 FB1 ? FB2 ? ?a ,得 1 ? b 2 ? ?a . 又因为 a 2 ? b2 ? 1, 解得 a ? 2, b ? 3 . 所以椭圆 C 的方程为 ----------5 分 ----------3 分

x2 y 2 ? ?1. 4 3

----------6 分

(2)依题意直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

----------7 分

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ----------8 分 ?1 ? ? ? 4 3
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , 1 2 . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以弦 MN 的中点为 P( 所以 MN ?

4k 2 ?3k , ) . ----------9 分 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
2

12(k 2 ? 1) 64k 4 4(4k 2 ? 12) . ? (k ? 1)[ ? ]? 4k 2 ? 3 (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2
直线 PD 的方程为 y ?

----------11 分

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ), 4k 2 ? 3 k 4k 2 ? 3

由 y ? 0 ,得 x ?

k2 k2 D ( ,0) , ,则 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) DP 3 k (k ? 1) k2 1 1 4k 2 ? 3 ? 1 ? ? 1? 2 所以 DP ? . 所以 .-------13 分 2 2 2 12(k ? 1) MN 4 k ?1 4 k ?1 4k ? 3 4k 2 ? 3
2 2
2 又因为 k ? 1 ? 1,所以 0 ?

1 ?1. k ?1
2

所以 0 ?

1 1 1 1? 2 ? . 4 k ?1 4

所以

DP MN

的取值范围是 (0, ) .

1 4

----------14 分

广东省 2014 届普通高考名校联考试卷(六)数学(理科)----------4


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