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高中数学基本不等式知识点归纳及练习题


高中数学基本不等式的巧用
a+b 1.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 b a ?a+b?2 ? (a,b∈R); (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2)a+b≥2(a,b 同号);(3)ab≤? ? 2 ? (4) a2+b2 ?a+b?2 ? ?

2 ≥? 2 ? (a,b∈R).

3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 2 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和最小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 4 .(简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2+b2≥2ab 逆用就是 a2+b2 a+b ?a+b?2 ? (a,b>0)等.还要注意“添、拆项” ab≤ 2 ; 2 ≥ ab(a,b>0)逆用就是 ab≤? ? 2 ? 技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1) (2) a2+b2 ?a+b?2 ? ? 2 ≥? 2 ? ≥ab(a,b∈R,当且仅当 a=b 时取等号); a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab ≥ 2 2 1 1(a>0,b>0,当且仅当 a=b 时取等号). a+b

这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意
1

(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提 “一正、二定、三相等”的忽 视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意 “ 拆”“拼 ”“凑 ”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.

应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域 (1)y=3x 2+ 解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 x ? 1 2x 2 1 (2)y=x+

x

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例 1. 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

技巧三: 分离
例 3. 求 y ? 。

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

技巧四:换元
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.

1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? (1) y ? x ?3 x

(3)

y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

2

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? 条件求最值

x(1 ? x) 的最大值.;3. 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.

a b 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

变式:若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1,求 x ? y 的最小值。 x y
?

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

? (2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值
1+y 2 的最大值. 1

技巧七、已知 x,y 为正实数,且 x 2+

y2
2

=1,求 x

技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 应用二:利用基本不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

ab

的最小值.

3x +

2y 的最值.

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 例 6:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ? 应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且
?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

1 9 ? ? 1,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

3

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

解: (1)y=3x 2+

1 2x 2

≥2 1 x

3x 2·

1 2x 2



6 ∴值域为[

6 ,+∞)

(2)当 x>0 时,y=x+

≥2

1 x· = 2; x 1 x· =-2 x

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)

4

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)

1 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x
知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 解析:由 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。



,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

评注: 本题无法直接运用基本不等式求解, 但凑系数后可得到和为定值, 从而可利用基本不等式求最大值。 解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号) x ?1

解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最 值。 即化为 y ? mg ( x) ?

A ? B( A ? 0, B ? 0) ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。 g ( x)
x2 ? 4 ? 1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 分析: “和”到“积”是一个缩小的过程,而且 3 ? 3 定值,因此考虑利用均值定理求最小值,
a b

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?

解: 3 和3 都是正数, 3 ? 3 ≥ 2 3a ? 3b ? 2 3a?b ? 6
a b a b
a b a b a b 当 3 ? 3 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 ? 3 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时, 3 ? 3 的最小值是 6.

5

错解 : ..

1 9 1 9? 9 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1,? x ? y ? ? ? ?? x ? y? ? 2 2 xy ? 12 故 ? x y xy ? x y?

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用基本不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等号成立
x y xy

条件是

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用基本不等式处理问题时,列出 x y

等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解:

? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
a 2+b 2
2 。 1+y 2 2· = 2 1 2

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 1 2

同时还应化简

1+y 2 中 y2 前面的系数为 1 2

, x

1+y 2 =x

2 x·



y2
2

下面将 x,



y2
2

分别看成两个因式: 1 2 2 y2 2 y2 2 2 1 2 = 3 4 即 x 1+y 2 = 2 ·x 1 2 +


3 4

1 2 2



y2
2

x 2+( ≤



)2 =

x 2+



y2
2



分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调 性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条 件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式 的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1

ab=

30-2b

b+1

·b=

-2 b 2+30b

b+1

由 a>0 得,0<b<15

6

-2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+ ≥2

t

t

t



16

t

=8

∴ ab≤18

∴ y≥

1 18

当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ≤u≤3 2 2 ab

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 令 u= ∴

ab

则 u2+2

2 u-30≤0, -5 1 18

ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥

点评:①本题考查不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等 2

式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等 (a, b ? R ?) 式

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 2

变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。

解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 3x + 2y ≤ 3x )2+(

a+b
2



a 2+b 2
2

,本题很简单

2



2y )2 =

2

3x+2y =2

5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为 定值”条件靠拢。

W>0,W2=3x+2y+2 3x ·
∴ W≤ 20 =2 5

2y =10+2

3x ·

2y ≤10+(

3x )2·(

2y )2 =10+(3x+2y)=20

变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极 创造条件利用基本不等式。 分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“ 2”连乘,又
7

1 1 ? a b ? c 2 bc ,可由此变形入手。 ?1 ? ? ? a a a a

解: a、b、c ? R , a ? b ? c ? 1 。?

?

1 2 ac 1 1 1 ? a b ? c 2 bc 2 ab 。同理 ? 1 ? , ?1 ? 。 ?1 ? ? ? b b a a a a c c

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

?1 ?

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0

Q?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

∴R>Q>P。

8


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