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【 学案导学设计】高中数学(人教A版,必修五)课时作业第三章 §3.4 基本不等式:ab≤a+b2(一)


§3.4

基本不等式: ab≤

a +b
2

( 一)

课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明; 2.能利用基本不等式证明简单不等式. 1.如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号). a+b 2.若 a,b 都为正数,那么 ≥ ab(当且仅当

a=b 时,等号成立),称上述不等式为 2 a+b 基本不等式,其中 称为 a,b 的算术平均数, ab称为 a,b 的几何平均数. 2 3.基本不等式的常用推论 a+b?2 a2+b2 (1)ab≤? ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R); 1 1 (2)当 x>0 时,x+ ≥2;当 x<0 时,x+ ≤-2. x x b a b a (3)当 ab>0 时, + ≥2;当 ab<0 时, + ≤-2. a b a b (4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(a,b,c∈R).

一、选择题 a+b 1.已知 a>0,b>0,则 , ab, 2 a2+b2 2ab , 中最小的是( 2 a+b 2ab D. a+b )

a+b a2+b2 A. B. ab C. 2 2 答案 D 解析 方法一 特殊值法. a+b 令 a=4,b=2,则 =3, ab= 8, 2

a2+b2 2ab 8 2ab = 10, = .∴ 最小. 2 a+b 3 a+b

a+b a2+b2 2ab 2 2 2ab 方法二 = ,由 ≤ ab≤ ≤ ,可知 最小. 1 1 2 2 a+b 1 1 a+b + + a b a b 1? 2 1 2.已知 m=a+ (a>2),n=? ?2?x -2 (x<0),则 m、n 之间的大小关系是( a-2 A.m>n B.m<n C.m=n D.m≤n 答案 A 1 1 解析 ∵m=(a-2)+ +2≥2 ?a-2? +2=4, a-2 a-2 n=22-x2<22=4.∴m>n. 3.设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( ) a2+b2 a2+b2 A.1≤ab≤ B.ab<1< 2 2 a2+b2 a2+b2 C.ab< <1 D. <ab<1 2 2 答案 B

)

解析 又∵

∵ab≤?

a+b?2 ? 2 ? ,a≠b,∴ab<1,

a2+b2 a+b > >0, 2 2 a2+b2 a2+b2 ∴ >1,∴ab<1< . 2 2 4.已知正数 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2,其中最大的一个 是( ) A.a2+b2 B.2 ab C.2ab D.a+b 答案 D 解析 因为 a、b∈(0,1),a≠b,所以 a+b>2 ab,a2+b2>2ab,所以,最大的只能是 2 a +b2 与 a+b 之一.而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又 0<a<1,0<b<1,所以 a-1<0, b-1<0,因此 a2+b2<a+b,所以 a+b 最大. 5.设 0<a<b,且 a+b=1,在下列四个数中最大的是( ) 1 A. B.b C.2ab D.a2+b2 2 答案 B a+b?2 1 1 解析 ∵ab<? ,∴ab< ,∴2ab< . 4 2 ? 2 ? a2+b2 a+b a2+b2 1 ∵ > >0,∴ > , 2 2 2 2 2 2 1 ∴a +b > . 2 ∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2 =ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b 最大. 6.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的最小值为( ) 5 A.0 B.-2 C.- D.-3 2 答案 B 解析 x2+ax+1≥0 在 x∈(0,1]上恒成立 ? 1?? ?ax≥-x2-1?a≥? ?-?x+x??max. 1? 1 ∵x+ ≥2,∴-? ?x+x?≤-2,∴a≥-2. x 二、填空题 1 7.若 a<1,则 a+ 有最______值,为________. a-1 答案 大 -1 解析 ∵a<1,∴a-1<0, 1 1 ∴-?a-1+a-1?=(1-a)+ ≥2(a=0 时取等号), ? ? 1-a 1 1 ∴a-1+ ≤-2,∴a+ ≤-1. a-1 a-1 2 5 8.若 lg x+lg y=1,则 + 的最小值为________. x y 答案 2 解析 ∵lg x+lg y=1,∴xy=10,x>0,y>0, 2 5 2 x ∴ + = + ≥2(x=2 时取等号). x y x 2 x y + 9.已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4

答案 解析

3

x y xy ∵x>0,y>0 且 1= + ≥2 , 3 4 12 x y ∴xy≤3.当且仅当 = 时取等号. 3 4 x 10.若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围为________. x +3x+1 1 ? 答案 ? ?5,+∞? x 解析 ∵x>0,∴ 2 >0,易知 a>0. x +3x+1 x2+3x+1 1 ∴ ≥ , x a 1 1 ∴ ≤x+ +3. a x 1 1 ∵x>0,x+ +3≥2 x· +3=5(x=1 时取等号), x x 1 1 ∴ ≤5.∴a≥ . a 5 三、解答题 bc ca ab 11.设 a、b、c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c. a b c bc ca ab 证明 ∵a、b、c 都是正数,∴ 、 、 也都是正数. a b c bc ca ca ab bc ab ∴ + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b, a b b c a c bc ca ab ? 三式相加得 2? ? a + b + c ?≥2(a+b+c), bc ca ab 即 + + ≥a+b+c. a b c 1 1 n 12.a>b>c,n∈N 且 + ≥ ,求 n 的最大值. a-b b-c a-c 解 ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0. 1 1 n ∵ + ≥ , a-b b-c a-c a-c a-c ∴n≤ + . a-b b-c ∵a-c=(a-b)+(b-c), ?a-b?+?b-c? ?a-b?+?b-c? ∴n≤ + , a-b b-c b-c a-b ∴n≤ + +2. a-b b-c b-c a-b b-c a-b + ≥2 ? ?· ? ? a-b b-c a-b b-c =2(2b=a+c 时取等号). ∴n≤4.∴n 的最大值是 4. 能力提升 1 a? 13. 已知不等式(x+y)? y 恒成立, 则正实数 a 的最小值为( ?x+y?≥9 对任意正实数 x, A.8 B.6 C.4 D.2 答案 C ∵

)

解析

1 a? 只需求(x+y)? ?x+y?的最小值大于等于 9 即可,

1 a? x y xy x y 又(x+y)? + +a≥a+1+2 a··=a+2 a+1, 等号成立仅当 a·= ?x+y?=1+a· y x yx y x 即可,所以( a)2+2 a+1≥9, 即( a)2+2 a-8≥0 求得 a≥2 或 a≤-4(舍去),所以 a≥4,即 a 的最小值为 4. 14.已知 a,b,c 为不等正实数,且 abc=1. 1 1 1 求证: a+ b+ c< + + . a b c 1 1 1 证明 ∵ + ≥2 =2 c, a b ab 1 1 1 + ≥2 =2 a, b c bc 1 1 1 + ≥2 =2 b, c a ac 1 1 1? ∴2? ?a+b+c?≥2( a+ b+ c), 1 1 1 即 + + ≥ a+ b+ c. a b c ∵a,b,c 为不等正实数, 1 1 1 ∴ a+ b+ c< + + . a b c 1.设 a,b 是两个正实数,用 min(a,b)表示 a,b 中的较小的数,用 max(a,b)表示 a, a+b a2+b2 2 b 中的较大的数,则有 min(a,b)≤ ≤ ab≤ ≤ ≤max(a,b).当且仅当 a 1 1 2 2 + a b =b 时,取到等号. a+b 2. 两个不等式 a2+b2≥2ab 与 ≥ ab都是带有等号的不等式, 对于“当且仅当?时, 2 取‘=’号”这句话的含义要有正确的理解. a+b 一方面:当 a=b 时, = ab; 2 a+b 另一方面:当 = ab时,也有 a=b. 2


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